中考数学总复习《特殊四边形综合》专项检测卷（附答案）

中考数学总复习《特殊四边形综合》专项检测卷(附答案)

学校:班级：姓名：考号：

1.综合与实践：

问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动.在

矩形ABCD中，E为A3边上一点，连接CE,CF,CF翻折，D,8的对应点分别为G,H,

且C,H,G三点共线.

观察发现:

(1)如图1,若尸为AD边的中点，AB=5C=10,点G与点X重合，则NECF=

AE=_-,

问题探究：

(2)如图2,若ZDCF=22.5。，AB=26，3C=2,则点GAB边上(填“在或不在”),

并求出AE的长；

拓展延伸：

(3)AB=20,AD=15,若尸为AD靠近A的三等分点，请求出AE的长.

2.如图，。为坐标原点，四边形Q4BC为矩形，顶点A,C分别在x轴，y轴的正半轴上,

点8的坐标为(11,4),点。的坐标为(5,0),动点P在线段CB上以每秒1个单位长度的速度

由点C向B运动.设动点尸的运动时间为f秒.

C

OOOD4X

备用图1备用图2

(1)当/=时，四边形尸是平行四边形？

(2)在直线CB上是否存在一点。，使得四边形ODPQ是菱形？若存在，求/的值，并求出。点

的坐标，若不存在，请说明理由：

(3)在点尸运动的过程中，线段PB上有一点且尸河=5,求四边形的周长最小值.

3.如图，在菱形中，AS=10,菱形ABCD的面积为60,点E从点8出发沿折线

B-C-D向终点。运动.过点E作点E所在的边(BC或CD)的垂线，交菱形其它的边于

图1图2(备用)

(1)求菱形ABC。的高.

(2)如图1,点G在AC上.求证：FA=FG.

⑶若EF=FG,当硬过AC中点时，求AG的长.

4.如图①，在四边形ABC。中，AD=BC,P是对角线3。的中点，〃是。C的中点，N是

A3的中点.求证：ZPMN=NPNM.

【应用】如图②，连结图①中的AC,并取AC中点。，连结NQ.

理国

上

ANB

A国N①B7--------曲1--------'

图③

(1)若")=8,则四边形PMQN的周长为

(2)图③，若AD=8,且NZMB+ZABC=90。，则四边形尸MQN的面积为

5.如图1,在矩形ABCD中，AB=4cm,AD=2AB,AC的垂直平分线跖分别交A£>,BC

于点E,F,垂足为。，连接AF,CE.

dED,4ED

三立.\I。

BFC

图1图2.用图

⑴求证：四边形AFCE为菱形；

(2)求AF的长；

(3)如图2,动点尸，。分别从A、C两点同时出发，即点尸自Af3fA停止，点。

自CfD-»E->C停止，点产的速度为每秒2cm,点。的速度为每秒1.2cm,以A,C,P,

。四点为顶点的四边形是平行四边形时，求/的值.

6.如图，菱形ABC。的边长为12cm,NA=60。，动点尸从点A出发，沿着线路AB-皮)做匀

速运动，动点。从点。同时出发，沿着线路。C-CB-B4做匀速运动.

备用图

⑴求即的长.

⑵已知动点尸运动的速度为2cm/s,动点。运动的速度为2.5cm/s,经过12秒后，尸，。分

别到达M,N两点，试判断的形状，并说明理由.

⑶设问题(2)中的动点P,Q分别从M,N同时沿原路返回，动点尸的速度不变，动点。的

速度改变为acm/s,经过2秒后，P,。分别到达瓦/两点，若ABEF为直角三角形,试求

a值.

7.【问题提出】

(1)如图①，在VABC中，点。为BC的中点，贝/SABD_SADC(填">,<,=")

【问题探究】

(2)如图②，在正方形ABCZ)中，AB=4,点E为48的中点，点尸、G分别为2C、AD

边上的动点，ZGEF=120°,求EFG面积的最小值；

【问题解决】

(3)如图③，矩形A3C。是某农业观光园的部分平面示意图，AB=50千米，AO=80千

米，AB边上的点E为休息区，且AE=20千米，三条观光小路EG、EF、FG(小路宽

度不计，P在边上，G在3C边上)拟将这个园区分成四个区域，用来种植不同的蔬

菜，根据实际需要，NFEG=60。并且要求AEBG的面积尽可能小，那么是否存在满足条

件的EFG2若存在，请求出EFG的面积的最小值；若不存在，请说明理由.

