直线的方程（九大题型）（讲义）原卷版-2025年高考数学一轮复习

第01讲直线的方程

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：直线的倾斜角和斜率....................................................4

知识点2：直线的方程............................................................5

题型一：倾斜角与斜率的计算.....................................................6

题型二：三点共线问题...........................................................7

题型三：过定点的直线与线段相交问题.............................................8

题型四：直线的方程.............................................................9

题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题..........................................10

题型六：两直线的夹角问题......................................................12

题型七：直线过定点问题........................................................13

题型八：中点公式..............................................................13

题型九：轨迹方程..............................................................14

04真题练习•命题洞见............................................................16

05课本典例高考素材............................................................17

06易错分析•答题模板............................................................18

易错点：错误理解斜率与倾斜角间的关系..........................................18

答题模板：求斜率的取值范围....................................................19

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

高考对直线方程的考查比较稳定，考查内

(1)直线的倾斜角与斜率2008年江苏卷第9题，5分容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练

(2)直线的方程2006年上海卷第11题，4分掌握直线的倾斜角与斜率、直线方程的求法等，

特别要重视直线方程的求法.

复习目标：

(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.

(2)根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式).

匐2

知识导图•思维引航

直线的方程

考点突破二即理辉笠

f知识固本JJ

知识点1：直线的倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角

若直线/与X轴相交，则以X轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与/重合所成的角称为直线/的

倾斜角，通常用表示

（1）若直线与X轴平行（或重合），则倾斜角为0

（2）倾斜角的取值范围ae[0,万）

2、直线的斜率

设直线的倾斜角为a,则e的正切值称为直线的斜率，记为左=tanc

（1）当1=工时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的

2

（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率

（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程

相联系）

（4）阳越大，直线越陡峭

（5）倾斜角。与斜率左的关系

当左=0时，直线平行于轴或与轴重合；

当左＞0时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随左的增大而增大;

当左＜0时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随左的增大而增大;

3、过两点的直线斜率公式

已知直线上任意两点，A（X],%）,B（X2,y2）^\\k=~~—

x2-xl

（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关.

（2）若X]=々，则直线74s的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°

4、三点共线.

两直线AB,AC的斜率相等一AB、C三点共线；反过来，AB、C三点共线，则直线AB,AC的斜

率相等（斜率存在时）或斜率都不存在.

【诊断自测】过点A（2,6）和点3（3,-2）的直线的倾斜角为135。，则》的值是

知识点2：直线的方程

1,直线的截距

若直线/与坐标轴分别交于3,0）,（0,6）,则称a,6分别为直线/的横截距，纵截距

（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为

与“距离”相关）

（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线

2、直线方程的五种形式

名称方程适用范围

点斜式y-%=k(x-xl)不含垂直于x轴的直线

斜截式y=kx+b不含垂直于X轴的直线

y—M二％一.

两点式不含直线x=X（XW/）和直线＞=X（M。乂）

%—x々一玉

截距式—不含垂直于坐标轴和过原点的直线

ab

Ax+By+C=0

一般式平面直角坐标系内的直线都适用

(A2+4w0)

3、求曲线（或直线）方程的方法：

在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：

（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到

两个点，或者一点一斜率

（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再

利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）

4、线段中点坐标公式

若点《，巴的坐标分别为(占，%),(无,，％)且线段KE的中点M的坐标为(x,y)，则|2，止匕

V=A±A

U2

公式为线段a鸟的中点坐标公式.

5,两直线的夹角公式

若直线y=K尤+4与直线y+%的夹角为a，则tana=:一：.

【诊断自测】过点尸(1,2)引直线，使4(2,3),3(4,-5)两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是()

A.3x+2y-7=0B.x+2y-5=0

C.3%+2y—7=0或4x+y-6=0D.3x+2y-7=0或尤+2＞一5=0

题型一：倾斜角与斜率的计算

JT

【典例1-1］直线x-tan《+y-2=0的倾斜角为

【典例1-2】(2024•上海青浦•二模)已知直线4的倾斜角比直线/2：y=xtan80。的倾斜角小20。，贝必的

斜率为

【方法技巧】

正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式左=&",根据该公式求出经过两

x1—x2

点的直线斜率，当占时，直线的斜率不存在，倾斜角为90,求斜率可用人=tana(a/90),其

中。为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割.牢记“斜率变化分两段，90是其分界，遇到

斜率要谨记，存在与否要讨论”.这可通过画正切函数在上的图像来认识.

【变式1-1］(2024•河南信阳•二模)已知直线2x-y+l=0的倾斜角为a,则tan2。的值是.

【变式1-2］若过点M(-2,%)，N(加,4)的直线的斜率等于1,则加的值为.

【变式1-3］若过点A（3,4）,。（6,3a）的直线的倾斜角为锐角，则实数。的取值范围为.

【变式1-4］（2024•重庆•重庆南开中学校考模拟预测）已知直线/的一个方向向量为。=卜皿5,8$弓

则直线/的倾斜角为（）

兀c兀

A.—B.—C

63-T-T

题型二：三点共线问题

【典例2-1】若点A（3,l）、8（-2,%）、C（8,11）在同一直线上，则实数上的值为.

