直线、平面垂直的判定与性质（七大题型）（讲义）解析版-2025年高考数学一轮复习

第04讲直线、平面垂直的判定与性质

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：直线与平面垂直的定义..................................................4

知识点2：直线与平面垂直的判定定理..............................................5

知识点3:直线与平面垂直的性质定理..............................................7

知识点4：平面与平面垂直的定义..................................................8

知识点5：平面与平面垂直的判定定理..............................................9

知识点6：平面与平面垂直的性质定理..............................................9

解题方法总结..................................................................11

题型一：垂直性质的简单判定....................................................12

题型二：证明线线垂直..........................................................16

题型三：证明线面垂直..........................................................19

题型四：证明面面垂直..........................................................23

题型五：面面垂直的性质定理....................................................26

题型六：垂直关系的综合应用....................................................30

题型七：鳖月需几何体中的垂直....................................................35

04真题练习•命题洞见............................................................38

05课本典例•高考素材............................................................45

06易错分析•答题模板............................................................49

易错点：忽视用证明垂直的方法求夹角............................................49

答题模板：线线垂直'线面垂直的证明............................................50

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

2024年II卷第17(1)题，7分

2023年II卷第20(1)题，6分选择题、填空题中考查直线、平面位置

(1)直线与平面垂

2023年北京卷第16(1)题，5分关系判断；解答题第一问中多考查平行、垂

直的判定与性质

2022年乙卷(文)第9题，5分直的证明.证明一些空间位置关系，利用性

(2)平面与平面垂

2022年乙卷(文)第18题，12分质定理'判定定理探究平行、垂直位置关系

直的判定与性质

2021年浙江卷第6题，4分的存在性问题.

2021年II卷第10题，5分

复习目标：

(1)理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.

(2)掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单的应用.

老占突曲・题理探密

,知识苴》

知识点1:直线与平面垂直的定义

如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直.

【诊断自测】（2024・高三・河北・期末）已知/、〃[是不重合的两条直线，a、夕是不重合的两个平面,

则下列结论正确的是（）

A.若a0=1,mua,H/m,则初/£

B.若/ua,mu0,al1/3,则〃/加

C.若打0=1,mua,m±l,则a_L£

D.若mJla,则/_La

【答案】A

【解析】对于A,因为a/3=1，mua,所以

又IHm,luB,所以"z///?,A正确；

对于B,在正方体A3CD-AB|GR中，

记平面ABCD为a,平面A[B[C]£>]为夕，AB为1,42为加，

则/ua,mu#,a〃6，但/与根不平行，B错误；

对于C,记平面ABG2为&,平面ABC0为£,AB为I,AD、为m,

由正方体性质可知，钿，平面4。。14，A?u平面A30A，所以

则a0=1,inua,m_Ll,但a,尸不垂直，C错误；

对于D,记A3为/,AB为m,平面A4GA为a,

则/_1_相，m//T，但/与a不垂直，D错误.

故选：A

知识点2：直线与平面垂直的判定定理

文字语言图形语言符号语言

一条直线与一1

个平面内的两条相a,bua

aLI

判断定理交直线都垂直，则>=>/_La

bU

该直线与此平面垂yacb=P

直

两个平面垂

直，则在一个平面a-L/3

Lac(3=a

面_L面=线1面内垂直于交线的直>=>Z?JLa

*bu0

线与另一个平面垂bLa

直

一条直线与两

平行平面中的一个

平行与垂直的/a/1

平面垂直，则该直卜=〃_L尸

关系〃_LaJ

线与另一个平面也/

垂直

两平行直线中ab

平行与垂直的有一条与平面垂a1lb、

>=>b-La

关系直，则另一条直线▼aLa]

与该平面也垂直

TT

【诊断自测】如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABC，平面BCD,ZBCD=ZBDC=~,尸为棱AC

6

的中点，点。在棱CO上，PQLBC,且DQ=20C.

证明：A5_L平面BCD；

【解析】如图，取棱CO靠近。的三等分点R,

连结则。是C&的中点，

因为尸为棱AC的中点，所以PQ是△ACR的中位线,

所以尸。〃4?,因为PQLBC,所以

设BC=®,因为ZBCr>=ZBOC=&,

6

所以BD=6a,作连接BR,

贝lJCD=2BCcos/BCD=3a,因为OQ=2QC,所以CH=2a.