GD

图3

8.(1)认识研究对象：如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”.我们已

经学习了①平行四边形②菱形③矩形④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是

(2)探索研究方法:如图1.己知四边形ABC。是垂美四边形，求证：AB2+CD2=AD2+BC~.

(3)尝试问题解决：已知A3=50，BC=4夜,分别以VABC的边和A8向外作等腰

Rt3CE和等腰Rt^ABD；

①如图2,当NACB=90。，连接DE,求DE的长；

②如图3.当NACBw90。，点G、五分别是AD、AC中点，连接GH.若GH=2屈,求S.c

的面积.

AC

图1图2图3

9.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=16,BC=10.在AO上取一点E,AE=4,点歹是

48边上的一个动点，以跳'为一边作菱形£7旃，使点N落在C。边上，点M落在矩形

(1)当四边形EKWN是正方形时，求尤的值;

(2)当四边形ERWN是菱形时，求S与尤的函数关系式;

(3)当尤=时，.跖M的面积S最大；当犬=时，.防M的面积

S最小；

(4)在ABEW的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长：

10.综合与实践课上，徐老师和同学们开展了一场以“最小值”为主题的探究活动.

【提出问题】徐老师提出了一个问题：如图1,在矩形ABC。中，AB=6,BC=\2,P为AD

边上的一动点，以尸C为边向右作等边PCE,连接8E,如何求助的最小值？

【探究发现】小亮发现：如图4所示，以8c为边向下构造一个等边.便可得到

△PCM四△£1(出,进而将BE的最小值转化为PM的最小值的问题.

(1)按照小明的想法，求证：APCM0公ECB；并求出BE的最小值.

【拓展应用】

(2)小刚受此启发，举一反三，提出新问题：如图2,若将图1当中构造的等边三角形，

改为以PC为边向右构造正方形PCPG,在运动过程中，求出3G的最小值.

(3)小红同学深入研究了小刚的问题，并又提出了新的问题：如图3,若将图2当中构造

的正方形改为以PC为边向右构造菱形PCHZ,使NCP/=120。，也可求得跳的最小值.请

你直接写出BI最小值为.

11.平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连接AE,点尸在线段AE上，连接防，AC.

图1图2图3

(1)如图1,已知AB1AC,点E为BC中点，BFLAE.若AE=5,BF=2巫,求AF的

长度.

⑵如图2,已知=NBFE=NBAC,将射线AE沿AC翻折交CD于H,过点C作

CGLAC交A”延长线于点G.若/ACB=45。，请写出线段AF,AE,AG的数量关系并

说明理由.

(3)如图3,已知AS人AC,若/ACB=30。，AB=4,请直接写出AF+/+CF的最小值.

12.问题提出

(1)如图①，在矩形ABC。中，AB=2,BC=3,E是矩形内部一点，连接AE、BE、DE,

若AE_LBE,求DE的最小值；

图①

问题解决

(2)如图②是海边沙滩排球赛的比赛场地一角，A8是临海沙滩边缘，已知NC=45。，

AC=400m,BC=400V2m.工作人员计划在沙滩上用隔离带DM、MN、EN

圈出比赛场地，M在N右侧，。是AC的中点，MN长为500m，ZAEB=135°,为节省

材料，隔离带需尽可能短，举办方赛前准备了350m长的隔离带，请你判断隔离带是否够用？

并说明理由.(友641,>/122®11.05)

图②

13.综合与实践

将正方形ABCD的边A8绕点A逆时针旋转至A9,记旋转角为a.连接班'，过点。作DE

垂直于直线88'，垂足为点E,连接。CE,

图1

⑴如图1,当&=60。时，△D£B,的形状为.,连接30,

(2)当0°<«<360。且打中90°时.

①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立,

请说明理由;

②当以点8',E,C,。为顶点的四边形是平行四边形时，求黑的值，若AB=2小,请

直接写出此时点E到CD的距离.

14.某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究:

【初探猜想】如图1,在正方形ABCD中，点E,尸分别是AB.AD上的两点，连接DE,CF,

若DELCF,试判断线段DE与C厂的大小关系，并说明理由；

【类比探究】如图2,在矩形A2CD中，AD=6,CD=3,点、E、歹分别是边AD、BC上一

EF

点，点G、H分别是边AB、CD上一点,连接EF,GH,若EFLGH,则"二=_______;

GH

【知识迁移】如图3,在四边形ABC。中，NZMB=90,点E、尸分别在线段AB、AD上，

CF

且CEL5方，连接AC,若VABC为等边三角形，求——的值；

BF

【拓展应用】如图4,在正方形ABCZ）中，E是BC的中点，尸、G分别是边CD、AB上的动

点，且尸G_LAE交AE于连接匹和AG,当AB=4时，求EF+AG的最小值.

