全等三角形（解析版）-2024年八年级数学寒假提升学与练（人教版）

专题02全等三角形

鬻思维导图

全等形

对点

全等三角形的有关概念

全等三角形对应边

对应角

对应边相等

全等三角形的性质对应角相等

SSS:三边对应相等的两个三角形全等

SAS:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

ASA:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

全等三角形的判定

全等三角形AAS:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等

HL:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等

角的平分线判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上

平移型

对称型

全等的几种模型：

旋转型

倍长中线

常见辅助线截长补短

B-------------

给核心考点聚焦

1、全等图形

2、全等三角形的性质

3、全等三角形的判定方法

4、添加条件使三角形全等

5、全等三角形的应用

6、全等三角形与动点问题

7、角平分线的性质与判定

8、倍长中线模型

9、证明线段和差问题

10、常见的辅助线

一、全等三角形的定义和基本性质

1.基本定义

(1)全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.

(2)全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

(3)对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.

(4)对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.

(5)对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.

2.寻找全等三角形对应边、对应角的三种方法：

(1)图形特征法：

最长边对最长边，最短边对最短边；

最大角对最大角，最小角对最小角.

(2)位置关系法：

①公共角(对顶角)为对应角、公共边为对应边.

②对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角.

(3)字母顺序法:

根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角.

3.全等三角形的性质及应用

①全等三角形的对应边相等；

②全等三角形的对应角相等；

③全等三角形对应边上的高、中线、角平分线分别相等；

④全等三角形的周长相等，面积相等.

二、三角形全等的判定方法及思路

1.全等三角形的判定方法：

“边边边”定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等.

“边角边”定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.

“角边角”定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.

“角角边”定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.

“斜边、直角边”定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

2.全等三角形的证明思路：

一找夹角fSAS

已知两边＜找直角—HL

找另一边fSSS

'边为角的对边-＞找任一角-＞AAS

，找夹角的另一边fSAS

已知一边一角＜

边为角的邻边找夹边的另一角fASA

找边的对角—AAS

,找夹边fASA

已知两角＜

找一角的对边fAAS

三、角平分线的性质

1•角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.

注意：三角形的三条角平分线交于一点，到三边的距离相等.

2.角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，通常连接角的顶点和该点就能得到角

平分线.

lUHBlh血

一、全等的几种模型

（1）平移型

1.倍长中线法

倍长中线主要用于证明全等三角形，其主要是在全等三角形的判定过程中，遇到一般三角形边上的中线或

中点，考虑中线倍长.如图：

已知：在三角形ABC中，。为BC边中点，

辅助线：延长A。到点。使4?=。。，

结论：AAOBGADOC.

证明：如图，延长A0到点。使49=。。，由中点可知，OB=OC,

OA^OD

在AAOB和A。。。中，\^AOB=ZDOC,：.AAOB^ADOC.

OB=OC

总结：由倍长中线法证明三角形全等的过程一般均是用SAS的方法，这是由于作出延长线后出现的对顶角

决定的.

2.截长或补短(含有线段一关系或求证两线间关系时常用).

截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略.截长：在长线

段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分

等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段.

基本图形，如下：

在△ABC中，AB>AC,AM平分LC

(1)在上截取AD=AC；(2)把AC延长到点E,使=

考点剖析

考点一、全等图形

例1.如图1,把大小为4x4的正方形网格分割成了两个全等形.请在图2中，沿着虚线画出四种不同的分

割方法，把4x4的正方形网格分割成两个全等形.

图1

画法1画法2画法3画法4

图2

【解析】•••要求分成全等的两块，

每块图形要包含有8个小正方形.

考点二、全等三角形的性质

例2.如图，A,E,C三点在同一直线上，且△ABC丝ZX/ME.

⑴求证：DE=CE+BC-,

(2)猜想：当VADE满足什么条件时DE〃3C?并证明你的猜想.