【典例2-2］若三点A（3,3）,B（a,0）,C（0,6）（其中分6户0）共线，则雪;=—.

ab

【方法技巧】

斜率是反映直线相对于轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上

任意不同的两点所确定的斜率相等.这正是利用斜率可证三点共线的原因.

【变式2-1】若三点A（-2,3）,2（3,-2）,吗峭共线，则，"的值为.

【变式2-2】数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂

心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知VABC的顶点分别为A（3,l）,8（4.2）,C（2,3）,则

VABC的欧拉线方程为.

【变式2-3】已知《2见£|，3（4,T）,C（TTM）三点在同一条直线上，则实数m的值为一.

【变式2-4］已知42加,2）,8（4,-1）,。《-〃7）三点在同一条直线上，则实数加的值为

题型三：过定点的直线与线段相交问题

【典例3-1］已知A（2,3）,B（-L2）,若点尸（x,y）在线段AB上，则3G的取值范围是—.

X-J

【典例3-2】已知点A（T-1）1（2,4）,C（4,l）,过点A的直线/与线段BC相交，则直线/的斜率上的取值范

围是.

【方法技巧】

一般地，若已知A（X］,H）,B（X2，y2），P（Xo，%），过P点作垂直于X轴的直线r,过尸点的任一直线/的

斜率为旌则当/'与线段AB不相交时，上夹在％"与怎B之间；当/'与线段AB相交时，左在右4与与B的两

边.

【变式3-1】已知点A（3,l）,3（T,-l）,直线/是过点P（-2,3）且与线段AB相交且斜率存在，则/的斜率左

的取值范围是

【变式3-2】已知曲线y=-2x2+7x+3（lVx43）,则一二的取值范围是_____

x-2

【变式3-3］已知直线/：（,"+2）工_（〃2+1）〉-〃1=0,若直线/与连接A（-1,O）,矶2,1）两点的线段总有公共点,

则直线/的倾斜角范围是—.

【变式3-4】一质点在矩形ABCD内运动，从A8的中点0沿一确定方向发射该质点，依次由线段BC、

CD、D4反射.反射点分别为4、8、A（入射角等于反射角），最后落在线段Q4上的A（不包括端点）.

若4（-1,0）、3（1,0）、C（l,l）和。（-U）,则。＜的斜率的取值范围是

斗

D竺

1FC

Pl

C)

【变式3-5】已知直线区7-左-1=。和以河（-3,1）,N（3,2）为端点的线段相交，则实数上的取值范围

为.

题型四：直线的方程

【典例4-1】已知2MBe为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为DQ2）,斜边上中线CE所在直线方

程为3无+y-7=0,且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则所在直线的方程为.

【典例4-2】已知直线过点（2,3）,它在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则此直线的方程为一

【方法技巧】

要重点掌握直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；熟练地掌握和应用直线方程的几种形式,

尤其是点斜式、斜截式和一般式.

【变式4-1】已知点4（2,3）,3（3,1）,直线x-2y+4=。与y轴相交于点C,则VABC中，4?边上的高CE

所在直线的方程是—.

【变式4-2］已知VABC的顶点4（-6,0）,B（0,6）,其外心（外接圆圆心）、重心（三条中线交点）、垂心

（三条高线点）在同一条直线上，且这条直线的方程为尤->+3=0,则顶点C的坐标是—.

【变式4-3］若AABC的顶点A（5,1）,AB边上的中线CM所在直线方程为2x—y—5=0,AC边上的高

况/所在直线方程为x—2y—5=0,则直线BC的方程为.

【变式4-4］如图，在VABC中，AC,AB所在直线方程分另lj为4x-3y-13=。和3x+4y-16=。，则/A

的角平分线所在直线的方程为（）

A.x—7y+3=0B.7龙+丫-29=0C.x—y+3=0D.x+y—5=0

【变式4-5］已知VA3C的顶点A（5,5）,48边上的中线所在直线方程为x-5y+6=0,AC边上的高所在

直线方程为3元+2y-7=0,则8C所在直线的方程为()

A.x+2y+l=0B.x-2y+3=0

C.%—2y—5=0D.尤+2,—1=0

题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题

【典例5-1】在平面直角坐标系中，已知射线OA:x-y=0(x20),过点尸(3,1)作直线分别交射线。4、x轴

正半轴于点A、B.

(1)当AB的中点为P时，求直线AB的一般式方程；

(2)求△OAB面积的最小值.

【典例5-2】已知直线/过点尸(-2,1).

⑴若直线/与直线2x+3y+5=。垂直，求直线/的方程；

(2)若直线/分别与x轴的正半轴，丁轴的正半轴交于A、B两点，0为原点.若VA08的面积为:，求直线/

的方程.

【方法技巧】

(1)由于已知直线的倾斜角(与斜率有关)及直线与坐标轴围成的三角形的面积(与截距有关)，因

而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说.

(2)在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件

恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决.例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用

点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式.在求直线方

程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏.