参考答案

1.观察发现：（1）45；与；问题探究：（2）在；AE=2；拓展延伸：（3）AE的长为15

【分析】（1）四边形ABCD是正方形，由正方形的性质得出AZ）=AB=10,ZBCD=/A=90°,

由勾股定理及折叠的性质可得出答案；

（2）延长CG交AB于点证明和，皮加f均为等腰直角三角形，得出90=3C=2,

EM=y/2EH=s/2BE，即可求解；

（3）当。尸=2AF时，过点E作EP〃G”,交尸G的延长线于点P,连接EF,则四边形GHEP

为矩形，设BE=EH=a,FP=a+10,AE^20-a,EF2=AF2+AE2=EP2+FP2，即

可求解.

【详解】（1）,：AB=BC=10,四边形ABCD是矩形，

四边形ABCD是正方形，

/.AD=AB=10,/BCD=ZA=90。,

:尸为AD边的中点，

DF=AF=5,

将.3CE和VC。尸沿CE,B翻折，D,8的对应点分别为G,H,

：.BE=EG,DF=FG=5,

设BE=x,贝!JAE=10-x,

EF=EG+FG=x+5,

,•*EF2=AE2+AF2,

：.（5+x）2=（10-X）2+52,

._w

••x——,

3

将和VCDF沿CE,CF翻折，D,8的对应点分别为G,H,

：.ZBCE=ZGCE,ZDCF=/GCF,

'：ZBCD=90°,

：.ZECF=-ZBCD=45°；

2

,、20

故答案为：45；—；

(2)延长CG交回于点如图2,

图2

,:ZDCF=Z.GCF=22.5°,ZBCD=90°,

；・NBCH=45。,

丁ZEHM=ZB=90°9

ZBMH=90°-45°=45°

・・・和互力/均为等腰直角三角形,

:.BM=BC=ZEM=^2EH=42BE9

•**BE+EM=2，

即BE+亚BE=2，

解得：BE=2日-2,

，AE=AB-BE=2-,

CM=^BC-+BM-=272,AB=26，

CD=2V2,

由折叠性质得：CG=CD=2^,

.,.点G在AB边上；

故答案为：在；

(3)当。尸=2”时,

过点E作g〃GH,交AG的延长线于点尸，连接所，则四边形GHEP为矩形,

图3

:.GH=EP,EH=GP,

由折叠性质可知，CD=CG=20,BC=CH=15,

：.HG=CG-CH=20-15=5,

：.EP=5,

•/DF=2AF,

：.AF=5,DF=10,

，AF=EP,

设BE=EH=a,FP=a+10,AE=20-a,

,•*EF-=AF'+AE2=EP2+FP2，

，52+(20-a))2=52+(a+10)2,

解得：a—5,

：.AE=20-a=15；

综上，AE的长为15.

【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，等

腰直角三角形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的

关键.

2.(1)6

⑵存在，点。的坐标为(-3,4)或(3,4)

⑶四边形。的周长最小为26

【分析】(1)若四边形PODB是平行四边形，则OO=PB,即5=11-f,即可求解；

(2)若四边形。。P。是菱形，则刃＞=。。，即正忑二了=5,解得仁8或2,进而求解；

(3)作点A关于直线BC的对称点A'(1L8),将点A向左平移5个单位得到点A"(6,8),连

接A"。，交CB于点P,点P向右5个单位得到点此时，四边形的周长最小，进

而求解.

【详解】(1)由题意得：CP=t,则3尸=5C—CP=11—f,

・四边形尸。＞3是平行四边形，

:.DO=PB,即5=11T,解得f=6,

故答案为6；

(2)如图1,连接尸£),过点尸作于点修，

-----"•—►

oHDAX

图1

则尸〃=4,HD=OD—OH=OD—CP=5—t,

PD=y/PH2+HD2="?+(5_枚,

四边形ODPQ是菱形，

PD=DO=PQ,

即j42+(5_/)2=5,解得f=8或2,

故点尸的坐标为(8,4)或(2,4),

当点尸的坐标为(2,4)时，点。在点尸的左侧5个单位的位置，

即点。(T4)；

当点尸的坐标为(8,4)时，点。在点p的左侧5个单位的位置，

即点。(3,4),

故点。的坐标为(-3,4)或(3,4)；

(3)作点A关于直线BC的对称点A”1,8),将点4向左平移5个单位得到点A〃(6,8),

连接A"O,交CB于点尸，点P向右5个单位得到点“，此时，四边形尸的周长最小,

y\A"A'

//)

OAx

图2

理由：四边形。4Mp的周长

^AM+PM+OP+OA

=AM+PM+OP+OA

=AP+PM+OP+OA

=A"0+5+n

=A"O+16为最小,

由点A"的坐标得，OA'=762+82=10>

则四边形OAMP的周长最小为10+16=26.

