江苏省宿迁市沭阳县2023届九年级上学期期中考试数学试卷（含解析）

2022〜2023学年度第一学期期中九年级数学

（时间：120分钟总分：150分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，只有

一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题纸相应位置上）

1.下列方程中是一元二次方程的是（）

A.2%+1=0B.y2+x-1C.x2+1=0D.—+x2=1

x

答案：C

解析：解：A、该方程中未知数的最高次数是1,不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

B、该方程中含两个有未知数.不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；

D、该方程中分母中含有未知数.不属于整式方程，故本选项不符合题意；

故选：C.

2.下列说法正确的是（）

A.相等的圆周角所对的弧相等

B.相等的弦所对的弧相等

C.平分弦的直径一定垂直于弦

D.任意三角形一定有一个外接圆

答案：D

解析：解：A、在等圆或同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故A不符合题意；

2、在等圆或同圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，故2不符合题意；

C、根据垂径定理知，平分弦（不是直径）的直径一定垂直于弦，故C不符合题意；

。、任意三角形一定有一个外接圆，故。符合题意；

故选D

3.已知一组数据：4,3,4,5,6,则这组数据的极差是（）

A.1B.2C.3D.4

答案：C

解析：这组数据的极差是6—3=3,

故选：C.

4.如图，点A,B,。在。。上，ZS4C=54°,则250C的度数为（)

A.27°B.108°C.116°D.128°

答案：B

解析：解：QZBAC=54°,

，由圆周角定理得：NBOC=2NB4C=108。,

故选：B.

5.一元二次方程九2—8%—1=0配方后可变形为（)

A.(x—4>=3B.(x—4-=15C.(x—4)2=17D.(X+4)2=17

答案：C

解析：解：彳2_8%-1=0变形为：％2-8%=1，

配方得：了2一8%+16=17,

即(x—4)2=17；

故选：C.

6.新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱,各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全

球第一，2020年销量为50.7万辆，销量逐年增加,到2022年销量为125.6万辆.设年平均增长率为x,可

列方程为（）

A.50.7(1+媛=125.6B.125.6(1-x)2=50.7

C.50.7(1+2x)=125.6D.50.7(1—婿=125.6

答案：A

解析：解：设年平均增长率为x,可列方程为:

50.7(1+x)2=125.6

故选：A

7.如图，P是。O外任意一点，PA、PB分别与。。相切与点A、B,OP与。O相交于点M.则点M是APAB

的)

A.三条高线的交点

B.三条中线的交点

C.三个角的角平分线的交点

D.三条边的垂直平分线的交点

答案：C

解析：解：：PA、PB分别与。。相切与点A、B,

，/APO=NBPO,PA=PB,

AAB±OP,

连接OA,AM,

则/OAP=90°,

，ZPAM+ZOAM=ZBAM+ZAMO=90°,

VOA=OM,

.".ZOAM=ZAMO,

.\ZPAM=ZBAM,

则点M是APAB的三个角的角平分线的交点,

故选C.

8.如图，中，ZC=90°,ZBAC=30°,A3=2,点尸从C点出发，沿CB运动到点8停止,

过点8作射线AP的垂线，垂足为。，点Q运动的路径长为（）

Q

答案：B

解析：»■.\'AQLBQ,

...点。在以A5为直径的。上运动，运动路径为BC，连接。C,

-_u-s^一」

Q

•：ZACB=90°,OA=OB,

:.CO—OA=1,

:.ZCOB=2ZCAB=60°,

aI,、，6°x»xl71

BC的长为--------

180

故选B.

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，本大题共30分.不需要写出解答过程，只需

把答案直接填写在答题纸相应位置上）

9.一元二次方程N=5x的解为

答案：%=0,%=5

解析：N=5X

移项，得%2一5%=0

分解因式，得：％（尤—5）=0

故答案为：尤1=0,%=5.

10.甲、乙两名射击运动员在一次训练中，每人各打10发子弹，根据命中环数求得方差分别是

S2甲=0.6$2乙=0.8,则运动员的成绩比较稳定.

答案：甲

解析：：S2甲=0.6,S?乙=0.8,

•••甲的成绩比较稳定

11.如图，A8是:O直径，弦交A8于点E,连接AC,AD.若4L4c=28°,贝|ND=

答案：62

解析：解:连接5£）,

D

'.'AB是。的直径，

/.ZADB=90°,

CB=CB，

■-Za4C=ZB£>C=28°,

ZADC=90°-NBDC=62°

故答案为：62

12.已知圆锥的底面圆半径为4,侧面展开图扇形的圆心角为120。，则它的母线长为.

