六年级奥数专项训练：抽屉原理（附答案）

六年级奥数专题精讲精练

第29周抽屉原理（一）

一、知识要点

如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉

里至少有2盒饼干。如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中

至少有2封信。如果把3本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同

学至少分到2本练习册。这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。

基本的抽屉原理有两条：（1）如果把x+k（k>l）个元素放到x个抽屉里，

那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。（2）如果把mXxXk（x>k

21）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。

利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”？哪些是“元素”？然后按

以下步骤解答：a、构造抽屉，指出元素。b、把元素放入（或取出）抽屉。C、

说明理由，得出结论。

本周我们先来学习第（1）条原理及其应用。

二、精讲精练

【例题1】某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？

为什么？

把一年中的天数看成是抽屉，把学生人数看成是元素。把367个元素放到

366个抽屉中，至少有一个抽屉中有2个元素，即至少有两个学生的生日是同一

天。

平年一年有365天，闰年一年有366天。把天数看做抽屉，共366个抽屉。

把367个人分别放入366个抽屉中，至少在一个抽屉里有两个人，因此，肯定有

两个学生的生日是同一天。

练习1:

1、某校有370名1992年出生的学生，其中至少有2个学生的生日是同一天，

为什么？

2、某校有30名学生是2月份出生的，能否至少有两个学生生日是在同一天？

3、15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？

【例题2】某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一

本的、二本的、也有三本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到

相同的书（每种书最多买一本）？

首先考虑买书的几种可能性，买一本、二半、三本共有7种类型，把7种类

型看成7个抽屉，去的人数看成元素。要保证至少有一个抽屉里有2人，那么去

的人数应大于抽屉数。所以至少要去7+1=8（个）学生才能保证一定有两位同学

买到相同的书。

买书的类型有：

买一本的：有语文、数学、外语3种。

买二本的：有语文和数学、语文和外语、数学和外语3种。

买三本的：有语文、数学和外语1种。

3+3+1=7（种）把7种类型看做7个抽屉，要保证一定有两位同学买到相同

的书，至少要去8位学生。

练习2：

1、某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书、自然书。买书的情况

是：有买一本的、二本的、三本或四本的。，问至少要去几位学生才能保证一定

有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？

2、学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。每个学生从中任意借两本，

那么至少要几个同学才能保证一定有两人所借的图书属于同一种？

3、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子，颜色有绿、红、黄

三种，问最少要取出多少个珠子才能保证有两个同色的？

[例题3]一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、

蓝、黄四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有3副同色的？

把四种不同的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，要保证有1副同色

的，就是1个抽屉里至少有2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出5只手套。这

时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。再根据抽屉原理，只要再摸

出2只手套又能保证有一副手套是同色的，以此类推。

把四种颜色看成是4个抽屉，要保证有3副同色的，先考虑保证有一副就要

摸出5只手套。这时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。根据抽屉

原理，只要再摸出2只手套又能保证有一副手套是同色的。以此类推，要保证有

3副同色的，共摸出的手套有

5+2+2=9（只）

答：最少要摸出9只手套才能保证有3副同色的。

练习3：

1、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄

四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有4副同色的？

2、布袋中有同样规格但颜色不同的袜子若干只。颜色有白、黑、蓝三种。

问：最少要摸出多少只袜子，才能保证有3双同色的？

3、一个布袋里有红、黄、蓝色袜子各8只。每次从布袋中拿出一只袜子，

最少要拿出多少只才能保证其中至少有2双不同袜子？

【例题4】任意5个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是4的倍数,

这是为什么？

一个自然数除以4的余数只能是0,1,2,3。如果有2个自然数除以4的