【点睛】本题为四边形综合题，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、平行四边形的性质、

点的对称性等，其中(3),用点的对称性确定四边形周长最小值的方法，是本题的难点.

3.(1)6

(2)见解析

(3)AG长为7或5

【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，

分类讨论方法是解题的关键.

(1)根据菱形的面积公式计算，即可；

(2)由菱形性质可证/B4C=/BC4,进而证明/54。=/以小，即可得出结论；

(3)记AC中点为点O.分点E在BC上和点E在上两种情况，求出EC=1,进而解题.

【详解】(1)解：：48=10,面积为60,

菱形的高为案=6；

故答案为：6；

图1

:四边形ABC。是菱形，

:.BA=BC,

：.ZBAC=ZBCA.

・・•四边形EFGH是矩形,

・•・FG〃BC,

:・/FGA=/BCA,

・•・ZBAC=NFGA,

：.FA=FG.

(3)解：记AC中点为点O,

①如图中，当点E在BC上时，作贝UFG=£F=AM=6,

ZAFE=NBEF=NFEC=90°,

四边形MEK4是矩形，

AF=ME,

•*BM—ylAB2—AM2-A/102—62=8,

：.CM=BC-BM=10-8=2,

又；Q4=OC,ZAOF=NCOE,

：.△•(?乌△CEO(AAS),

AF=CE,

：.AF=CE=EM=-CM=1,

2

：.AG=AF+FG=6+1=1；

②如图中，当点E在CD上时，作ANLCD.

同理，FG=EF=AN=6,CN=2,AF=EN=CE=-CN=\,

2

AG=PG—AF=6—1=5,

综上所述，AG长为7或5.

4.见解析；（1）①四边形尸MQN的周长为16；（2）SKmQN=16

【分析】运用三角形中位线定理和等腰三角形性质即可证得结论；

（1）运用三角形中位线定理可得RV=MQ;AD,PM=QN=〈BC,再由AD=BC=8,可

得PN=MQ=PM=QN=4,即可得出答案;

(2)由(1)得PN=MQ=PM=QN=4,得出四边形PNQW是菱形，再证得/PNQ=90。,

得出四边形尸NQM是正方形，即可求得答案.

【详解】证明：如图①，

尸、M、N分别是8。、DC、AB的中点，

:.PN、PA/分别是△3CD的中位线，

图①

AD=BC,

:.PN=PM,

：.ZPMN=ZPNM.

(1)如图②，

尸、。、M>N分别是80、AC,DC、AB的中点,

PN=MQ=PM=QN=4,

二四边形尸MQN的周长为16；

(2)：如图③，

尸、。、M>N分别是BD、AC,DC、AB的中点，

:.PN=MQ=^AD,PM=QN=3BC,PN//AD,QN//BC,

:.ZBNP=ZDAB,ZANQ=ZABC,

DM

\AD=BC=8,

ANB

图③

：.PN=MQ=PM=QN=4,

..・四边形PNQM是菱形，

ZDAB+ZABC=90°,

:.ZBNP+ZANQ=90°,

ZPNQ=90°,

菱形尸NQM是正方形，

^wmpMQN=4x4=16.

【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，菱形和正

方形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键.

5.⑴见解析；

（2）5cm；

⑶了秒.

【分析】（1）结合矩形性质及垂直平分线定义证明OAE段—OCF后，根据全等三角形性质

即可证明四边形AFCE为菱形；

（2）根据矩形性质、菱形性质推得？B90?>AF-CF,设AF=CF=xcm,利用勾股定

理即可求得AF；

（3）分情况讨论可知，P点在8b上，。点在EO上时，才能构成平行四边形，根据平行四

边形的性质列出方程求解即可.

【详解】（1）证明：四边形A3。是矩形，

..AD//BC,

:.ZOAE=ZOCF,/OEA=/OFC,

E/垂直平分AC,

OA=OC,

在1和△OC歹中，

ZOEA=ZOFC

<ZOAE=ZOCF,

OA=OC

OAE^.OCF(AAS),

:.OE=OF,

.•・四边形AFCE是平行四边形，

EFlAC,

.•・四边形AFCE是菱形.

