天津市武清区杨村某中学2024-2025学年高一年级下册第二次练习（6月月考）数学试题（解析版）

2024—2025学年度第二学期高一年级第二次练习

数学试卷

一、选择题（本题共有9个小题，每小题5分，每个小题只有一个正确选项，请将答案填涂

到答题卡相应位置上）

1.在复平面内，复数z对应的点的坐标为（—2，—1）,则复数z的共轨复数1=（）

A.-2-1B.-2+1c.2+iD.2-i

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，求出复数L再求出共辗复数作答.

【详解】依题意，z=—2—i，所以复数z的共甄复数』=—2+i-

故选：B

2.样本数据16,21,18,28,14,20,22,24的第75百分位数为（）

A.16B.17C.23D.24

【答案】C

【解析】

【分析】根据百分位数计算规则计算可得.

【详解】将样本数据从小到大排列为：14,16,18,20,21,22,24,28,

22+24

又8x75%=6,所以第75百分位数为-------=23.

2

故选：C

3.若根，w为两条不同的直线，a,夕为两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（）

A.若mHa,m//夕，则a〃夕B.若m_La,a夕，则mH0

C.若WJUa,m_1_夕，则a_L夕D.若mua,aJ_夕，则m_LP

【答案】C

【解析】

【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系逐项判断即可.

【详解】解：对于A,若m//a,m//P，则a与夕可能相交，故A错误；

对于B,若机J_a,a1/],则相〃夕或“zu夕，故B错误;

对于C,根据面面垂直的判定定理可得，若"zua,加上厂，则a_LP，故C正确;

对于D,若相ua,a±J3,则机可能与夕平行或相交，故D错误.

故选:C.

4.杨村四中组织“我爱共青团”知识测试，随机调查高一年级100名学生，将他们的测试成绩(满分100

分)按照［50,60),［60,70),…，［90,100］分成五组得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确

的是()

频率

0.030--............］—1

0.025....................

0.020-.............r-\

0.015t..m.......ll

506070809011)0虚绩/分

A.图中x=0.001

B.估计样本数据的第80百分位数为93分

C.测试成绩高于80分的人数为45人

D.若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这100名学生成绩的平均数为79.5分

【答案】D

【解析】

【分析】由所有矩形面积和为1,用频率分布直方图估计百分位数，平均数，样本估计总体逐项判断即可.

【详解】对于A,由(x+0.015+0.020+0.025+0.030)x10=1,解得％=0.010,故A错误；

对于B,设第80百分位数为。，

由0.1+0.15+0.2+0.3=0.75<0.8,0.1+0.15+0.2+0.3+0.25>0.8,

所以a«90/00),则0.75+(a—90)x0.025=0.8,解得°=92,故B错误；

对于C,测试成绩高于80分的频率为83+0.25=0.55,故测试成绩高于80分的人数为0.55x100=55

人，故c错误；

对于D,这100名学生成绩的平均数为

55x0.1+65x0.15+75x0.2+85x0.3+95x0.25=79.5,故D正确，

故选：D.

5.已知向量满足,卜1,卜+2/?|=2,且(匕一2a)_Lb,则卜卜()

A.|B.—C.2D.1

222

【答案】B

【解析】

【分析】由仅一2a）_l_b得/=212力，结合忖=1,卜+20=2,得1+44.5+4//=1+6二=4，由此即

可得解.

【详解】因为仅一24，人，所以仅一24力=0,即/=2°/，

又因为卜|=1,卜+2力=2,

所以1+4〃为+4/?=1+6。=4，

从而卜卜日.

故选：B.

6.在VABC中，ZA=60°,f=bc，则VABC一定是（）

A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定

【答案】A

【解析】

【分析】由余弦定理结合题意化简即可判断VA3C的形状.

【详解】在VABC中，因为A=60°,a2=bc，

2

所以由余弦定理可得6=i>-+c--2bccosA=b+c~-be，

所以方c=Z?2+c?—Z?c,即0—c）~=0,

所以b=c,结合A=60°,可得VA3C一定是等边三角形.

故选：A.

7.若甲组样本数据x2,%.（数据各不相同）的平均数为2,方差为5,乙组样本数据3为+a,

3x2+a,3x“+。的平均数为5,则下列说法不正确的是（）

A.。的值为一1B.乙组样本数据的方差为45

C.两组样本数据的样本极差不同D.两组样本数据的样本中位数一定相同

【答案】D

【解析】

【分析】根据两组样本数据的平均数与方差的关系，可判定A、B正确，根据极差的概念，可判定C正确，

根据中位数的计算方法，可得判定D正确.