余数相同，那么这两个自然数的差就是4的倍数。

一个自然数除以4的余数可能是0,1,2,3,所以，把这4种情况看做时

个抽屉，把任意5个不相同的自然数看做5个元素，再根据抽屉原理，必有一个

抽屉中至少有2个数，而这两个数的余数是相同的，它们的差一定是4的倍数。

所以，任意5个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是4的倍数。

练习4：

1、任意6个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是5的倍数，这是为

什么？

2、任意取几个不相同的自然数，才能保证至少有两个数的差是8的倍数？

3、证明在任意的（n+1）个不相同的自然数中，必有两个数之差为n的倍数。

【例题5】能否在图29-1的5行5列方格表的每个空格中，分别填上1,2,

3这三个数中的任一个，使得每行、每列及对角线AD、BC上的各个数的和互不

相同？

由图29-1可知：所有空格中只能填写1或2或3。因此每行、每列、每条

对角线上的5个数的和最小是1X5=5,最大是3X5=15。从5到15共有11个互

不相同的整数值，把这n个值看承n个抽屉，把每行、每列及每条对角线上的

各个数的和看承元素，只要考虑元素和抽屉的个数就可得出结论是不可能的。因

为每行、每列、每条对角线上的5个数的和最小是5,最大是15,从5到15共

有H个互不相同的整数值。而5行、5列及两条对角线上的各个数的和共有12

个，所以，这12条线上的各个数的和至少有两个是相同的。

练习5：

1、能否在6行6列方格表的每个空格中，分别填上1,2,3这三个数中的

任一个，使得每行、每列及对角线上的各个数的和互不相同？为什么？

2、证明在8义8的方格表的每个空格中，分别填上3,4,5这三个数中的任

一个，在每行、每列及对角线上的各个数的和中至少有两个和是相同的。

3、在3义9的方格图中（如图29-2所示），将每一个小方格涂上红色或者蓝

色，不论如何涂色，其中至少有两列的涂色方式相同。这是为什么？

答案：

练1

1、1992年共有366天，把它看成是366个抽屉，把370个人放入366个

抽屉中，至少有一个抽屉里有两个人，因此其中至少有2个学生的生日是同一天

的。

2、2月份最多有29天，把它看作29个抽屉，把30名学生放入29个抽屉，

至少有一个抽屉里有两个人，因此这30名学生中至少有两个学生的生日是在同

一天。

3、一年有12个月，把12个月看作12个抽屉，把15个小朋友放入12个抽

屉中，至少有一个抽屉里有两个小朋友，因此至少有2个小朋友是才同一个月出

生。

练2

1、买书的类型中买一本的有4种，买二本的有6种，买三本的有4种，买

4本的有一种，共有4+6+4+1=15种情况。把种15种情况看出15个抽屉，要保

证有两位同学买到相同的书，至少要去16位学生。

2、从三周图书种任意借2本，只有6种情况。要保证有两个所借的图书属

于同一种，至少要7个学生。

3、玻璃珠子的颜色有三种，要保证有2个同色，最少应取出4只珠子。

练3

1、思路同例3,最少要摸出n只手套才能保证有4付同色的。

2、把三种颜色看作3个抽屉，要保证有一双同色的就要摸出4只袜子，这

时拿出1双同色的后，3个抽屉中还剩2只袜子。以后，只要再摸出2只袜子就

可保证有一双同色的。因此，要保证有3双同色的，最少要摸4+2+2=8只袜子。

3、袋中有三种袜子时。每次从袋中拿出一只袜子，有可能拿出8只都是同

一颜色。在余下两种颜色中要拿出一双同色的袜子，最少要取3只。因此，最少

要拿出8+3=11只才能保证其中至少有2双颜色不同的袜子。

练4

1、一个自然数除以5的余数可能是0、1、2、3、4,把这5种情况看做5

个抽屉，6个不同的自然数放入这5个抽屉，必有一个抽屉中至少有两个数，这

两数的余数是相同的，所以它们的差一定是5的倍数。

2、一个自然数除以8的余数可能是0、1、2、3、4、6、7,把这8种情况

看做8个抽屉，要保证至少有两个数的差是8的倍数，就要保证至少有1个抽屉

里有两个数，根据抽屉原理，要取9个不同的自然数，才能保证至少有两个数的

差是8的倍数。

3、一个自然数除以n的余数可能是0、1、2、3、…..n—1,把这n种情况

看作n个抽屉，把（n+1）个自然数反复如n个抽屉中去，则必有一个抽屉中有

两个数，这两个数的余数相同，则它们的差一定能被n整除，也就是n的倍数。

练5

1、不可能。因为每行、每列、每条对角线上的6个数的和最小是6,最大

是18。从6到18共有13个不同的整数值，而6行、6列及两条对角线上的各个

数的和共有14个，所以这14条线上的各个数的和至少有两个是相同的。

2、因为每行、每列、每条对角线上的8个数的和最小是24,最大是40。从

24到40共有17个互不相同的整数值，而8行、8列及两条对角线上的各个数的

和共有18个，所以这14条线上的各个数的和至少有两个是相同的。

3、每个方格中可涂上红、蓝两种不同的颜色，每列3个方格的土色就有2

X2X2=8种不同情况，把这8种情况看做8个抽屉，根据抽屉原理，9列中至

少有两列的土色方式是相同的。

第30周抽屉原理（二）

一、知识要点

在抽屉原理的第（2）条原则中，抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而

增加，当元素总数达到抽屉数的若干倍后，可用抽屉数除元素总数，写成下面的

等式：

元素总数=商义抽屉数+余数

如果余数不是0,则最小数=商+1;如果余数正好是0,则最小数=商。

二、精讲精练

【例题1】幼儿园里有120个小朋友，各种玩具有364件。把这些玩具分给

小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？

把120个小朋友看做是120个抽屉，把玩具件数看做是元素。则364=120X

3+4,4<120o根据抽屉原理的第（2）条规则：如果把mXxXk（x>k>l）个

元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。可知至

少有一个抽屉里有3+1=4个元素，即有人会得到4件或4件以上的玩具。

练习1:

1、一个幼儿园大班有40个小朋友，班里有各种玩具125件。把这些玩具分

给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？

2、把16枝铅笔放入三个笔盒里，至少有一个笔盒里的笔不少于6枝。这是

为什么？

3、把25个球最多放在几个盒子里，才能至少有一个盒子里有7个球？

【例题2】布袋里有4种不同颜色的球，每种都有10个。最少取出多少个

球，才能保证其中一定有3个球的颜色一样？

把4种不同颜色看做4个抽屉，把布袋中的球看做元素。根据抽屉原理第（2）

条，要使其中一个抽屉里至少有3个颜色一样的球，那么取出的球的个数应比抽

屉个数的2倍多1。即2*4+1=9（个）球。列算式为

（3—1）X4+1=9（个）

练习2：

1、布袋里有组都多的5种不同颜色的球。最少取出多少个球才能保证其中

一定有3个颜色一样的球？

2、一个容器里放有10块红木块、10块白木块、10块蓝木块，它们的形状、

大小都一样。当你被蒙上眼睛去容器中取出木块时，为确保取出的木块中至少有

4块颜色相同，应至少取出多少块木块？

3、一副扑克牌共54张，其中1—13点各有4张，还有两张王的扑克牌。至

少要取出几张牌，才能保证其中必有4张牌的点数相同？

［例题3］某班共有46名学生，他们都参加了课外兴趣小组。活动内容有

数学、美术、书法和英语，每人可参加1个、2个、3个或4个兴趣小组。问班

级中至少有几名学生参加的项目完全相同？

参加课外兴趣小组的学生共分四种情况，只参加一个组的有4种类型，只参

加两个小组的有6个类型，只参加三个组的有4种类型，参加四个组的有1种类

型。把4+6+4+1=15（种）类型看做15个抽屉，把46个学生放入这些抽屉，因

为46=3X15+1,所以班级中至少有4名学生参加的项目完全相同。

练习3：

1、某班有37个学生，他们都订阅了《小主人报》、《少年文艺》、《小学生优

秀作文》三种报刊中的一、二、三种。其中至少有几位同学订的报刊相同？

2、学校开办了绘画、笛子、足球和电脑四个课外学习班，每个学生最多可

以参加两个（可以不参加）。某班有52名同学，问至少有几名同学参加课外学习

班的情况完全相同？

3、库房里有一批篮球、排球、足球和铅球，每人任意搬运两个，问：在31

个搬运者中至少有几人搬运的球完全相同？

【例题4】从1至30中，3的倍数有304-3=10个，不是3的倍数的数有

30—10=20个，至少要取出20+1=21个不同的数才能保证其中一定有一个数是3

的倍数。

练习4：

1、在1,2,3,……49,50中，至少要取出多少个不同的数，才能保证其

中一定有一个数能被5整除？

2、从1至120中，至少要取出几个不同的数才能保证其中一定有一个数是

4的倍数？

3、从1至36中，最多可以取出几个数，使得这些数中没有两数的差是5

的倍数？

【例题5】将400张卡片分给若干名同学，每人都能分到，但都不能超过H

张，试证明：找少有七名同学得到的卡片的张数相同。

这题需要灵活运用抽屉原理。将分得1,2,3,……，n张可片看做n个

抽屉，把同学人数看做元素，如果每个抽屉都有一个元素，则需1+2+3+……

+10+11=66（张）卡片。而4004-66=6……4（张）,即每个周体都有6个元素，

还余下4张卡片没分掉。而这4张卡片无论怎么分，都会使得某一个抽屉至少有

7个元素，所以至少有7名同学得到的卡片的张数相同。

练习5：

1、把280个桃分给若干只猴子，每只猴子不超过10个。证明：无论怎样分，

至少有6只猴子得到的桃一样多。

2、把61颗棋子放在若干个格子里，每个格子最多可以放5颗棋子。证明：

至少有5个格子中的棋子数目相同。

3、汽车8小时行了310千米，已知汽车第一小时行了25千米，最后一小时

行了45千米。证明：一定存在连续的两小时，在这两小时内汽车至少行了80

千米。

答案：

练1

1、把40名小朋友看做40个抽屉，将125件玩具放入这些抽屉，因为125

=3X40+5,根据抽屉原理，可知至少有一个抽屉有4件或4件以上的玩具，所

以肯定有人会得到4件或4件以上的玩具。

2、把三个笔盒看做3个抽屉，因为16=5X3+1,根据抽屉原理可以至少有

一个笔盒里的笔有6枝或6枝以上。

3、把盒子数看成抽屉，要使其中一个抽屉里至少有7个球，那么球的个数

至少应比抽屉个数的（7—1）倍多1,而25=4X（7—1）+1,所以最多方子4

个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有7个球。

练2

1、最少应取出（3-1）X5+l=n个球

2、至少取出（4-1）X3+l=10块木块。

3、如果没有两张王牌，至少要取（4—1）X13+1=40张，再加上两张王牌，

至少要摸出40+2=42张，才能保证其中必有4张牌点数相同。

练3

1、小学六年中最多有2个闰年，共366X2+365X4=2191天，因为13170

=6X2192+18,所以其中一定有7人是同年同月同日生的。

2、参加课外兴趣小组的学生共分四种情况，只参加一个组的有4种类型，

只参加两个组的有6种类型，只参加三个字的有4种类型，参加四个组的有1

种类型。把4+6+4+1=15种类型看作15个抽屉，把46个学生放入这些抽屉，因

为46=15X3+1,所以班级中至少有4名学生参加的项目完全相同。

3、全班订阅报刊的类型共有3+3+1=7种，因为37=5X7+2,