(2)解：四边形ABC。是矩形，AB=4cm,AD=2AB,

.-.ZB=90°,BC=AD=2x4=8cm,

四边形AFCE是菱形，

:.AF=CF,

设AF=CF=xcm,则=3C—CF=(8—x)cm,

RtAB厂中，AF2=BF2+AB2,

.-.x2=(8-X)2+42,

解得：x=5,

即AF=5cm.

(3)解：显然当尸点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、。四点不可能构成平行

四边形；

同理尸点在4B上时，。点在OE或CE上或者尸在。在CZ)时不构成平行四边形，

只有当点尸在M上，点。在。E上时，以A、C、尸、。四点为顶点的四边形才是平行

四边形，此时4。=尸C,

:.AD-AQ=BC-CP,即£>。=8尸，

由（2）得BF=<AF。-AB，=3cm，

DQ=（1.2r-4）cm,BP=3-（2f-5）=（8-2r）cm,

.'A.It-4=8-2/,

解得：f=?s,

4

故当以A、C、尸、。四点为顶点的四边形是平行四边形时，f=?s.

【点睛】本题考查的知识点是矩形性质、垂直平分线定义、全等三角形的判定与性质、菱形

的判定及性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、一元一次方程，解题关键是熟练掌握

菱形的判定、勾股定理的应用及分类讨论.

6.(l)12cm

(2)AAW是直角三角形，理由见解析

(3)«的值为1或5或11.

【分析】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角

的直角三角形，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是关键.

(1)根据菱形的性质，证明△丽是等边三角形，即可求出5D的长.

(2)由题意可知，动点尸运动的路程为24cm,动点。运动的路程为30cm,从而得出点〃

与点。重合，点N是48中点，再结合等边三角形三线合一的性质，即可求解；

(3)由题意可知，动点P的速度为2cm/s,动点。的速度为acm/s,2秒后，动点P运动

的路程为4cm,动点。运动的路程为2℃m,则DE=4cm,BE=8cm,分两种情况讨论：①

当点。运动到点尸，且点尸在3N上时；②当点。运动到点尸，且点尸在上时，利用含

30度角的直角三角形的特征分别求解即可.

【详解】(1)解：四边形A3。是菱形，

/.AD=AB=12cm,

NA=60。，

.•.一ABD是等边三角形，

/.BD=AB=12cm；

(2)解：4W2V是直角三角形，理由如下：

由题意可知，动点P运动的速度为2cm/s,动点。运动的速度为2.5cm/s,运动时间为12

秒，

动点尸运动的路程为2x12=24cm,动点。运动的路程为2.5xl2=30cm,

,动点尸从点A出发，沿着线路AB-矶)做匀速运动，且AB+5£)=24cm,

，动点尸到达点即点M与点£＞重合，

•动点。从点。同时出发，沿着线路。c-CB-B4做匀速运动，且ZX:+5C=24cm,

二.动点。到点3的距离为30-24=6cm,动点。到达A5中点，即点N是A5中点，

是等边三角形，点N是A5中点，

:.MN±ABf

/.AW是直角三角形；

（3）解：是等边三角形，

:.ZABD=6D°,

由题意可知，动点尸的速度为2cm/s,动点。的速度为acm/s,

「.2秒后，动点。运动的路程为4cm,动点。运动的路程为2acm,

尸从M沿原路返回，

.\DE=4cm,

BE=12—4=8cm,

①如图，当点Q运动到点尸，且点尸在3N上时，^\NF=2acm,

班户为直角三角形，ZEBF=60°,ZFEB不能为90。，

:.ZEFB=90°,NFEB=30°,

:.BE=2BF,即8=2（6-2a）,

解得：a=l；

②当点。运动到点尸，且点尸在上时，则即'=（2&-6）cm,

..BEF为直角三角形,

若NEFB=90°,如图，

D{M）

//\Z£BF=60°,

B

../FEB=30。,

:.BE=2BF,即8=2（2a—6）,

解得：a=5；

.\ZDFE=30°,

/.DF=2DE=8cm,

CF=12—8=4cm,

.-.a=(6+12+4)^2=ll,

综上可知，若△3EF为直角三角形，a的值为1或5或11.

7.(1)=；(2)羊；(3)存在，_EFG的面积的最小值为400限n?

【分析】(1)和一ADC是等底同高，从而得出结果.

