人教版八年级数学下册专项提优：构造三角形中位线的常用技巧（解析版）

专题18构造三角形中位线的常用技巧（解析版）

专题静囱如析及针对训练

类型一连接两中点构造中位线

典例1如图，在AABC中，AB=AC=5,BC=6,D、E分别是AB、AC的中点，F、G为BC上的两点，FG=3,

线段。G,EF的交点为O,当线段FG在线段BC上移动时，三角形FG。的面积与四边AOOE的面积之和恒为

定值，则这个定值是（）

A.15B.12C.9D.6

思路指引：连接。E,过A作AHLBC于"由于OE是A3、AC的中点，利用三角形中位线定理可得。石〃BC,

并且可知AADE的高等于|4H,再结合等腰三角形三线合一性质，以及勾股定理可求A8,那么△A£>£的面积就

可求.而所求SAFOG+S四边形ADOE=SAAD£H"SA£>OE+SAFOG，又因为△OOE和△■FOG的底相等，身之和等于AH的一■半，

故它们的面积和可求，从而可以得到SAFOG+S四边形AOOE的面积.

解：如图：连接DE,过A向BC作垂线，H为垂足，

：△ABC中，D、E分别是A3、AC的中点，

：.DE,AH分另（]是AABC的中位线和高，BH=CH=^BC=x6=3,

\'AB=AC=5,BC=6,由勾股定理得AH=7AB2一BH2=752-32=4,

S^ADE=28c•一=|x3xg=3,

设ADOE的高为a,MOG的高为b,则°+。=等=2,

SADOE+SAFOG—^DE,a+^FG*b—1x3（a+b）=[x3x2=3,

三角形FGO的面积与四边ADOE的面积之和恒为定值，则这个定值是

S^ADEr^SADOE+SAFOG—34-3—6.

故选：D.

方法点睛：本题属中等难度题目，涉及到三角形中位线定理，解答此类题目时一般只要知道中点要作中位线，已

知等腰三角形要作高线，利用勾股定理解答.

针对训练

1.如图，AABC的中线B。，CE相交于点0,F,G分别是8。，CO的中点，求证：EF〃DG且EF=DG.

解：连接£D,PG.证四边形。EFG是平行四边形，.,.EP〃DG且匹=DG.

类型二连接第三边构造中位线

典例2（2022秋•泰山区校级期末）如图，在菱形48CO中，E,E分别是边CO,8c上的动点，连接AE,EF,G,

〃分别为AE,跖的中点，连接GH.若/B=45。，BC=25则GH的最小值为（）

A.V3B.—C.V6D.—

22

思路指引：连接AR利用三角形中位线定理，可知GH=*4F,求出的最小值即可解决问题.

解：连接AR如图所示：

R

•.•四边形是菱形，

：.AB=BC=2V3,

■：G,X分别为AE,E尸的中点，

；.GH是A4EF的中位线，

1

：.GH=^AF,

当时，AB最小，G//得到最小值,

则NAFB=90°,

,//2=45。，

AABF是等腰直角三角形,

：.AF=^AB=X2V3=V6,

：.GH=^-,

即G//的取小值为三，

故选：D.

方法点睛：本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，

解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.

针对训练

1.（2021秋•孟津县期末）如图所示，已知四边形ABC。，R、尸分别是。C、BC上的点，点、E、尸分别是AP、RP

的中点，当点P在边BC上从点8向点C移动，且点R从点。向点C移动时，那么下列结论成立的是（）

B.线段所的长逐渐减少

C.线段EF的长不变

D.448尸和ACRP的面积和不变

思路指引：连接AR,根据三角形的中位线定理可得根据AR的变化情况即可判断.

解：连接AR,

■:E,尸分别是AP,RP的中点，

：.EF=^AR,

•当点P在BC上从点C向点2移动，点R从点。向点C移动时，AR的长度逐渐增大，

线段）的长逐渐增大.

1

S^ABP+SACRP=]BC・（AB+CR）.

VCR随着点R的运动而减小，

・•・AABP和△CRP的面积和逐渐减小.

观察选项，只有选项A符合题意.

故选：A.

方法点睛：此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.

典例3如图，点8为AC上一点，分别以AB,BC为边在AC同侧作等边和等边ABCE,点P,M,N分别为

AC,AD,CE的中点.

（1）求证：PM=PN；

（2）求NMPN的度数.

思路指引：（1）连接。C和AE,AE交CD于点M,证明△ABEg/XOBC,得到AE=Z）C,利用中位线的性质证

明PM=PN；

（2）根据中位线的性质把ZMPA+ZNPC转化成ZMCA+ZMAC,根据ZDMA=ZMCA+NMAC可知求出ZDMA

度数即可.

解：（1）连接QC和AE,AE交CD于点M,

AB=BD

/.ABE=4DBC

.BE=BC

:AABE沿ADBC(SAS).

：.AE=DC.