【解析】(1)解：,/AABC^ADAE,

：.BC=AE,AC=DE,

・・.DE=AC=CE+AE=CE+BC；

(2)解：猜想，NAED=90。时，DE//BC,

*.•AABC^ADAE,

：.ZAED=NBCA,

•・•DE//BC,

：.NBCE=NDEC,

:・NDEC=ZAED,

又ZDEC+ZAED=180°,

.・・NAED=90。,

・••当VAD£是直角三角形，且NAED=90。时，DE//BC.

考点三、全等三角形的判定方法

例3.如图，点C,E,F,5在同一直线上，点A,。在异侧，AB//CD,AE=DF,ZA=ZD.

⑴请判断AB和8的数量关系，并说明理由;

(2)若AB=CF,4=40。，求/。的度数.

【解析】(1)证明：・・•AB〃CD,

在ZVIBE和△DCF中,

ZA=ZD

・.・]ZB=ZC,

AE=DF

・•・AABE之人DCF,

・・・AB=CD.

(2)解：△DCF,

：.AB=CDfBE=CF,/B=NC,

ZB=40°,

・・・ZC=40°.

AB=CF,

：.CF=CD,

：.ZD=ZCFD=|x（180°-40°）=70°.

考点四、添加条件使三角形全等

例4.如图，已知=

（1）现要从如下条件中再添加一个①AC=EF；②AB=DE；③NA=NE；④a=C3得到

AABC^AEDF.你添加的条件是：.（填序号）

（2）选择（1）中的一种情况进行证明.

【解析】（1）解：②或③（任选一个填即可）

（2）选择②

证明：-.CD=BF,

:.CD+CF=BF+CF,

:.DF=CB,

•;AB〃ED，

:.ZB=ZD,

AB=DE

，在△ABC和△EZ如中，=

、DF=CB

AABC^AEDF（SAS）；

选择③

证明：■.■CD=BF,

：.CD+CF=BF+CF,

:.DF=CB,

-,-AB//ED，

:.ZB=ZD,

ZA=NE

...在AABC和A471中,=

DF=CB

AEOF(AAS).

考点五、全等三角形的应用

例5.如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞.油纸伞的制作工艺十分巧

妙，如图②，伞圈。沿着伞柄AP滑动时，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的/B4C,伞骨80,

的8,C点固定不动，且到点A的距离AB=AC.

(1)当。点在伞柄AP上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和8相等吗？请说明理由.

(2汝口图③，当油纸伞撑开时,伞的边缘M,N与点、。在同一直线上，若/B4C=140。,/MBD=120。，求NCDA

的度数.

【解析】(1)解：相等.理由如下：

•..伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的ZBAC,

：.ZBAD=ZCAD.

在和△ACD中,

AB^AC

•：\NBAD=ZCAD,

AD=AD

：.AABD^AACD(SAS).

...BD=CD.

(2)解：VZBAC=140°,

NBAD=ZCAD=-ABAC=-x140°=70°.

22

又「ZMBD=120°,

/.Z.BDA=ZMBD-NBAD=120。—70°=50°.

AABD^AACD,

...ZCDA^ZBDA^50°.

考点六、全等三角形与动点问题

例6.如图，己知△ABC中，ZB=ZC,AB=8厘米，3C=6厘米，点。为43的中点，如果点尸在线段

3C上以每秒2厘米的速度由8点向C点运动，同时，点Q在线段C4上以每秒。厘米的速度由C点向A点

运动，设运动时间为f(秒)(0Vt<3).

A

(1)用含，的代数式表示PC的长度；

(2)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，ABPD与VCQP是否全等,请说明理由；

(3)若点P、。的运动速度不相等，当点。的运动速度。为多少时，能够使△8PD与VCQP全等?