(2)延长GE,交GB的延长线于点Q,作一EFQ的外接圆0,连接OEQQQF，作。H，CQ

于H,设OE=O尸=OQ=r,可证得尸Q三_AEG,从而EQ=EG,从而得出一EQ尸和

EFG的面积相等，可求得/QOF=2/QEF=120°,从而ZQOH=ZFOH=g/FEQ=60°,

FQ=2QH,进而表示出OH,QH的长，根据OE+OH2EB得出r+grN2,从而得出厂的

最小值，从而得出Q"的最小值，进一步得出结果.

(3)延长FE,交CB的延长线于点。，作"QG的外接圆。，作OHLC。于“，作OWLAB,

EFAE2

交的延长线于W,设。的半径为「，可证得△的，进而可得==

LrLj

S.41

从而得产FF皿C=6,根据OENEW得出rZ30+：r,求出厂的最小值即可求解.

'△EGQ72

【详解】解：(1)如图1,作AH,3c于//,

•••Q口ABD—~Q.ADC，

故答案为：=.

(2)如图2,延长GE,交CB的延长线于点Q,作EF。的外接圆0,连接OE,。。，。厂,

作OHLC。于目，

^OE=OF=OQ=r,

四边形A5CD是正方形，

ZABQ=ZABC=ZA=90°,

E是A3的中点，且AB=4,

AE=EB—2,

NBEQ=NAEG,

...3尸Q/..A£G(ASA),

:.EQ=EG,

.•.uqEQF-=qEFG，

,^EFG=120°f

ZFEQ=180°-NFEG=60°,

z.ZQOF=2NQEF=120°,

OE=OQ=OFf

ZQOH=ZFOH=|ZFEQ=60°,FQ=2QH,

...OH=OE•cosNQEH=广cos60。=；r,QH=与丁,

OE+OHNEB,

1.

/.r+—r>2,

2

.r>l

3，

，当点E、O、H共线时，埸小=§，2%小=1r=f,

14.73

S.EF2最，卜=aQF.BE=QH.BE=q，

.•.△EFG面积的最小值为速.

3

延长EE,交CB的延长线于点。，作aEQG的外接圆。，作O”，CQ于耳，作OWLAB,

交的延长线于W,

设,:。的半径为

四边形ABCD是矩形,

AF//BC,

BEQs_AEF,

AB=50千米，AE=20千米,

/.BE=50-20=30（千米）,

EFAE2

BQ~BE~3

/QEG=180°-NFEG=180°-60°=120°,

/./QOG=120。，

由（2）得：OH=goQ=；r,CQ=®,

^WBH=^OWB=^OHB=90°f

••・四边形瓦/ow是矩形，

/.BW=OH=-r

2f

OE>EW,

r230H—F

29

/.r>60,

・•・C久小=60右（千米），

S^EGO最小=gcQEB=；x6073x30=90073（平方千米），

S/G最小=1x900石=400/（平方千米）.

【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的

判定和性质，解直角三角形，三角形的外接圆等知识，解决问题的关键是作辅助圆.

7

8.（1）②④；（2）见解析；（3）①阿;②不

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，正确理解

垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键.

（I）根据平行四边形，菱形，正方形和矩形的性质，结合垂美四边形的定义，进行判断即

可；

（2）运用勾股定理可得：AB2=0^+OB2,CD2=OC2+OD2,AD2=0^+OD2,

BC2=OB-+OC2,即可证得结论；

（3）①如图2,过点。作DM2BE，交旗的延长线于点利用勾股定理可得AC=3近，

再证得△ABC冬£®0（AAS）,得出AfE>=AC=3&，BM=BC=A3,运用勾股定理即可

求得答案.②分别过点A、。作AM_LCB于点M,DN1CB于点、N,连接。C,证明

AMBWBND(AAS),得至Ij=DN,AM=BN,设AM=BN=x,勾股定理求出x的值,

利用面积公式进行计算即可.

【详解】(1)解：：菱形、正方形的对角线垂直,

二菱形、正方形都是垂美四边形,

故答案为：②④;

(2)证明：：四边形ABC。是垂美四边形,

:.AC1BD,垂足为。，如图1,

:.AB2=O^C+OB2,CD2=OC2+OD2,AD2=0^+OD2,

图1

BC2=OB2+OC2,

ABr+CD2=Ofic+OB2+OC2+OD2,AD2+BC2=OA2+OB2+OC2+OD2,

:.AB2+CD2=AD2+BC2.