:•尸为AC中点，N为EC中点，

：

.PN=-2AE.

同理可得尸

所以尸M=PM

(2)・・,尸为AC中点，N为EC中点、,

：.PN//AE.

：./NPC=/EAC.

同理可得AMPA=ZDCA

：./MPA+/NPC=ZEAC-^-ZDCA.

又NOQA=ZEAC+ZDCA,

：.ZMPA+ZNPC=ZDQA.

'：△ABEqdDBC,

：.ZQDB=ZBAQ.

：.ZDQA=ZDBA=60Q.

ZMPA+ZNPC=60°.

：./MPN=180°-60°=120°.

方法点睛：本题主要考查全等三角形的判定和性质、中位线的性质、等边三角形的性质，解题的关键是找到“手拉

手，，全等模型.

针对训练

1.如图，分另IJ以AABC的边AB,AC同时向外作等腰直角三角形，其中AB=AE,AC=AD,ZBAE=ZCAD=90°,

点G为8C的中点，点尸为BE的中点，点〃为CD的中点.探索GF与G8的数量关系及位置关系，并说明理由.

解：连接80,CE,易证△ABD四△AEC,

：.BD=CE,易证B£)_LCE

由中位线性质可得GF=GH,GF±GH.

类型三取中点构造中位线

(1)直接取一边中点

典例4(2022春•武昌区期中)如图，在及43。中，ZA=60°,8。为AC边上的高，E为BC边的中点，点F在AB

1n

边上，NEDF=60。,若AF=2,BF=*,则BC边的长为(

C.那D-海

A.—B.-V3

33

思路指引：过点D作DMLAB,垂足为M,取AB的中点H,连接附DH,根据已知可求出AB=竽，先在

R3AB。中求出A。，的长，从而可得是等边三角形,进而可得ZADH=ZAHD=60°,然

后利用利用等腰三角形的三线合一性质求出AM的长，从而求出DM,。尸的长，最后证明手拉手模型-旋转型

全等4ADF名从而利用全等三角形的性质可得。E=£＞尸进而利用直角三角形斜边上的中线，

即可解答.

解：过点。作垂足为M,取A8的中点连接即，DH,

,：AF=2,BF=^,

\AB=AF+BF=学，

CBDLAC,

•・ZADB=ZCDB=90°,

：NA=60。，

\ZABD=90°-ZA=30°,

18

---

-2A3

•点〃是A3的中点，

.AH=BH=%3=I，

.AD=AHf

•/\ADH是等边三角形，

.AD=DH,ZADH=ZAHD=60°,

.AM=MH=|A//=I，

V3AM=1V3,

N尸=2,

42

---

33

.DF=y/DM2+MF2=[(竽)2+(|)2=|V13,

・点”是A3的中点，点石是的中点，

・石”是△ABC的中位线，

.EH//AC,

.ZDHE=ZADH=60°,

.ZADH=NA=60。，

*ZEDF=ZADH=60°,

.ZADH-ZFDH=ZEDF-/FDH,

.ZADF=ZHDE,

•△ADF/LHDE(ASA),

.DE=DF=|V13,

•NCDB=90。,

：.BC=2DE=1V13,

故选：D.

方法点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，三角形的中位线定理，全等三角形

的判定与性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

针对训练

1.（2022•长春一模）如图，菱形ABC。的对角线AC与8。相交于点。，AC=8,BD=12,点E是CO的中点，点

F是。4的中点，连结EF,则线段EF的长为.

思路指引：取的中点M,连接FM,EM,构造三角形中位线，利用三角形中位线定理分别求得五M、的

长度；然后利用勾股定理求得所的长度.

解：如图，取AO的中点M,连接尸M,EM,

:点E是CO的中点，

1

是△ACZ）的中位线.：.EM//AC,EM=jAC=4.

11

同理，FM//BD,FM=3OD=：BD=3.

在菱形ABCD中，AC±BD,则FM_LME.

故在直角AEFM中，由勾股定理得到：EF=y/FM2+EM2=<32+42=5.

故答案是：5.

AMD

方法点睛：本题主要考查了菱形的性质和三角形中位线定理，解题过程中，巧妙地作出辅助线，利用三角形中位

线定理求得直角三角形的两直角边的长度.

（2）连接对角线，再取对角线中点

典例5（2021秋•龙岗区校级期末）如图，四边形ABC。中，E,尸分别是边48,C。的中点，则AD,BCWEF

的关系是（）

A.AD+BO2EFB.AD+BC>2EFC.AD+BC<2EFD.AD+BC<2.EF

思路指引：连接AC,取AC的中点G,连接EF,EG,GF,根据三角形中位线定理求出EG=扣。GF=^AD,

再利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，即可得出AD,BC和斯的关系.