【解析】(1)解：由题意得：PB=2t,

则尸C=6—2r；

(2)解：ACQPdBPD,理由如下：

当f=l时，由题意得：a=2,PB=CQ=2,

：.PC=6—2=4,

ZB=ZC,

AC=AB=8,

,/。是A8的中点，

BD=-AB=4,

2

BD=PC=4,

在VCQP和ABPD中，

'PC=BD

•：\ZC=ZB,

CQ=PB

：.ZXCQP^ABPD(SAS)；

(3)解：•.•点尸、Q的运动速度不相等,

PB半CQ,

当ABPD与VCQP全等,且NB=NC,

:.BP=PC=3,CQ=BD=4,

*.*BP=2t=3,CQ=at=4,

2

2

Q

.•.当。=点时，能够使ABPD与VCgP全等.

考点七、角平分线的性质与判定

例7.如图，画NAOB=90。，并画/A03的平分线OC.

（1）将三角尺的直角顶点落在0c的任意一点P处，使三角尺的两条直角边与/A03的两边分别垂直，垂足分

别为E、/（如图①），则PEPF；（填或“=”）

（2）把三角尺绕着点尸旋转（如图②），两直角边分别与。4、08交于点E、F,那么PE与尸尸相等吗？试猜

想尸E与尸尸的大小关系，并说明理由.

【解析】（1）解：平分NAOB,PE1OA,PFLOB,

:.PE=PF,

故答案为：=;

（2）PE=PF,理由如下：

过户作尸出，。4于PN1OB于N,如图②所示：

贝U/PME=/PNF=90。，

•••ZAO3=90°,0C平分ZA03,

..ZAOC=ZBOC=45。，

:.ZOPM=Z.OPN=45°,

:"MPN=90°,

■.■ZEPF=90°,

:.ZMPE=ZNPF,

由（1）得,PM=PN,

在Z\MPE和Z\NPF中,

AMPE=ZNPF

<PM=PN,

NPME=ZPNF

：.^MPE^^NPF(ASA),

:.PE=PF.

考点八、倍长中线模型

例8.(1)在△ABC中，AB=4,AC=6,是BC边上的中线，则中线AD长范围为:

(2)如图，在ZXABC中，AO是BC边上的中线，点、E,尸分别在AB,AC上，且£)E_L£)P,求证：

BE+CF>EF.

【解析】(1)如图，延长AD至G,使OG=AT>,连接BG,

则AG^IAD,

­••AO是BC边上的中线，

/.BD—CD,

在八位)。和△GDB中，

CD=BD

<ZADC=ZGDB,

AD=GD

.-.△ADC^AGDB(SAS),

BG=AC=6,

•/BG—AB<AG<BG+AB,

.*.6-4<AG<6+4,即2<AG<10,

/.2<2AD<10,

.*.1<AD<5,

故答案为：1<M><5；

(2)证明：如图，延长至H使石。=D",连接C”,FH,

在△8。石和MDH中，

CD=BD

<ZBDE=ZCDH,

ED=HD

:./\BDE^/\CDH(SAS),

:.BE=CH,

・；DELDF，ED=HD,

:.EF=HF,

•;CF+CH>FH,

:.CF+BE>EF.

考点九、证明线段和差问题

例9.如图所示，在ZVlBC,ZA=100°,ZABC=40°,5。平分/ABC交AC于点O,延长至点E,

使=连接CE.求证：BC=AB+CE.

【解析】证明：如图所示，在BC上取一点尸使得防=钻，连接。尸,

・・・ZABC=ZACB=40°f

•・•BD是ZXA5c的角平分线,

ZABD=ZFBD=20°,

在△河£>和△FSD中，

AB=FB

</ABD=ZFBD,

BD=BD

：.AABZ)^AFBD(SAS),

:・NADB=NFDB,AD=DF,

XVAD=ED,NADB=NEDC,

JZADB=ZFDB=ZCDE=180°-100°-20°=60°,FD=ED,

：.NFDC=180°-ZADB-NFDB=60°=NEDC,

在△CDE和△CD厂中，

ED=FD

<ZCDE=/CDF,

CD=CD

：.ACDE^ACZ)F(SAS),

CE=CF,

：.BC=BF+CF=AB+CE.