答案：12

解析：解：：圆锥的底面半径是4,

圆锥的底面圆周长为8»，

侧面展开后所得的扇形的弧长是8»，

•••侧面展开后所得的扇形的圆心角为120。

侧面展开后所得的扇形的半径为：叱81=12

120〃

•••圆锥的母线就是侧面展开后所得的扇形的半径，

圆锥的母线长度为12,

故答案为：12.

13.如图，O与正五边形A3CDE的边A3、DE分别相切于点2、D,则劣弧台。所对的圆心角180。的

解析：解：五边形ABCDE是正五边形,

/口(5-2)x180°

ZE=ZA=----------=108.

5

AB,DE与。。相切，

NOBA=NODE=9(f，

ZBOD=(5-2)x180°-90°-108°-108°-90°=144°,

故答案为144.

14.过。内一点尸的最长弦长为10cm,最短弦长为6cm,则OP的长为cm.

答案：4

解析：解：如图，直径A5经过尸点，过P作交C。于C、D,连接OD,

AB=10cm,CD=6cm,

:.OD=-AB=5,DP=-CD=3,

22

;.OP=[O»-DP?

=后_32=4；

故答案：4.

15.小明在与同学的嬉闹中把校服划坏了，划坏的图形恰好是一个直角三角形，这个直角三角形的两条边长

分别是5和12,妈妈打算用一个圆形图案把它盖住缝补好，则妈妈用的圆形图案所在圆的半径最小值为

答案：6或6.5

解析：解：由勾股定理可知：

①当直角三角形的斜边长为：12；

因此这个直角三角形的外接圆半径为6,

②当两条直角边长为5和12,则直角三角形的斜边长为：752+122=13；

因此这个直角三角形的外接圆半径为6.5

综上所述：这个外接圆的半径为6或6.5

故答案为：6或6.5

16.B^q(«2+Z72)2-a2-Z72-2=0,则42+人2的值为.

答案：2

解析：解：(«2+Z?2)2-«2-&2-2=0

(4+/)2_卜2+叶2=0

[(a2+^)-2][(a2+^2)+l]=0

(/+廿)-2=0或(/+廿)+i=o

a2+Z?2=2或/+从=-1

Va~+b~>0

；•a2+b2=2.

故答案为2.

17.如图，AABC中，ZC=90°,AC=6,AB=10,D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的OO和AB、

BC均相切，则00的半径为一.

解析：过点。作OELAB于点E,OFLBC于点F.

：AB、BC是0O的切线，

...点E、F是切点，

.•.OE、OF是。。的半径；

.•.OE=OF；

在AABC中，ZC=90°,AC=6,AB=10,

,由勾股定理,得BC=8；

又：D是BC边的中点，

••S△ABD=S△ACDf

又,**SAABD=SAABO+SABOD,

IAB«OE+!BD«OF=gCD«AC,即1OxOE+4xOE=4x6,

…12

解得OE=一,

7

：.QO的半径是工.

7

18.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,。为矩形ABCD的对角线的交点，以。为圆心，半径为

1作ID,尸为：。上的一个动点，连接心、0P,贝LAOP面积的最大值为.

答案：14.5

解析：当P点移动到过点尸的直线平行于。4且与相切时，AOP面积的最大，如图,

:过点尸的直线是，。的切线，

...OP垂直于切线，延长交AC于则。

:在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,

AC=10,

/.OA—5,

VZAMD=ZADC=90°,ZDAM=ZCAD,

：.ADMACD,

.DMAD

**-CD-AC?

・.・AD=8,8=6,AC=10,

24

DM=——

5

2429

PM=PD+DM=1+—=

55

112929

.AOP的最大面积=——x5x—=—=14.5,

2252

故答案为：14.5.

三、解答题(本大题共10题，共96分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的

文字说明、证明过程或演算步骤.画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑)

19.解方程：

(1)/+2%—99=0;

⑵3r—5x—1=0.

答案：(1)占=9,x2=-11

⑵寸5,

1626

小问1解析:

解：X2+2X-99=0

(x-9)(x+n)=0

x—9=0或x+ll=0

解得：X]=9,x2=-11

小问2解析:

解：3/—5x—1=0

A=(-5)2-4x3x(-l)=25+12=37>0

5土场

X=-------

6

5+7375-屈

石二^-6~

20.已知关于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2+k-1=0有实数根.