在ABCR中,由余弦定理得BR=,（。）2+（2a）2—2x（疯?）x（2a）xcos/BCD=々,

BR?+BC2=CR2,BC±BR.

又•、A7?c3R=R,AR,8Ru面A5R,

.•.3C_L平面ABR,因为ABu面ABR，所以BCJ_AB.

又由平面ABC_L平面BCD,平面AB。）平面3CD=3C,

AB二平面BCD得证.

知识点3：直线与平面垂直的性质定理

文字语言图形语言符号语言

ab

垂直于同一平a±a

性质定理>nq//0

面的两条直线平行b.La

a

垂直与平行的垂直于同一直aLa

/>=>a//J3

〃_L尸

关系线的两个平面平行/

如果一条直线

线垂直于面的垂直于一个平面，

性质则该直线与平面内

所有直线都垂直二

【诊断自测】(2024・高三・江苏南通•期中)如图，4£>//8。且相>=23。，AD1.CD,EG/MZ)且

EG=AD,CDUFG且CD=2FG,OG_L平面ABC。，DA=DC=DG=2.

(1)设面与面EFG的交线为/,求证：BC//1-,

(2)证明:AGLEC

【解析】(1)因为AD//3C,EGHAD,所以BC//EG,

又BC<Z平面£FG,EGu平面£FG,

所以8C//面EFG,又BCu平面BCF,平面3CFc平面EFG=L

所以BC//1.

(2)因为EG/MD且EG=AD,所以四边形AOGE为平行四边形，

又AD=DG,所以四边形A£»GE为菱形，所以AG1OE

因为DG_L平面ABCD,CDu平面ABC。，所以DG1,CD,

又ADJLCD,DG、ADu平面ADGE,所以CDL面45GE,

又AGu面ADGE,所以CD_LAG,又AG_LDE,

DE、CDu平面CDE,所以又CEu面CDE,

所以AGLEC.

知识点4：平面与平面垂直的定义

如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂

直.（如图所示，若ac0=CD,CD1y,S.acy=AB,0cy=BE,ABLBE,则a_L尸）

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

【诊断自测】（2024•福建泉州.模拟预测）己知见"是两条不同的直线，。，尸,7是三个不同的平面，则

下列命题是真命题的是（）

A.若a1°,mua,nu0,则m_L"B.若a1/3,/31了,则a///

C.若根_La,〃6，则a_L£D.若mlIn,mlla,则〃〃a

【答案】C

【解析】对于A,因为设a（3=1,

又mua,nu/3,则当机〃/,〃〃/时，mlln,故A错误；

对于B,若a7=/,且/，，，则有故B错误；

对于C,因为相_LC,7"〃W,

故〃_LI,又〃//月，故存在直线"U尸，且a//",

此时。_La,由面面垂直的判定定理知,故C正确；

对于D,当加〃”,加〃e,贝！或者〃ua,故D错误，

故选：C.

知识点5：平面与平面垂直的判定定理

文字语言图形语言符号语言

判定定理一个平面过bLa]

a-LB

另一个平面的垂bu队"

线，则这两个平/7

面垂直

【诊断自测】如图，在三棱锥尸-ABC中，平面上4C，平面上4c和VABC均为等腰直角三角

形，且PA=PC=0,PB=46.

证明：平面ABC_L平面PAC；

【解析】由题意，得PC_LPA,所以AC=JPA2+PC2==2.

因为平面PAC_L平面P3C,且平面PAC〕平面PBC=PC,B4u平面PAC,

所以PA_L平面尸BC,

因为PBu平面尸BC,BCu平面PBC,所以B4_LPS,PA1BC.

所以AB?=PA2+PB2=8,即AB=2痣.

又因为VABC为等腰直角三角形，AC=2<AB,

所以AC=3C=2,ACLBC.

因为PAu平面PAC,ACu平面PAC,PAAC=A,所以BC_L平面PAC,

又因为3Cu平面ABC,所以平面ABC，平面PAC.

知识点6：平面与平面垂直的性质定理

文字语言图形语言符号语言

性质定理两个平面垂a1[5

1acB=a

直，则一个平面内>nZ?_La

bu廿

垂直于交线的直线

bLa

与另一个平面垂直7

TT

【诊断自测】如图1,四边形ABC。为菱形，ZABC=1,E,尸分别为AD,DC的中点.如图2,将

VA3C沿AC向上折叠，使得平面ABC,平面ACEE,将二。所沿历向上折叠.使得平面DEFL平面

ACEE.求证：A,民四点共面.