考点十、常见的辅助线

例10.如图，AABC中，AB=AC,在上取一点E,在AC的延长线上取一点E使CP=8瓦连接EF,交BC

于点D求证：DE=DF.

【解析】证明：作小〃AB交BC延长线于

H

BD

■:FHIIAB,

：.ZFHC=ZB,ZBED=ZHFD.

又,；A2=AC,

/.ZB=ZACB.

又NACB=NFCH,

：.ZFHC=ZFCH.

：.CF=HF.

又；BE=CF,

：.HF=BE.

在AOBE和A。“F中，

,ZB=ZFHC

<BE=HF,

ABED=ZHFD

：./\DBE^/\DHF(ASA).

：.DE=DF.

，过关检测

一、选择题

1.如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点。为A4'、班’的中点，只要量出A0的

长度，就可以知道该零件内径A3的长度.依据的数学基本事实是()

A.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等B.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等

C.三边分别相等的两个三角形全等D.两点之间线段最短

【答案】B

【解析】•,,点。为A4'、88'的中点，

:.OA=OA,OB=OB,

由对顶角相等得ZAOB=ZAOB',

在ZVIOB和△AOB'中，

OA=OA'

<ZAOB=ZA'OB',

OB=OB'

..△AO3四△A'Og'(SAS),

r

:.AB=ABf

即只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度,

故选B.

2.如图，△AQB也△ADC,NO=ND=90。，ZOAD=7009当AO〃5C时，则NABO度数为（）

A.35°B.40°C.45°D.55°

【答案】A

【解析】VAAOB^AADC,

AAB=AC,ZBAO=ZCAD,

：.ZABC=ZACBf

设NABC=NACB=x,

BC//OA,

：.ZABC=ZBAO=ZCAD=xfZACB-bZCAO=180°,

・•.ZACB+ZCAD+ZOAD=180°,

ZOAD=r70°,

Ax+x+70°=180°,

解得：x=55°,

・•・ZBAO=55°,

•「ZAOB=90°,

JZABO=90°-55°=35°.

故选A.

3.如图，点A,C,B,。在同一条直线上，已知：CE=DF,ZACE=NBDF,下列条件中不能判

定△ACE也△5。方的是

A.ZE=ZFB.AC=BDC.AE=BFD.AE//BF

【答案】C

【解析】A、符合全等三角形的判定定理ASA,能推出△ACE四△5。方，故本选项不符合题意;

B、符合全等三角形的判定定理SAS,能推出△ACE也△§£＞产，故本选项不符合题意；

C、不符合全等三角形的判定定理，SSA不能推出△ACE也△应甲，故本选项符合题意；

D、因为尸，所以NA=NFBD,所以符合全等三角形的判定定理AAS,能推出△ACE之△3£甲，

故本选项不符合题意.

故选C.

4.如图，在△ABC中，AC=BC,ZACB=90°,A£＞平分N54C,BE,交AC的延长线于尸，E为

垂足，则结论：®AD=BF；②CF=CD；@AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE；其中正确结论

的个数是（）

【答案】D

【解析】BC=AC,ZACB=9Q°,

ZCAB=ZABC=45°,

•.•AD平分/8AC,

ZBAE=ZEAF=22.5°,

在RtAACD与RtABFC中，

NEAF+ZF=90°,ZFBC+NF=90°,

ZEAF=ZFBC,

VBC^AC,NEAF=NFBC,NBCF=ZACD,

：.RtAADC^RtABFC,

:.AD=BF,故①正确.

②•①中RtAADC^RtABFC,

:.CF=CD,故②正确.

③••,①中RtAADC^RtABFC

:.CF=CD,AC+CD^AC+CF^AF,

ZCBF=ZEAF=22.5°,

在RtAAEF中，ZF=90°-ZEAF=67.5°,

-,-ZCAB=45°,

ZABF=180°-ZF-ZCAB=180°-67.5°-45°=67.5°,

:./\ABE^/\AFE,

:.AF=AB,

即AC+CD=AB,故③正确.