【详解】由甲组样本数据A，%,…，%（数据各不相同）的平均数为最=2,方差为d=5，

乙组样本数据3芯+。，3x2+tz,3x“+a的平均数为5,

可得我+a=5，即3x2+a=5,解得a=—1，所以A正确；

设乙组样本数据的方差为可得S；=32XS2=45,所以B正确；

不妨设为＜々＜＜\,则甲组数据的极差为乙-西，

乙组数据的极差为（3x„+a）-（3工1+a）=3（x“-西），

因为甲组数据各不相同，所以两组样本数据的极差不相等，所以C正确；

设甲组样本数据的中位数为加，则乙组样本数据的中位数为3m-1,

若机=3〃z-1,可得加=工，所以两组样本数据的中位数可能相同，所以D不正确.

2

故选：D.

8.已知侧棱长为2的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积

为（）

A.48兀B.24无C.12兀D.6兀

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，把正三棱锥S-A5C放置在一个棱长为2的正方体内，得到正三棱锥S-ABC的外

接球即为此正方体的外接球，结合正方体的性质，求得外接球的半径R=石，结合球的表面积公式，即

可求解.

【详解】如图所示，正三棱锥S-ABC,满足&1=SB=SC,且三个侧面两两垂直，

可以把正三棱锥S-A3C放置在一个棱长为2的正方体内，

可得正三棱锥S-A5C的外接球即为此正方体的外接球，

设正三棱锥S—A5C的外接球的半径为R,则2R=亚布厂百=2豆，即氏=百，

所以正三棱锥S-A5C的外接球的表面积为5=4兀火2=12兀.

故选：C.

9.下列五个命题：

①若向量。〃6,b//c>则。〃c；

②投掷一枚质地均匀的硬币100次，一定有50次“正面朝上”；

③若甲组数据的方差是0.03,乙组数据的方差是0.1,则甲组数据比乙组数据稳定；

④分别投掷两枚质地均匀的硬币，设A="第一枚正面朝上”，3="第二枚正面朝上"，事件C="两枚硬币

朝上的面相同"，则A、B、C三个事件两两独立；

⑤设A与8是一个随机试验中的两个事件，则P（4.B）=P（A）+P（B）.

以上5个命题正确的是（）

A.②④B.③⑤C.①③D.③④

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，逐个分析5个命题的真假，综合即可得正确答案.

【详解】当b为零向量时，向量a〃6，0〃c得不出:〃K故①错误；

投掷一枚质地均匀的硬币100次，可能有50次“正面朝上”，故②错误；

由0.03<0.1,可知甲组数据比乙组数据稳定，故③正确；

因为P（A）=3,P（3）=。，P（C）=；，P（AB）=P（AC）=P（BC）=1,

由尸（AB）=P（A）.尸（3）,P（BC）=P（B）P（C）,P（AC）=P（A）-P（C）,

则A、3、C三个事件两两独立，因此④正确；

A与3是一个随机试验中两个事件，不一定为互斥事件，所以3）=P（A）+尸（3）不一定成立，

故⑤错误.

故选：D

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3

分，全部答对的给5分.

10.复数Z满足(l+i)2z=2—4i,则|z|=

【答案】75

【解析】

【分析】根据复数模的定义及性质求解.

【详解】因为（l+iyz=2—4i,

2—4i

所以z=(M7,

I।2-4i

所以z

1+1

故答案为：yf5

11.杨村四中为了解学生对我校前期校园艺术节活动的关注度，利用分层抽样的方法从高中三个年级中抽

取了36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生720

人，则该高中的学生总数为人.

【答案】2880

【解析】

【分析】根据题意求得每个学生被抽到的概率，结合分层抽样列出方程，即可求解.

【详解】利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了36人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了15

人,12人，可得高三年级抽取了9人，

91

又由高三年级共有720名学生，则每个学生被抽到的概率为p=许=而，

H1

设该校共有〃名学生，可得一=一，解得”=2880（人），

n80

即该校共有2880名学生.

故答案为：2880.

12.已知向量b满足忖=3,忖=5,且4=（0,3）,设。与6的夹角为60。，则6在。上的投影向量的

坐标为.

【答案】m

【解析】

【分析】由投影向量的公式求解即可.

【详解】匕在〃上的投影向量的坐标为:

ba_3x5-cos60°a5[(。,3)=[。,%

——Cl

同同一336

故答案为:

13.如图，用斜二测画法画水平放置的VAQ3的直观图得二AO'5'(/x'Oy=45°),其中VA03的面积为

40O'B'=2，则其直观图中O'B'边上的高A'C'的长度为

【答案】2

【解析】

【分析】在平面图形中求出08边上的高，在直观图中过点A作407/0，'交。于点加则A'。'=2后，

再由锐角三角函数计算可得.

【详解】如图在平面图形中过点A,作交。8于点。，

又OB=O'B,=2，所以SABO=gx03xAD=gx2xAD=40，所以AD=4夜，

直观图中过点A'作407/0，'交O'%'于点》，则A'D'=-AD=2y/2,

2

又Nl'D'C'=45°,所以A'C'=AD'sinNA'D'C=2®又显=2，

2

所以其直观图中。8'边上的高AC的长度为2.