【解析】取ACEF的中点分别为M,N,连接BM,DN,MN,

取AM,8"的中点分别为G,〃，连接BD,GH,HD,GE,

TT

由四边形ABCD为菱形，ZABC=~,可知VA3C,_D即都是等边三角形，

所以BM_LAC,DN1,EF,

因为平面ABC_L平面ACFE,BMu平面ABC,^[5ABC3ACFE=AC,

所以3Af，平面ACFE,

又由平面DEF，平面ACFE,同理可得DN工平面ACFE,

所以BM//DN,且.HM=DN,

所以四边形网以是平行四边形，

则DH//MN,且DH=MN,又MNIIGE,

所以DH〃GE,又因为DH=MN=GE,

所以四边形DHGE是平行四边形，所以GH/DE,

因为AM,8"的中点分别为G,H,所以GH//AB,

所以AB//DE,所以A,B,2E四点共面.

解题方法总结

判定定理)判定定理,

线，线,性质定理线上面(性质定理面,面

(1)证明线线垂直的方法

①等腰三角形底边上的中线是高；

②勾股定理逆定理；

③菱形对角线互相垂直；

④直径所对的圆周角是直角；

⑤向量的数量积为零；

⑥线面垂直的性质(a_La,6ua=>a_L6)；

⑦平行线垂直直线的传递性(a_LcM//6=>6J_c).

(2)证明线面垂直的方法

①线面垂直的定义；

②线面垂直的判定(aYb,aVc,c<^a,b<^a,b(~>c=P=>aVa)；

③面面垂直的性质Qa\B，ac(3=b,a1b,aua=>a1[3)；

平行线垂直平面的传递性Qa，a,bllaqbla)；

⑤面面垂直的性质(eac/?=/n/_L/).

(3)证明面面垂直的方法

①面面垂直的定义；

②面面垂直的判定定理(o_L£,aua=>&_!_£).

空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位

置.

题型洞察

题型一：垂直性质的简单判定

【典例1-1】（2024.四川.模拟预测）设4,4为两条不同的直线，％,%为两个不同的平面，下列说法正

确的是（）

A.若“/a”l2llax,则4〃4

B.若/1,4与四所成的角相等，则/J//2

C.若。1~L,l2lla2,贝U4_L/2

D.若4-L%，'，贝!

【答案】D

【解析】对于A,平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能异面，故A错误；

对于B,4,4与%所成的角相等，则4,4可能异面，可能相交，也可能平行，故B错误，

对于C,〃孱2,贝必，可能垂直，但也可能平行或者相交或者异面，故C错误；

对于D,%，%，贝！D正确.

故选：D.

【典例1-2】（2024・湖南•三模）已知孙〃是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题

正确的是（）

A.若mlla,nllp,allp,则m//n

B.若mua,nua,m"B，〃/IB,则a〃/?

C.若m>a,m//Yi,a10,则〃_L/?

D.若机机_L〃，则a_L分

【答案】D

【解析】对于A,若〃//，alip,则〃//a或〃ua,则相，〃相交、平行、异面都有可能，A错误；

对于B,若相烫力,〃a,m///3,n/Ip,则a与夕相交或平行，B错误；

对于C,若mLa,m//n,则〃_La,又a工B，则或〃u£,C错误；

对于D,由机_La,m_L〃，得〃//a或几u〃，若〃〃a,则存在过〃的平面与。相交，

令交线为/,则"/〃，而〃，尸，于是/，力，若〃ua,而〃，尸，则。，尸，

因此。_L〃，D正确.

故选：D

【方法技巧】

此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除.