④由③可知，AF^AB,

易知ZCBF=Z.EAB=22.5°,

若BE=CF,则有ABC尸丝△AEB,

则有=则可得△说为等边三角形，

这与①中的/。止=45。矛盾，故④错误.

⑤由③可知，BE=EF,

:.BF=2BE,故⑤正确.

①②③⑤四项正确，

故选D.

5.如图，在ZVLBC中，/ABC和—ACB的平分线相交于点。，过点。作EF〃BC交AB于点E,交AC

于点色过点。作8,AC于点D.下列四个结论：

①EF=BE+CF；(2)ZBOC=90°+1ZA；③点。到△ABC各边的距离相等；

④设0。=根，AE+AF=n,则S^AEF=gm〃.其中正确的结论有()

A

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【解析】①•.•NABC和NACB的平分线相交于点O,

:.ZEBO=ZCBO,NBCO=NFCO,

'：EF//BC,

:.ZCBO=ZEOB,ZBCO=ZCOF,

:.ZEBO=ZEOB,ZFCO=ZCOF,

;.BE=EO,OF=CF,

EF=EO+OF=BE+CF,故①正确；

②•.•/ABC和，ACS的平分线相交于点O,

ZOBC+ZOCB=1(ZABC+ZACB)=1(180°-ZA)

\?BOC180?(?OBC?OCB)

=180°-^(180°-ZA)

=90。+144,故②正确；

2

③•.•NABC和，ACS的平分线相交于点O,

」•点。是△ABC的内心，

.・•点。到△ABC各边的距离相等，故③正确;

④连接AO,

：.S^AFF^-AEOD+-AFOD

△AEF22

=-(AE+AF)OD

=-mn,故④正确；

综上分析可知，正确的有4个.

故选D.

二、填空题

6.如图，在3x3的正方形网格中标出了N1和N2,则Nl+N2=度.

【答案】135

【解析】如图，连接AO、BD,ZADB=90°,AD=BD=BC,NDAB=/DBA=45°,

由图可知，在ADFB和△BEC中,

DF=BE

，ZDFB=ZBEC=9Q°,

FB=EC

;△DFB^^BEC(SAS),

:.ZDBF=Z2,

-.■ZDBA=45°,

Z1+Z2=Z1+Z.DBF=180°-45°=135°,

故答案为：135.

7.如图，已知AC平分若添加一个条件使ZkABC经3DC,则这个条件可以是（写三个条件）.

【答案】4）=45或-3=/4或/6=/0

【解析】AC平分

.-.Z1=Z2,

又,.,AC=AC,

二添加AD=AB,利用SAS即可得到△ABC名△ADC；

添加/3=/4,利用ASA即可得到AABC^AADC；

添力口Nfi=ND,利用AAS即可得到△ABC峪八位）。.

故答案为：4）=钻或/3=/4或/6=/£>.

8.如图，在Rt/XABC中，ZABC=90°,BC=5,3。_147于点。，点£在边钻上，且BE=BC,过点E

作EF_LAB交3£>延长线于点尸，若£F=12,则AE=.

A

【答案】7

【解析】VEF±AB,

：./FEB=90。,

BF±AC,

：.ZADB=90°,

ZF+ZFBE=90°,ZA+ZFBE=90°,

：.ZA=ZF,

在△ACS和AFEB中，

ZA=ZF

<ZABC=NFEB,

CB=EB

：.AACB^AFBE(AAS).

AB=EF=12.

'：EB=BC=5,

：.AE=12-5=7.

故答案为：7.

9.如图，已知在以小中，ZAEC=90。，点。，8分别在边CE,AE上，DF工AC于F,BD=CD,BE=CF.

(1)若NC=60。，贝！JN&4D=；

(2)已知AC=10,BE=2,则A3的长是.