(1)求k的取值范围；

(2)若此方程的两实数根xi,X2满足X12+X22=ll,求k的值.

答案：(1)k<-；(2)k=-1.

8

解析：(1)..•关于X的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2+k-1=0有实数根，

/.A>0,即[-(2k-1)]2-4X1X(k2+k-1)=-8k+520,

解得k/；

8

(2)由根与系数的关系可得xi+x2=2k-1,xiX2=k2+k-1,

XI2+X22=(X1+X2)2-2xiX2=(2k-1)2-2(k2+k-1)=2k2-6k+3,

VXI2+X22=1L

A2k2-6k+3=ll,解得k=4,或k=-l,

..5

・vk<<，

-8

.•.k=4(舍去),

k=-1.

21.如图，在10x10的正方形网格中(每个小正方形的边长都为1个单位)，ABC的三个顶点都在格点上.

请在图中标出二ABC的外接圆的圆心尸的位置，并填写:

①圆心P的坐标：P()；

②。P的半径为

(2)将绕点A逆时针旋转90。得到VADE,画出图形，并求线段5c扫过的图形的面积.

答案：(1)图见解析；①5,3；②2石

(2)图见解析；线段5c扫过的图形的面积为8»

小问1解析：

解：如图所示，点P即为所求，

①圆心P的坐标：P（5,3）,

②C.P的半径为："2+2?=2心

故答案为：①5,3；②2君

小问2解析:

...由勾股定理得：AC=A/62+22=2A/10-AB=d2。+*=2贬，

,/将_ABC绕点A逆时针旋转90°得到VADE，

」ABC的面积等于VADE的面积，

•••线段扫过的图形的面积=5扇央0£+5ABC-S扇形ABO-SADE

90°万x（2厢f190°万义（2点丫1

=---------------+-x4x2---------------------------x4x2

360°236002

=8〃.

22.某初级中学数学兴趣小组为了了解本校学生的年龄情况，随机调查了该校部分学生的年龄，整理数据并

绘制如下不完整的统计图.

人数

16年龄/岁

依据以上信息解答以下问题:

（1）求样本容量;

（2）直接写出样本容量的平均数，众数和中位数；

（3）若该校一共有1800名学生，估计该校年龄在15岁及以上学生人数.

答案：（1）样本容量为50；（2）平均数为14（岁）；中位数为14（岁），众数为15岁；（3）估计该校年龄

在15岁及以上的学生人数为720人.

解析：解：（1）样本容量为6m2%=50；

(2)14岁的人数为50*28%=14、16岁的人数为50-(6+10+14+18)=2,

12x6+13x10+14x14+15x18+16x2

则这组数据的平均数为=14(岁),

50

……14+14

中位数为------=14（岁），众数为15岁;

1QiO

（3）估计该校年龄在15岁及以上的学生人数为1800x-----=720人.

50

23.如图，.ABC内接于。。，AD〃BC交。。于点D,DFA5交于点E,交。。于点F,连接

AF,CF.

（1）求证：AC=AF；

（2）若。。的半径为3,NC4F=30°,求AC的长（结果保留兀）.

答案：（1）证明见解析;

小问1解析：

证明：-：AD//BC,DFAB,

•••四边形ABED为平行四边形，

ZB=ZD，

VZAFC=ZB,ZACF=ND,

：.ZAFC=ZACF,

：.AC=AF.

小问2解析：

解二：连接AO,CO,如图，

由（1）得NAFC=NACF,

ZAFC=180°130。=75o

ZAOC=2ZAFC=150°,

150x〃x3_5兀

AC的长/=

24.如图，四边形ABC。中，AD//BC,ZBAD=9Q°,CB=CD,连接5Q,以点B为圆心，区4长

为半径作（B,交BD于点E.

(1)试判断CD与、3的位置关系，并说明理由；

⑵若AB=2也,ZBCD=6Q°,求图中阴影部分的面积.

答案：(1)相切，理由见解析；(2)26一万

解析：解:(1)过点8作8尸，8,

•：AD//BC,

：.ZADB=ZCBD,

;CB=CD,

：.NCBD=NCDB,

：.ZADB=ZCDB,又BD=BD,ZBAD=ZBFD=90°,

：.AABD^/\FBD(A4S),

：.BF=BA,则点尸在圆8上，

.•.CD与圆8相切；

(2)VZBCD=60°,CB=CD,

...△BCD是等边三角形，

：.ZCBD=60°

•：BF1CD,

：.ZABD=ZDBF=ZCBF=30°,

：.ZABF=6Q°,

,:AB=BF=26,

：.AD=DF=AB•tan30°=2,

阴影部分的面积=S"BQ-S扇形ABE

i_30x»x(2百)

=-X273X2-------------

2360

=2^/3—7T.