【变式1-1］在四边形ABC。中，AD/IBC,AD=AB,ZBCD=45°,ZBAD=90°,将折起，使平

面平面28,构成三棱锥A-BCD,如图，则在三棱锥中，下列结论不正确的是()

A.CDLABB.CD±BD

C.平面ADC_L平面ABDD.平面ABC_L平面BDC

【答案】D

【解析】对于B,如图①，因为AD//BC,AD=AB,NBA。=90,

所以/A5r>=/AD3=45,

又因为/BCD=45,ADIIBC,

所以NA£»C=135,

所以NBOCuZADC-ZADBulSS-45=90,

所以CD_LB£>,故B正确；

对于A,由B选项知CD_L5r>,

又因为平面ABD，平面BCD,CDu平面3CD,平面A&Dc平面38=3。,

所以CD_L平面ABD,

因为ABu平面ASD,

所以CDJ_A3,故A正确；

对于C,由选项A知，CD1•平面ABD,

因为CDu平面ADC,

所以平面ADC1平面A8£),故C正确；

对于D,如图②过点A作AELBD,垂足为E,

因为平面ABD_L平面38,AEu平面ABD,平面ABDc平面3cD=3D,

所以AEJ_平面BCD,

显然A£(Z平面ABC,所以平面ABC与平面BOC不垂直，故D错误.

故选：D.

A

【变式1-2］已知下面给出的四个图都是正方体，A,8为顶点，E,

则满足直线的图形的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【解析】对于①：如下图所示，点C为所在棱的中点，由中位线定理及等腰三角形的性质,

易证由CEL平面ACT,得出EC_!AB,尸C,ECu平面ECb

FCEC=C,从而由线面垂直的判定得出AB_L平面ECb,则AB_LEF,故①正确;

对于②：如下图所示，点。为所在棱的中点，由中位线定理及等腰三角形的性质,

易证由£>尸1平面3DE,得出£>F_LAB,DE,£>Fu平面£>£尸,

DEcDF=D,从而由线面垂直的判定得出AB_L平面DEF,则AB_LEF,故②正确;

对于③：如下图所示，由中位线定理及等腰三角形的性质，

易证EF_LAG,由3G_L平面EfG,得出防J_3G,AG,8Gu平面A3G,

AGBG=G,从而由线面垂直的判定得出EF_L平面ABG,则AB_LEF,故③正确;

对于④：如下图所示，点a为所在棱的中点，由③可知，ABYHE,

由中位线定理及等腰三角形的性质，

易证BM_LFH,由AM_L平面ZTNVf,得出A〃_LFH,48,40<=平面至对，

ABAM=A,从而由线面垂直的判定得出平面ABM,则

HE,FHu平面EFH,HEcFH=H,由线面垂直的判定可得相，平面£777，

则故④正确；

【变式1-3］已知正四面体ABCD中，E是的中点，连接。瓦G是£）后的中点，点尸满足

AF=3FC，贝！1（）

A.AD1EF

B.EF//平面BCD

C.尸G//平面BCD

D.平面EFG_L平面AB£>

【答案】C

【解析】如图，

C

连接。/，平面EFG即平面DEF,由E是AB的中点和AP=3FC，知所与BC相交.

对于A，因为四面体ABCD为正四面体，所以AO,8C,/ZMB=60.

若AD_LEF,又BC,E尸u平面ABC,且相交，所以A£)_L平面ABC.

又ABu平面ABC,所以AD7,AB,与2048=60矛盾，所以A错误；

对于B,若砂//平面3C。，由EFu平面A3C,平面ABC】平面BCD=BC,

得BC//EF,与BCE尸相交矛盾，所以B错误；

对于C,由4尸=3尸C，知ARC三点共线，且AF=3bC.

取BE的中点M,连接产M,GM,所以所以MR//BC.

又W平面3C£),8CU平面BCD,所以〃尸//平面BCD.

又G是DE的中点，所以MG//3D

又MGU平面BC£),8OU平面28,所以MG//平面BCD

因为MG,MFu平面M/G,且MGcMF=Af,所以平面MEG//平面BCD

因为FGu平面M/G,所以尸G//平面BCD,所以C正确；

对于D,连接CE,因为E是的中点，所以

若平面EFG_L平面又平面£FGc平面=所以AB_L平面EFG.

又EFu平面EFG,所以AB，£F,与CE1AB矛盾，所以D错误.

故选：C.

题型二：证明线线垂直

【典例2-1](2024.陕西榆林.模拟预测)如图，在四棱锥尸-ABCD中，PAL平面ABC。，底面ABCZ)

为正方形，E为线段A8的中点，PA=AB=2.

B

求证：BDYPC-,

【解析】证明：•；PA_L平面ABC。，3£><=平面ABC。，.・.■R41BD

又底面ABC。为正方形，.•.3。_LAC.