故答案为：2

14.如图，在正四棱柱ABC。—A6G。中，AB=BC=3,9=4,则异面直线与片C所成角

的余弦值为；二面角D.-AB-C的正弦值为

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系。-孙z,求得AR=(—3,0,4),用C=(—3,0,T),结合向量的夹角公式，

即可求出直线与四C所成角的余弦值；分别求得平面。A3和平面ABC的一个法向量为勺结

合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】如图，以点。为原点0,。4,。。,。4分别为％，丁*轴的正方向，建立空间直角坐标系

O-xyz,则。(0,0,0),3(3,3,0),A(3,0,0),C(0,3,0),4(3,0,4),4(3,3,4),0(0,3,4),0(0,0,4).

=(-3,0,4),^6=(-3,0,-4),

19-1617

所以cosAD,B]C=i---i-i----r=~/—/=—

}网际IJ(-3)2+42«3)2+(—4)225

7

异面直线AD,与B。所成角的余弦值为《.

AD1=(-3,0,4),AB=(0,3,0),

设面DXAB一个法向量为4=(x,y,z),

々•AD-0-3x+4z=0

1令x=4,z=3,y=0,

3y=0

nx•AB=0

则5=(4,0,3),设面ABC一个法向量为%=(0,0,1),

所以二面角D.-AB-C的正弦值为「酊=1.

74

故答案为：—；—.

255

TT3

15.在VABC中，ZBAC=-,AD=3DB,P为CD上一点，且满足AP=xAC+—AB(XGR),则

35

x的值为；若AC=3,AB=4，则APCD的值为.

i?7

【答案】①.-##0.2②.一

510

【解析】

【分析】利用向量的线性运算及三点共线的条件，再利用平面向量的基本定理及向量的数量积的运算律即

可求解.

--3

【详解】因为AD=3D3,所以AD=—A3,

4

因为C、P、。三点共线，

所以CP=kCD,即AP—AC=MA£>—AC),

一3

又因为APuxAC+^AB,

所以(》一1)40+|43=左［：45-40),且40,43为不共线的非零向量，

x—1——kk=-

5

所以《33,，解得<

—=—k1

154x~—

5

13

所以AP=—AC+巳AB,

55

AD-AC]=\-AC+-AB\-|A5-AC

55

129291,9,97127

——AC+——AB——ACAB=——x32+—x42——x3x4cos-=—

5202052020310

127

故答案为:

510

三、解答题：共75分.解答应写出文字说明或演算步骤.

16.复数2=〃层（1+。一（5+3。〃2+6,当实数机取什么值时.

（1）z为纯虚数;

（2）复数z复平面内对应点在第四象限.

【答案】（1）m=2

(2)0<772<2

【解析】

【分析】（1）根据复数的运算化简，再由纯虚数的概念求解;

（2）根据复数所在象限，列出不等式组求解即可.

【小问1详解】

因为z=zn2(i+i)—(5+3i)?n+6=m2-5m+6+fm2一3加)i为纯虚数,

m2-5m+6=0,,

所以2，解得m=2.

m-3m0

【小问2详解】

因为复数z在复平面内对应点在第四象限，

m2-5m+6>01根（2或相）3

所以12，即《'/，

m-3m<0|^0<m<3

解得0<m<2.

3

17.杨村四中高一年级甲、乙两位同学参加某项体能测试，甲同学通过的概率为《，乙同学通过的概率为

3

并且在测试过程中甲、乙两同学互不影响，求下列事件的概率：

4

(1)甲、乙两同学都能通过；

(2)甲、乙两同学恰有一人通过；

(3)甲、乙两同学中至少有一人通过.

9

【答案】(1)—

⑶得

【解析】

分析】(1)用独立事件概率乘法公式计算即可；

(2)先应用对立事件求概率再通过独立事件概率乘法公式及互斥事件概率和公式计算即得;

(3)根据独立事件概率乘法公式及互斥事件概率和公式计算即得.

【小问1详解】

339

甲、乙两同学都能通过的概率为一x—=——；

5420

【小问2详解】

3(3、331239

甲、乙两同学恰有一人通过的概率为二x|1--+1--x—=-x—+—x—=—；

514八5J4545420

【小问3详解】

「3、,3、219

甲、乙两同学中至少有一人通过概率为1一|1一1M1-：|=1一=乂：二R.

I5八4)5410

18.己知向量b,满足W=2,忖=3,口与6的夹角为g.

(1)求pa+.的值；

(2)若(2a+b)”版”)，求实数，的值;

(3)若(2a+b)//,a—b)，求实数左的值.

