数列综合应用-高考数学一轮复习讲义

目录

数列的综合应用...................................................................2

【课前诊断】...................................................................2

【知识点一：通项公式的求法】...................................................3

考点一:公式法求通项..................................................................4

考点工：已知S"求知..................................................................4

考点三：累加累乘.....................................................................4

考点8：遹推关系......................................................................4

【知识点二：前N项和的求法】...................................................5

考点一：直接求和......................................................................7

考点二：分组求和......................................................................8

考点三：裂项相请法求和...............................................................8

考点叫错住相减法求和...............................................................8

考点五：例序相加法求和...............................................................8

【知识点三：数列的证明与单调性最值问题】.......................................9

【典型例题】..................................................................10

【小试牛刀】..................................................................13

【巩固练习——基础篇］........................................................14

【巩固练习——提高篇1............................................................................................16

数列的综合应用

【课前诊断】

成绩（满分10）：完成情况：优/中/差

A」

B.2C.2D.-

22

【答案】D

A.、c.±§

B.—2D.±2

33

【答案】B

A.81B.120C.168D.192

【答案】B

【答案】—

22

【知识点一：通项公式的求法】

求解数列通项的方法

1.公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

【典型例题】

考点一：公式滥求逐项

(I)求数列｛〃“｝的通项公式;

(I)求数列｛%｝的通项公式;

考点二：巳知5“求。”

(I)求数列｛%｝的通项公式;

(I)求“［和

考点三：累加累票

考点词：通推美系

求数列｛4｝的通项公式;

【知识点二：第•!！项和的求法】

1.直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.

2,分组求和法：把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组

合，或者把整个数列分成两部分等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分

别进行求和例如对通项公式为an=2n+3n的数列求和.

3.倒序相加法：等差数列前n项和的推导方法，即将S“倒写后再与S“相加，从而达到

（化多为少）求和的目的，常用于组合数列求和.

4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，然后把数列的每一项都按照这种方法拆成两

常见的拆项公式：

一般步骤:

【典型例题】

考点一：直接求和

例1.设｛斯｝是等差数列，若02=3,47=13,则数列｛斯｝的前8项和为（）

A.128B.80C.64D.56

【答案】C

练1.如果等差数列｛〃〃｝中，〃3+。4+。5=12,那么〃1+〃2+…+。7等

于（）

A.14B.21C.28D.35

【答案】C

（1）求｛g｝的通项公式；

【答案】153

考点二：分组求和

（1）求P，q的值；

（2）求数列｛%｝的前n项和S,,.

（I）求数列｛《｝和｛%｝的通项公式;

（II）求数列｛a｝的前力项和.

【解析】（I）设等比数列伍,』的公比为q,由题意得

考点三：裂项相道法求和

A.12B.11C.10D.9

【答案】C

【答案】120

考点8：错住相减法求和

21

练1.设数列｛为｝满足ai=2,an+i—a,i=3-2".

（I）求数列｛诙｝的通项公式；

（II）令b"=na",求数列｛仇｝的前〃项和S".

练2.已知数列｛"J的各项均为正数，S,,是数列｛%｝的前“项和，且

（I）求数列｛晦｝的通项公式；

（2）7=（2«-1）2,,+1+2

考点五：倒序相加法求和

也

【答案】（1）—

【知识点三：教列的证明与单调性最值问题】

1.前〃项的和或积最大（最小）问题

2.数列的单调性

3.数列与不等式的综合

等差数列等比数列

定义

通项公式

中项性质

求和公式

性质应用

性质推广，若

如何证明

【典型例题】

（I）求｛%｝的通项公式；

【答案】：

所以｛4｝是以1位首项，2位公比的等比数列.

11

所以一是以1位首项，士为公比的等比数列.

42

所以实数2的最小值为2........................9分

（II）设等差数列｛“"｝公差为d,

（I）求数列｛〃0｝的通项公式；

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】解：（I）设等差数列｛4｝的公差为d.

（II）选①：

选②：

选③：

(I)求数列｛4｝的通项公式;

【答案】

练1.已知数列｛an｝的通项公式为

an=2n+(-1)n+i.(1+Xn),其中是常数，n©N*.

(I)当an=—l时，求入的值；

(II)数列｛an｝是否可能为等差数列?证明你的结论；

(III)若对于任意nGN*,都有an>0,求入的取值范围.

所以n=2时，a2=3—2X.1分

由3—2/=—1,

解得九=2.2分

(II)解：数列｛an｝不可能为等差数列，证明如下：

ai=3+>，a2=3—2/，a3=7+3九，34=7—4X.4分

若存在入，使｛an｝为等差数列，则2a2=ai+a3,5分

即2(3—2/)=(3+九)+(7+3入)，

解得入」.6分

2

37

于是，a2—ai=—3入=—,a4—a3=—7>=一，这与｛an｝为等差数列矛盾！

22

所以，对任意实数入，｛an｝都不可能是等差数列.7分

因为2—,随着正偶数n的增大而增大，

n

13

欲使上式对于任意正偶数恒成立，则九<2--=-.9分

22

【小试牛刀】

(II)求数列｛%｝的通项公式.

因此数列2是首项为工公差为3的等差数列.

2”24

(I)求数列｛%"的通项公式;

(IV)求数列｛4｝的前〃项和T..

【答案工

【巩固练习---基础篇】

2.已知｛an｝是等差数列，满足ai=3,a4=12,数列｛bn｝满足bi=4,b4=20,且｛bn-an｝为等比

数列.

(I)求数列｛an｝和｛bn｝的通项公式;

(II)求数列｛bn｝的前n项和.

解：(1)设等差数列｛an｝的公差为d,由题意得

B=3.

d=-------

33

.'.an=ai+(n-1)d=3n(n=l,2,...).

，数列｛an｝的通项公式为：an=3n；

设等比数列｛bn-aj的公比为q,由题意得:

b-a20-12

q3：44=8,解得q=2.

电一力4-3

11-1=n-

.,.bn-an=(bi-ai)q2

从而bn=3n+2n-1(n=l,2,