【解析】（1）•；/AEC=90。，DF±AC,

ABED=Z.DFC=90°,

在RtABDE和RtACDF中,

\BE=CF

[BD=CD'

RtABD£^RtACDF(HL),

:.DE=DF,

.•.4。平分4"，

:.ZBAD=-ZEAC,

2

■.■ZAEC=90°,ZC=60°,

ZEAC=90°-ZACE=30°,

ZBAD=-ZEAC=15°,

2

故答案为：15。；

(2)•：BE=2,

：.CF=BE=2,

.­.AF=AC-CF=10-2=8,

在RtAADE和RtAADF中，

[DE=DF

[AD=AD'

RtAADE丝RtA4D厂(HL),

.-.AE=AF=8,

:.AB=AE-BE=8-2=6,

故答案为：6.

10.如图，在△ABC中，AB=AC=24厘米，BC=16厘米，点。为A3的中点，点尸在线段BC上以4厘

米/秒的速度由8点向C点运动，同时，点。在线段C4上由C点向A点运动，当点。的运动速度为_____厘

米/秒时，能够在某一时刻使ABPD与△CQP全等.

【解析】设经过x秒后，使与VCQP全等,

•.•AB=AC=24厘米，点。为A3的中点，

，BD=12厘米，

ZABC=ZACB,

•••要使△BPD与yCQP全等，必须3D=C尸或BP=CP,

即12=16-4x或4x=16—4x,

解得：x=l或x=2,

x=l时，BP=CQ=4,4+1=4；

x=2时，BD=CQ=12,12+2=6；

即点。的运动速度是4厘米/秒或6厘米/秒，

故答案为：4或6.

三、解答题

11.如图，在ZVLBC中，AB=AC,。为3c上一点，DE±AB,DF±AC,垂足分别为E、F,且

/.请选择一对你认为全等的三角形并加以证明.

(1)你选择的是：△_________空4___________；

(2)根据你的选择，请写出证明过程.

【解析】(1)解：根据图形和已知条件，选择证明的全等三角形为A血丝AAFD,

故答案为：AED,AFD(答案不唯一)；

(2)证明：\DE±AB,DF1AC,

.•.△AEO和△AFD是直角三角形，

在RtAAED和RtAAFD中，

[AD=AD

[DE^DF'

RtAAED^RtAAFD(HL).

12.如图，点£＞、E分别在线段AB,AC上，AE=AD,不添加新的线段和字母，从下列条件①々=NC,

②BE=CD,③AB=AC,④NADC=NA£B中选择一个使得△ABEg/XACD.

A

DL\E

BC

(1)你选择的一个条件是(填写序号)

(2)根据你的选择，请写出证明过程.

【解析】(1)解：：=ZA=/4,可以利用SAS,AAS,ASA三种方法证明△ABEg/XACD；

故可以选择的条件可以是：①或③或④

(2)选择①：

在ZVLBE和△ACO中，

ZA=ZA

<ZB=ZC,

AE=AD

：.AABE^AACD(AAS)；

选择③

在△ABE和△AC。中，

AB=AC

<ZA=ZA,

AE=AD

：.AABE^AACD(SAS)：

选择④

在ZVIBE和△ACD中，

ZADC=ZAEB

<AE=AD,

ZA=ZA

AABE^AACD(ASA).

13.如图，点A,B,C,。在同一条直线上，点E,尸分别在直线AB的两侧，且AE=3尸，ZA=ZB,

ZACE=ZBDF.

(1)求证：AADE刍Z\BCF.

⑵若AB=8,AC=2,求8的长.

【解析】(1)证明：在△/(：£；和VBDF中,

/A=N3

<ZACE=ZBDF,

AE=BF

.-.AACE^ABDF(AAS).

AC=BD.

AD=BC.

在VAD£和ABCF中

AE=BF

<AA=AB,

AD=BC

;△ADE名Z\BCF(SAS).

(2)由(1)知VACEHBD尸，

：.BD=AC=2,

•.,AB=8,

:.CD^AB-AC-BD^4,

故8的长为4.

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