又PAAC=A,且B4,ACu平面B4C,.♦.BD工平面E4C,

•.尸。(=平面以。，；.比)_1尸。.

【典例2-2】（2024・四川.模拟预测）如图，多面体ABCD跖中，己知面ABC。是边长为4的正方形,

EBC是等边三角形，EF//AB,EF^-AB,平面FBC_L平面A3CO.

2

求证：EF1BF；

【解析】由ABC。是正方形，得而平面FBC，平面平面FBC1平面ABCD=3C,

ABu平面ABC。，则AF_L平面所C,又bBu平面fBC,于是又EF11AB,

所以EFLBF.

【方法技巧】

三线合一（有等腰三角形就必用）

共面n勾股定理（题目中线段数据多）

证明41/先看两直线位置关系

2其他（初中平面几何学习的其他垂直证明方法）

.异面=>考虑用线面垂直推导异面垂直n找重垂线n

【变式2-1］（2024•广东佛山•模拟预测）如图，已知多面体48。-A瓦£2的底面ABC。是菱形，侧

棱BBt1底面ABCD,且C0=2AA,=4郎=4DR.

B

证明：\CVBD.

【解析】因为2M=4阴，所以84〃例，

又因为Bq_L平面ABCD,所以四，平面A5CZ）,

又因为3Du平面ABC。，所以MLB。，

因为四边形A2CD是菱形，所以BD_LAC,

又因为ACAAAnA,AC,A^u平面AAjC,

所以平面AA|C,

又因为ACu平面44。,

所以2OJ_4C；

【变式2-2］（2024.陕西榆林.模拟预测）如图，在四棱锥中，平面ABC。，底面

ABC。为正方形，E为线段AB的中点，PA^AB=2.

P

（2）求点E到平面PBD的距离.

【解析】（1）证明：平面ABC。，加匚平面筋^^二出,即，

又底面4BCZ）为正方形，；.3D_LAC,

又PAAC=A,且PA,ACu平面PAC,

平面PAC,

PCu平面巩C,:.BD1PC.

（2）.E为线段AB的中点，

若点A到平面PBD的距离为d,则点E到平面PBD的距离为-.

2

由题易知尸8==^22+22=2A/2，

S^PBD=gx20x2应X#=2G

VP-ABD^VA-PBD1.,.1x（^-x2x2）x2=1x2^xt/,解得"=.

3233

•••点E到平面PBD的距离为4=—.

23

【变式2-3］（2024•河南•模拟预测）如图所示，在三棱锥P-ABC中，平面平面A3C,

PAYAB,/PAC为锐角.

证明：ABJ.AC-,

【解析】在平面PAC中，过点尸作AC的垂线，垂足为。.

平面PAC_L平面ABC,且平面PAC7平面AfiC=AC,PDu平面APC,

故PD,平面ABC.又ABu平面PAC,所以尸D,AB

又F4_LAB,PAPD=P,尸。u平面PAC,PAu平面尸AC,

所以AB,平面PAC,又ACu平面PAC,故AS1AC.

题型三：证明线面垂直

【典例3-1］如图，AB是圆的直径，平面B4cl面AC8,5.AP1AC.

求证：3C_L平面PAC；

【解析】因为平面B4cl面ACB,且AP1AC,平面出Cc面ACB=AC,APu平面B4C,

所以R11面ACB,又因为8Cu平面P2C,

所以B4L8C,又因为AB是圆的直径，所以ACLBC,

因为ACPA=A,AC,PAu平面PAC,

所以3C_L平面PAC；

【典例3-2】在VABC中，ZABC=90°,AB=3C=6,。为边48上一点，AD=2,E为AC上一点,

DEIIBC,将VADE沿DE翻折，使A到A处，/ZM'3=90°.

证明：A3_L平面屋DE;

【解析】证明：由题意知DE_LA。，DELBD,

又A'。BD=D,所以DE_L平面ABD,

又A3u平面ABO,所以。EJ_4B，

又ADLAB,DE、A!D=D,所以A5_L平面A力E

【方法技巧】

方法一：线面垂直的判定.

线线垂直n线面垂直，符号表示为：aVb,aLc,b<^a,c<^a,br\c=P,那么aJ_e.