(3)解：①解：如图2,过点。作DM工BE,交的延长线于点Af,贝I]N的WD=90。,

ZACB=90°,

AC

图2

AC=^AB2-BC2=372,

QVBCE和△ABD都是等腰直角三角形,

:.ZCBE=ZABD=90°,BE=BC=4日BD=BA=5枝,

ZCBM=180°-ZCBE=180°-90°=90°,

:.ZABC+ZABM=90°,

ZDBM+ZABM=90°,

:.ZABC=NDBM,

ZACB=ZDMB=90°,

：.ABCADBM(AAS),

：.MD=AC=3y/2,BM=BC=472,

ME=BE+BM=4/+4后=872，

在RtzXBMD中,DE=^DM2+ME1=V146-

②如图3,NACBH90。，分别过点A、。作AMLCB于点M,DNLCB于点、N,连接DC,

D一一-苕

\Y\bw/

A'HC

图3

又：等腰RtBCE和等腰Rt^ABD,AB=5A/2,BC=4V2,

/LAMB=ZBND=ZCBE=ZABD=90°,AB=BD=5也,BC=BE=4近,

/.ZABC+ZBAM=90°,ZABC+ZDBN=90°,

ZBAM=ZDBN,

在jAMB和―氏V。中，

'NAMB=NBND=90。

-ZBAM=ZDBN,

AB=BD

：.AMB^,BND(AAS),

：.BM=DN,AM=BN,

^AM=BN=x,则CN=BC+BN=4&+无，

•••点G、X分别是AD、AC中点，连接G〃、DC,GH=2娓,

，DC=2GH=4瓜，

在Rt^DNC和RtDNB中,由勾股定理得:

DN2=DB2-BN2,DN2=DC2-CN2,

・•・DB2-BN2=DN2=DC2-CN2，即(572)2-x2=(4A/6)2~(4+X)2,

解得：x=,即=BN=X=7^^,

88

s=-BC^AM=-x4y/2x^—=-.

ABRCr2282

9.⑴%=6

(2)S=48-3x

⑶①26，②/69

o

(4)16-275

【分析】本题考查四边形综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角

形的面积、一次函数的应用等知识；

(1)只要证明AEF经DNE即可解决问题；

(2)如图，连接FN,作MQLEB于。，想办法证明“DNE四，Q/W,可得MQ=OE=6,

由此即可解决问题；

(3)①如图3中，当点N与。重合时，x的值最小，的面积最大，在Rt.田中，

X=2A/5.②如图4中，当点“在BC上时，x的值最大，的面积最小；

(4)如图3中，在一班加■的面积S由最大变为最小的过程中，点M的运动轨迹是平行48的

线段，点M运动的路线长=8尸的长.

【详解】(1)四边形ERWN是正方形，

;.EF=EN,NFEN=ZA=ND=94。,

:.ZAEF+ZAFE^90°,ZAEF+/DEN=90°,

：.ZAFE=ZDEN,

：.AEF-DNE(AAS),

:.AF=DE,

AD=10.AE=4,

DE=6,

x=AF=6.

故答案为：x=6.

(2)如图，连接引V,作MQLFB于Q,则//。尸=90。，AMQF=ZA,

四边形EEMN是菱形,

图2

:.EN=FM,EN//FM,

:./ENF=ZNFM,

・矩形ABC。中，DC//AB,

ZDNF=ZNFQ,

ZDNF-ZENF=ZNFQ-ZNFM,即ZDNE=ZMFQ,

:.^DNE^QFN(AAS),

：.MQ=DE=6,

AB=16,AF-x,

SFBM=g*FBxMQ=48-3x.

二5与无的函数关系式5=48-3%；

(3)①如图3中，当点N与。重合时，工的值最小，EBM的面积最大,

S的最大值=48-3尤=48-6G.

②如图4中，当点M在上时，x的值最大，的面积最小,

此时易证CN=AR=x,

EN=EF,

:.42+x2=62+(16-x)2,

故答案为：①26，②

O

(4)如图3中，在一班加的面积S由最大变为最小的过程中，点M的运动轨迹是平行A5的

线段，

即点M运动的路线长=3尸的长=16-x=16-26,

故答案为：16-26.