【答案】(1)V13

3

⑵k=-

5

(3)k=-2

【解析】

【分析】（1）由已知求出“小，进而根据已知结合数量积的运算律得出（2。+6『，开方即可得出答案；

（2）根据数量积的运算律结合已知列出方程，求解即可得出答案；

（3）根据已知可知三丸eR,使得总—b=2（2a+b）,化简得出方程组，求解即可得出答案.

【小问1详解】

由已知可得，a-b=|a||z?|costz,Z?=2x3x]-g]=-3,

所以（2a+6）=4t?2+4tz-Z?+Z?2=4x22+4x（—3）+3?=13,

所以,|2a+Z?|=J（2a+b）=^/13-

【小问2详解】

易知，{la+b^-{ka-b^=2ka2+（^-2）a-Z?-b~=8左一3（左一2）—9=5左一3.

因为（2a+Z?）±（ka-b）,

所以，（2a+b）•（雨一Z?）=0,

3

即5左一3=0,解得k=g.

【小问3详解】

因为（2a+Z?）//（以-/?）,

所以，32GR,使得总—》=2（2a+）），

整理可得（左一2/l）a—（X+l）b=0.

>-22=0

由Q,Z?的任意性可知，<（丸+1）—0，

X=—1

解得77

[k=-2

19.在VABC中，—A,NB,/C所对的边分别为〃，b,。，已知sinA:sin_B:sinC=2:l:J5,

b=A/2.

（1）求。的值；

（2）求sinC的值，并求三角形VA5C的面积；

(3)求sin[2C+W)的值.

【答案】（1）272

⑵sinC咚9

⑶3万+1

16

【解析】

【分析】（1）由正弦定理及）的值求解即可;

（2）根据余弦定理及三角形面积公式求解即可;

（3）根据二倍角的正余弦公式及两角和的正弦公式求解即可.

【小问1详解】

abC

根据正弦定理,

sinAsinBsinC

MsinA:sinB:sinC=2:1:\/2，

因此边长比例为a：。：c=2:1:J5•

己知人=应，设比例系数为左，则人=H1=0,解得左=拒.

因止匕a=2k-2-\/2-

【小问2详解】

由边长比例得a=2点，b=曰c=42-k=y/2-y[2=2-

利用余弦定理：cosC=巴*―-

2ab

-22_8+2-4_6_3

2x272x72884

=且

因此，sinC=A/1-COS2C=

一4

S=—tz£»sinC=-x2>/2x^2x—二亘

224242

【小问3详解】

sin2C=2sinCcosC=2x—=

cos2C=cos2C-sin2C

16-16-8

利用和角公式

sin[2C+£=sin2Ccos—+cos2Csin—

66

3A/7V311372113721+1

=-----X-----1--X—=--------1----=----------

8282161616

20.学校组织全校学生进行了一次“交通安全知识知多少”的问卷测试.已知所有学生的测试成绩均位于

区间［50,100］,从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图.

,频率/组距

a

0.025

0.020

0.015

0.010

05060708090100分数

（1）求图中。的值，并估算这40名学生测试成绩的众数和平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值

代替）

（2）我校2025年全力推进校园信息化建设.为了更好的帮助同学们了解杨村四中信息化建设情况，学校

德育处利用比例分配的分层随机抽样方法，从［80,90）和［90,100］的学生中抽取7人组成“信息化建设”

宣讲团.

①求应从［80,90）和［90,100］学生中分别抽取的学生人数;

②从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，写出这个试验的样本空间。；（用恰当的符号表

示）

③设事件人="至少有1人测试成绩位于区间［90,100］”，求在②的条件下事件A的概率.

【答案】（1）0.030,75,74.5

人②答案见解析③口

(2)①5人,2

21

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图中各组频率之和为1,即可求得。的值，根据平均数的计算方法即可求

得答案，由频率分布直方图直接得出众数；

（2）①根据两组的频率之比，即可求得每组抽取人数；②依题意即可写出样本空间；③根据古典概型的

概率公式，即可求得答案.

【小问1详解】

由频率分布直方图可得（0.015+0.020+a+0.025+0.010）x10=1,

解得a=0.030；

由频率分布图可知众数约为75；

估算这40名学生测试成绩的平均数为55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.25+95x0.1=745

【小问2详解】

①由图可得［80,90）和［90,100］这两组的频率之比为蒜=g，

故应从［80,90）学生中抽取的学生人数为7x；=5（人），

应从［90,100）学生中抽取的学生人数为7彳=2（人）；

②设从［80,90）中抽取的5人为。力,。/0从［90,100）学生中抽取的2人为1,2,

则这个试验的样本空间为。={ab,ac,ad,ae,al,a2,bc,bd,be,bl,b2,cd,ce,cl,c2,de,dl,d2,el,e2,12）,

共有21个基本事件；

③事件A