方法二：面面垂直的性质.

面面垂直二>线面垂直，符号表示为：a.\-/3,a\。=b,aua,a工b,那么〃_L，.

【变式3・1】（2024.河南驻马店.二模）在如图①所示的平面图形中，四边形ACDE为菱形，现沿AC

进行翻折，使得平面ACDE,过点E作所〃AB,且连接FD,FB,BD,所得图形如图②

所示，其中G为线段8。的中点，连接FG.

求证：FG_L平面ABD；

【解析】证明：.

在菱形ACDE中，CE1AD,

因为AB_L平面ACDE,CEu平面ACDE,所以CE1AS,

又ABcAD=A,AB,A£>u平面ABD,所以CE_L平面ABD

因为G,。分别为3。AD的中点，所以GO=；AB,GO//AB,

又EF=^AB,EF//AB,

2

所以GO=£F,GO//EF,所以四边形GOEF为平行四边形，

所以FG//EO,所以尸G_L平面

【变式3-2］（2024.四川乐山.三模）如图，平行六面体中，底面A5C。是边长为2的

菱形，且/朋。=60。，的=m,24加=/414£）,伍与平面钻8所成的角为45。,"'与应）交于。.

证明：A。，平面A5CD；

【解析】

连结8G，DG，

底面ABC。是边长为2的菱形，AAB=AD.

=AAi=AAi,

B\=D\.

点。为线段8。中点，：.\OVBD.

"CD为菱形，・^・AC，JB£>,ACcA。=O,AC，AOu平面A41C,二BD，平面A4iC

又BDu平面ABCD,，平面AAC_L平面ABC。，

44t在平面ABC。上的射影为AC,

NAAO为直线AA,与平面至。£>所成的角，即乙41Ao=45°.

在,.A|A。中，A4,=n,AO=：AC=6,N4AO=45。,

cos/qAO=—^~AA2+OA2-A.O2

AiO=y/3.

2x4AxOA

又。43。=0,。4<=平面488,8。<=平面4?。。,

AQ_L平面A3CZ）.

【变式3-3］（2024•高三.湖北武汉.开学考试）如图，在三棱锥P-ABC中,

PA=BC=2EPC=AB=6,PB=A,/ABC=9Q，。为AC上的动点.

若AZ)=退，求证：PZ)J_平面ABC；

在Rt/XABC中，AB=6,BC=2瓜贝l]AC=4百，

又PA=2瓜PC=6,所以AC?=尸。2+丛2

由勾股定理可得△APC为直角三角形，ZAPC=90,

PCr-

所以tanNPAC—...=#>,所以Z.PAC=60

PA

在△B4D中，因为AD=6，由余弦定理可得：

PD2=AP2+AD2-2Ap•ADcosZPAD=（26产+（近彳-2x26x代xcos60=9

贝Ijp/y+A£>2=92,所以PDJ_AD,

又CD=36,/ACB=60,在△DCS中由余弦定理可得：

B£>2=BC2+CD2-2BC-CDcosZACB=（2>/3J"+（3^）2-2x2A/3x3A/3xcos60=21,

贝1Pzy+%>2=依2,所以PD_LBD,

又ADcBD=D,ADu平面ASC,BDu平面ABC,

所以PD,平面ABC

【变式3-4]（2024・四川雅安•三模）四棱锥尸-ABCZ）中，AP=AC,底面ABCD为等腰梯形，CD//

AB,AB=2CD=2BC=2,E为线段PC的中点，PCLCB.

【解析】因为4P=AGE为线段PC的中点，所以尸C,

在等腰梯形ABCD中，作C「_LAB于尸，则由AB=2CD=23C=2得尸B=LBC,

2

BF1

所以cos/CBA=—=—,所以/C84=60,NTC8=30,

BC2

因为AB=2BC,所以==—,所以：BCF~BAC,

ABBC2

所以—3c尸=28AC=30，所以NAC3=90，所以AC_L3C,

因为PC，Cfi,PCcAC=C,尸C,ACu平面尸8,所以3C，平面PC4,

因为AE在平面PCA内，所以3CLAE,

因为尸CcBC=C，尸C,BC在平面PCB内，所以A£J_平面尸CB.

题型四：证明面面垂直

【典例4-1]（2024.湖南•三模）如图，四棱锥尸-ABCD的底面ABCD是梯形,

BC//AD,PA=AB=BC=1,AD=2,PC=瓜PA1平面ABCD.