10.(1)见解析，6用6；(2)120;(3)6+673

【分析】(1)过点M作皿KLAD于K,交BC于L,可证得,3CE丝—MCP(SAS),得出

BE=MP,由Af为定点，可得当MPLAD时，即点P与点K重合时，皿尸=A1K最小，再

利用解直角三角形求得即可；

(2)以8C为边向下作正方形3aZ,连接BK、CL交于点0,连接OP,CG,过点。作

0「'_1仞于尸\交8。于丁，可推出/3。6=/。。0,方=次=0,证得△3CGSAOW,

得出头=寡=3,即BG=&。尸，故当BG取得最小值时，0「=与6最小,利用解

OPCP2

直角三角形求得07,进而可求得3G的最小值；

(3)连接C/、PH交于。，在BC下方作射线3M、射线CN,使NCSA/=N3CN=30。，

射线8河、射线CN交于点Q,过点。作QPLA。于P,交BC于K,连接P。，可证得

△BCISAQCP,得出得=累=石，即=故当。尸取得最小值时，BI=y/3QP

最小，由点。为定点，可得当QPLAD,即点尸与点P重合时，QP=QP=QK+Q'最小,

运用解直角三角形即可求得答案.

【详解】解：(1)如图，过点M作MK_LAT)于K,交BC于L,

E

•/PCE和800都是等边三角形，

：.CE=CP,CB=CM,NPCE=ZMCB=ZMBC=*。,

：.ZPCE+ZPCB=ZMCB+ZPCB,即NBCE=NMCP,

CE=CP

在tBCEMCP中,<ZBCE=ZMCP,

CB=CM

BCEWMCP（SAS）

...当MP最小时，BE最小，

为定点，

，当时，即点尸与点K重合时，加？=研最小,

•.•四边形A3CD是矩形，

AAD//BC,BC=6,ZA=ZABC=90°,

：.MLA.BC,

,?ZAKL=ZA=ZABC=90°,

，四边形ABLK是矩形，

KL=AB=3,

在RtAMCL中，ML=6y/3,

：.MK=ML+KL=6也+6,

.1.BE的最小值为6痴+6;

(2)如图，以8C为边向下作正方形3CKL,连接3K、CL交于点。，连接0尸，CG,过点

。作OP'_LAT＞于尸，交于T,

,四边形CPGR3cxi是正方形，

AZPCG=ZBCO=45°,CG=®CP，OC=OB=^BC=6^2,BOC是等腰直角三角

2

形，

ZPCG+NPCB=ZBCO+NPCB,即NBCG=NOCP,

的4=0

CPoc

：.ABCGsAOCP,

BG=41OP，

当2G取得最小值时，OP=与BG最小,

2

:点。为定点，

...当OPLAD时，即点P与点P重合时，OP=OP最小，

:BC//AD,

OP'LBC,即NCTO=90°,

OT=6,

•/ZA=ZABC=ZAPY)=90。，

四边形AB7P是矩形，

：.TF"=AB=6,

：.OP'=OT+TP'=6+6=12,

•••O尸的最小值为12,

3G的最小值为12夜，

(3)如图,连接CI、PH交于O,在BC下方作射线BM、射线CN,使ZCBM=ZBCN=30°,

射线8河、射线CN交于点Q,过点。作QPUA。于尸，，交BC于K,连接尸。，

•・•四边形PCm是菱形，ZPCH=60°,

：.PHLCI,PC=PI,ZPCI=ZPIC=30°,CI=2CO,

在RtCFO中，CO=—PC,

2

CI=2CO=6PC,

•：ZCBQ=ZBCQ=30°,

QB=QC,

QPf±AD,AD//BC,

：.QKLBC,

:BK=CK=-BC=6,

2

QK=2>/3,CQ=443,

,S=60=5

CQ473PC

・史-0-⑺

"CQPC'

•/ZBCI=ZBCP+30°,NQCP=ZBCP+30°,

ZBCI=ZQCP,

/.ABC/s^QCP,

.旦0=3

QPPC

：.BI=^3QP,

.,.当QP取得最小值时，BI=6QP最小,

:点0为定点，

.•.当QPLAD,即点P与点P重合时，QP=QP=QK+KP最小,

由（2）知：KP'=AB=6,

：.QP'=QK+KP'=2y/3+6,

3/的最小值=gx(2君+6)=6+6后.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，等边三角

形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，解题的

关键是正确地作出解题所需要的辅助线，构造全等三角形和相似三角形，此题难度较大，属

于中考压轴题.

11.⑴诙=4

(2)AG=AE+AF,理由见解析

(3)4手

【分析】(1)根据“直角三角形的中线等于斜边长一半”，可以得到AE=3E=CE=5,再在

直角△5EF中，利用勾股定理求出砂，则=EF,即可求解；

(2)由题意可得，AC是NGCE的角平分线，且CGLAC,故延长A&GC交于点可

v£AG=AM,要证AG=AE+AF,AM=AE+EM,即证明=即可，延长所交

AC于N,过E作于P,先证明ABNgEAP,可以得到AN=£P,再证明四边