25.安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得

到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量》（千克）与每千克降价x（元）（0<x<20）之间

（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元?

答案：（1）y=10x+100；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元.

解析：解：（1）设一次函数解析式为：y=kx+b,根据图象可知：当x=2,y=120；当x=4,y=140；

2k+b=12Q左=10

4i=14。’解得：

b=100,

•••V与x之间的函数关系式为y=10x+100；

(2)由题意得：(60—40—x)(lOx+100)=2090,

整理得：X2-10X+9=0，解得：%=1.々=9,

•••让顾客得到更大的实惠，；.x=9.

答：商贸公司要想获利2090元，这种干果每千克应降价9元.

26.如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度42=3.2米，拱高CO=0.8米（C为A3的中点，。为

弧AB的中点）.

（1）求该圆弧所在圆的半径；

（2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆斯，求支撑杆所的高度.

答案：（1）2米；（2）0.4米

解析：解：（1）设弧A8所在的圆心为O,。为弧的中点，COLA8于C,延长DC经过。点,

则BC=1AB=I.6（米），

设。。的半径为R,

在RtAOBC中，082=00+（782,

；.R2=（R-0.8）2+1G,

解得R=2,

即该圆弧所在圆的半径为2米;

（2）过。作于H,

则OH=CE=1.6-04=1.2=g

（米），0E=2米,

在Rt^O族中，HF=NOF?-OH?

,：HE=OC=OD-CD=2-0.8=1.2

；.EF=HF-HE=1.6-1.2=04（米）,

即支撑杆EF的高度为0.4米.

27.如图1,在矩形ABC。中，AB-3cm,BC=4cm,点P以L5cm/s的速度从点A向点B运动，点。

以2cm/s的速度从点。向点8运动.点尸、。同时出发，运动时间为/秒（0</<2）,M是APOB的

外接圆.

(1)当。=1时，M的半径是cm,M与直线CD的位置关系是

(2)在点尸从点A向点8运动过程中，

①圆心M的运动路径长是cm；

②当M与直线AD相切时，求。的值.

(3)连接PZ),交口舷于点N,如图2,当NAPD=NN3Q时，求f的值.

答案：(1)』，相离

4

(2)①一，②/=一

22

、4

(3)t=—

3

小问1解析：

解：如图，过点M作KNLAB于N,交CD于K，

•.•四边形A3CD是矩形，

AZABC=90°,AB//CD,

的直径是尸Q,KN±CD,

当/=1时，AP=3cm,CQ=4cm,

AB=6cm,BC=8cm,

/.PB=6-3=3cm,B2=8-4=4cm,

/.PQ=J32+4,=5cm,

，的半径为9cm,

2

•；MN//BQ,M是PQ的中点,

PN=BN,

.•.MN是△PQB的中位线，

MN=；BQ=；*4=2cm,

MK=8—2=6cm,

'/6/cm>—5cm,

2

「"与直线CD的位置关系是相离;

故答案为：一；相离

2

小问2解析：

解：①如图，

•；P、Q运动的速度与A3、8C的比相等，

圆心M在对角线3。上，

由图可知，P和。两点在/=2时在点B重合，当/=0时，直径为对角线AC,M是AC的中点,

：.OB=-BD,

2

由勾股定理，可得：BD=V62+82=10cm^

OB=L10=5cm,

2

,圆心M的运动路径长是5cm；

故答案为：5

②如图，当M与相切时，

设切点为连接根并延长交6c于E,则石尸工EF±BC,

则BQ=4-2lPB=3-1,5t,

：.PQ=5-^t,

：.PM=-PQ=FM=-x\5--t]=---t,

22I2J24

在V5PQ中,

133

ME=-PB=------1

224

'：EF=FM+ME,

,5533.

2424

解得：t=—,

2

的值为

小问3解析:

解：如图，过。作DG_LPQ,交尸。的延长线于点G,连接

ZAPD=ZNBQ,ZNBQ=ZNPQ,

：.ZAPD=ZNPQ,

VZA=90°,DGLPG,

AD=DG=4cm,

PD=PD,

：.RtAAPr^RtAGPD(HL),

PG^AP=1.5t,

,：PQ=5-2.5t,

：.QG=1.5t-(5-2.5t)=4t-5,

DC2+CO?=DQ?=DG