【解析】因为PAL平面ABC。，BC,AC,ABu平面ABC。，所以上4,AC,R4LAB,

22

因为PA=AB=BC=1,PC=7?,所以AC?=pC2_p^=3-i=2=AB+BC，

所以ABJ_3C,

又因为尸A_L8C,PAcAB=A,JR4,ABu平面JR4B,所以3C_L平面E4B,

因为BCu平面PBC,所以平面PBC,平面R4B；

【典例4-2】在三棱台ABC-4BC中，底面VABC是等边三角形，侧面A&CG是等腰梯形，。是

AC的中点，BQ是两异面直线和AC的公垂线，且45=944=26，网=20.

证明：侧面ABB^±平面B]AC■

【解析】由耳。是两异面直线与B与AC的公垂线可得，B.B1Bp,Bp1AC

又VABC是等边三角形，。是AC的中点，所以

因30cBQ=O,BO,BQu平面BBQ,故得AC，平面BtBO,

又与8u平面耳BO,则AC，耳8,

因与8耳。，ACcBp=O,AC,BQu平面与AC,故BtB±平面百AC,

又B]Bu平面ABB^,所以侧面ABB^±平面BtAC.

【方法技巧】

主要证明方法是利用面面垂直的判定定理（线面垂直一面面垂直）.证明时，先从现有的直线中寻找

平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决.

【变式4-1]（2024•四川德阳•三模）如图，在三棱柱ABC-A用G中，底面A3C是等边三角形，

ZA.AB=AA.AC,。为BC的中点，过的平面交棱A8于E,交AC于E

求证：平面平面EBCZ；

【解析】证明：连接AB，AC.

因为NAA8=/4AC,AB=AC,44]=44]

所以△4AB也△4AC,所以A2=AC.

因为。为2c的中点，所以

因为A8=AC,D为2C的中点，所以3CJ_A。.

因为AQAD=D,A。，ADu平面

所以BC,平面A,。.

又B£〃BC,所以用G_L平面AAD.

又用Gu平面£2。下

所以平面A平面防iG尸.

【变式4-2]如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABC。，底面ABC。为菱形,

ZABC=60°,AB=y/2PA=41PB=2，E是CD的中点.

p

(1)证明：平面PBC_L平面

(2)求点A到平面PBE的距离.

【解析】连接AC.因为底面ABC。为菱形，ZABC=60°,所以，ACD是正三角形.

又E为C。的中点，所以AE1.CD,则AELAB.

因为平面平面ABCD,平面BIBc平面ABCD=AB,AEu平面ABC。.

所以AEL平面R4B.

因为PBu平面上4B,所以

因为AB=0PA=0尸2=2，所以R^+尸台？="2,则R4J_PB.

因为PAAE=A,/^，^^七平面以小所以照上平面以乩

又PBu平面P3C,所以平面P3C_L平面B4E.

【变式4-3](2024•陕西宝鸡•三模)如图，在三棱柱ABC-A4C中，4A与8月的距离为

AB=AC=AlB=2,%C=BC=2五.

证明：平面4AB瓦，平面ABC；

因为48=48,所以

因为三棱柱ABC-4与G，所以例〃^^

所以8。_1_8耳，所以2D

因为AB=2,所以AD=1,=2；

因为AC=2,AC=2也,

所以ACAAA'AC）

所以4。1可，

同理4C_LAB,

因为44（AB=A,且AA，/16匚平面442瓦，所以AC_L平面448瓦，

因为ACu平面A8C,所以平面AABB1，平面ABC；

【变式4-4]（2024.新疆乌鲁木齐.三模）由平行六面体ABC。-ABC?截去三棱锥耳-4BG后得到

如图所示的几何体，其体积为5,底面A8CD为菱形，AC与8。交于点。，\B=BCX.

⑴证明〃平面A^G；

（2）证明平面D.DO1平面A.BQ；

【解析】（1）如图补全平行六面体，连接，片交4G于点。一连接。出，

在平行六面体ABCD-A瓦C2,BBJIDD”BB,=DD,,

所以四边形8BQD为平行四边形，所以3。=BQ,2。/,

又。为8。的中点，。1为耳2的中点，所以DQI〃OB,