解：如图，取AC的中点G,连接所，EG,GF,

:E,尸分别是边AB,C。的中点，

：.EG,GF分别是A4BC和△4C。的中位线，

；.EG=：BC,GF=^AD,

在AEG尸中，由三角形三边关系得EG+GQER即|BC+，O>ER

J.AD+BO2EF,

当A£)〃BC时，点、E、F、G在同一条直线上，

：.AD+BC=2EF,

所以四边形ABC。中，E,尸分别是边AB,CD的中点，贝！IAD,BC和E尸的关系是AD+262E/.

故选：B.

方法点睛：此题主要考查学生对三角形中位线定理和三角形三边关系的灵活运用，熟练掌握三角形的中位线定理

是解题的关键.

针对训练

1.如图，在口Z2C。中，E是C£>中点，尸是AE的中点，FC交BE于点G

(1)求证：GF=GC

(2)求证：BG=3EG

解：(1)取BE的中点M,'：FM=-AB,：.FMHEC,

2=

四边形FMCE为平行四边形，；.GF=GC

(2)易证EG=MG,：.EM=MB,:.BG=3EG

类型四延长一边构造中位线

典例6(2022秋•江北区校级期末)如图，在正方形ABCO中，点E,G分别在AD,8C边上，且AE=3OE,BG=

CG,连接BE、CE,EF平分NBEC,过点C作CFLEF于点R连接GF,若正方形的边长为4,则GF的长度

是（）

5-V35-V155-V17V17-3

A.--------B.--------C.--------D.--------

2222

思路指引：延长b交属于H,利用已知条件证明△HE；堂ZXCEb（ASA）,然后利用全等三角形的性质证明GF=

kH,最后利用勾股定理即可求解.

解：延长CP交BE于

■:EF平分/BEC,

：./HEF=/CEF,

VCF±EF,

：.ZHFE=ZCFE,

在△//£耳和△CEF中，

2HEF=乙CEF

EF=EF,

ZHFE=乙CFE

：.AHEF^ACEF(ASA),

：.HF=CF,EH=EC,

而3G=CG,

1

:・GF=^BH,

9：AE=3DE,正方形的边长为4,

：.AE=3,AB=CD=4,DE=1,

在RtAABE中,BE=<AB2+AE2=5,

在RSCOE中,CE=HE=yJCD2+DE2=V17,

；・BH=BE-HE=5-V17,

...G1F=2^DLH7=——5-J——17•

故选：C.

方法点睛：此题主要考查了全等三角形的性质与判定，也利用了正方形的性质，三角形的中位线的性质，有一定

的综合性，对于学生的能力要求比较高.

针对训练

1.（2022•合肥一模）如图，△A8C中，平分NR4C,E是中点，ADLBD,AC=7,AB=4,则DE的值为（）

13

A.1B.2C.-D.-

22

思路指引：延长3。交AC于H,证明之△AOH,根据全等三角形的性质得到AH=A3=4,BD=DH,根

据三角形中位线定理计算即可.

解：延长3。交AC于H,

在△AO3和中，

/.BAD=乙HAD

AD=AD,

^ADB=Z.ADH

：.（ASA）.

：.AH=AB=4,BD=DH,

：.HC=AC-AH^3,

•;BD=DH,BE=EC,

13

：.DE=-HC=I，

故选：D.

方法点睛：本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且

等于第三边的一半是解题的关键.

类型五延长两边构造中位线

典例7（2022秋•封丘县校级期末）如图，在A4BC中，AE平分/54C,。是BC的中点AB=5,AC=3,

则DE的长为（）

A

35

A.1B.-C.2D.-

22

思路指引：连接BE并延长交AC的延长线于点R易证明AABb是等腰三角形，则得Ab的长，点E是B尸的中

点，求得的长，从而OE是中位线，即可求得。E的长.

解：连接5石并延长交AC的延长线于点R如图，

ZAEB=ZAEF=90°,

TAE平分NA4C,

：.ZBAE=ZFAE,

：.NABE=/AFE,

•••△AB/是等腰三角形，

・・・Ab=A3=5,点E是3尸的中点，

：.CF=AF-AC=5-3=2,OE是ABC尸的中位线，

:・DE=iCF=1.

故选：A.

方法点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质定理，关键是作辅助线得到等腰三角形.

针对训练

1.如图，AD为AABC的外角平分线，S.AD±BD,M为BC的中点，若A8=12,AC=18,求的长

8.延长BD,CA交于点E,易证AE=AB,BD=ED,

,:BM=CM,：.DM=-CE=-(AB+AC)=15.

22

E

类型六作平行线或倍长中线先构造8字全等再构造中位线

典例7（2021秋•宛城区期中）如图，在△ABC中，ZA=90°,AC>AB>4,点。、E分别在边A3、AC上，BD

4,CE=3,取。石、3C的中点M、N,线段MN的长为（）

A.2.5B.3C.4D.5

思路指引：如图，作CH〃⑷5,连接ON,延长DN交CH于H,连接即，首先证明C"=5£),ZECH=90°,

解直角三角形求出EH,利用三角形中位线定理即可解决问题.