【变式5-1】过点尸(-1,-2)的直线/可表示为〃2(x+l)+〃(y+2)=O,若直线/与两坐标轴围成三角形的面

积为6,则这样的直线有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

【变式5-2】已知直线/i：or-2y-2a+4=0和直线小2了一（1一。2）、一2-2。2=0,当实数。的值在区间

（。,2）内变化时，

（1）求证直线4恒过定点，并指出此定点的坐标.

（2）求直线乙,4与两坐标轴的正半轴围成的四边形面积的最小值.

【变式5-3］（2024•高二单元测试）已知直线/过点尸（4,3）,与无轴正半轴交于点A、与y轴正半轴交于点

B.

（1）求面积最小时直线/的方程（其中。为坐标原点）；

（2）求|期冏的最小值及取得最小值时I的直线方程.

【变式5-4］（2024•河南郑州•高二宜阳县第一高级中学校联考阶段练习）已知直线/：丘->+2+3左=0

经过定点P.

（1）证明：无论左取何值，直线/始终过第二象限；

（2）若直线/交无轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点2,当;|B4|+；|P8|取最小值时，求直线/的方程.

【变式5-5］（2024•江苏宿迁•高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）已知直线/过定点尸且交

x轴负半轴于点A、交，轴正半轴于点B.点。为坐标原点.

（1）若AO8的面积为4,求直线/的方程；

(2)求的最小值，并求此时直线/的方程;

(3)求|抬1尸留的最小值，并求此时直线/的方程.

【变式5-6】已知直线/：履-y+1+2左=0.

(1)当％=1时，求直线/与直线2x+y-l=。的交点坐标；

(2)若直线/交x轴负半轴于点A,交丫轴正半轴于点8.

①VA03的面积为S,求S的最小值和此时直线/的方程；

②已知点尸当PA+；尸8取最小值时，求直线/的方程.

题型六：两直线的夹角问题

【典例6-1]如果直线4与乙的斜率分别是一元二次方程£-4x+1=0的两个根，那么两直线的夹角为

【典例G2](2024•上海长宁•二模)直线2x-y-3=0与直线ly-5=0的夹角大小为一.

【方法技巧】

若直线y=《x+伉与直线〉=&》+仇的夹角为a,则tanc=、,).

1+k1k2

【变式6-1】当机=—时，直线后一>一6=0与直线初》—>+3=0的夹角为60。.

【变式6-2](2024•广东•模拟预测)在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的边A3所在直线斜率为

2月，则边AC所在直线斜率的一个可能值为.

【变式6-3］（2024•高三•上海浦东新•期末）直线x-gy+2=0与直线瓜+2y=l所成夹角的余弦值

等于

【变式6-4］（2024•全国•模拟预测）已知等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y-l=0与

x-7v-4=0,原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为.

【变式6-5】直线乙：2尤-，+1=。与直线4：x+2y+l=0的夹角为.

题型七：直线过定点问题

【典例7-1】不论上为任何实数，直线（2"l）x-（k+3）y-伏-11）=0恒过定点，若直线如+到=2过此定点

其根，〃是正实数，则±3+;1的最小值是—.

m2n

【典例7-2】不论"3"取什么值，直线（3根-〃）x+（m+2"）y-7z=0必过一定点为.

【方法技巧】

合并参数

【变式7-1］直线（m-I）x+（2m-V）y=m-3（meR）恒过定点

【变式7-2】直线4:x+（〃z+l）y-2m—2=0与直线人：（机+1卜一丁-2加一2=0相交于点p,对任意实数加，

直线。4分别恒过定点AB,则1PAi+|尸目的最大值为.

【变式7-3］已知函数”切=罐-2+1（。＞0且。*1）过定点人，直线"-y+2"l=0过定点B,则|筋|=

题型八：中点公式

【典例8-1】若直线/与两坐标轴的交点分别为A,B,且线段的中点为（3,1）,则直线/的方程为：

【典例8-21过点（3,2）的直线/,被直线4：2x-5y+9=。，4：2x-5y-7=0所截得的线段A3的中点恰

好在直线无-4y-l=。上，则直线/的方程为.

【方法技巧】

X+x,

尤=-----

若点邛，E的坐标分别为（为，%）,（%，％）且线段的中点”的坐标为（x，y），则2

I2

【变式8-1］已知直线/与直线4：2x-y+2=0和4：x+y-4=0的交点分别为A,B,若点P（2,0）是线段

48的中点，则直线AB的方程为—.

【变式8-2】过点（2,3）的直线L被两平行直线卬2x-5y+9=0与&：2x-5y-7=。所截线段钻的中点恰

在直线x-4y-l=。上，则直线乙的方程是—.

【变式8-3】已知点A,2分别是直线x+2y+4=。和直线x+2y-10=0上的点，点尸为A3的中点，设点

P的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）过点。（-2,1）的直线/与曲线C,x轴分别交于点M,N,若点。为的中点，求直线/的方程.

【变式8-4］已知直线（1-a）x+（l+a）y+3a-3=0（aeR）.

（1）求证：直线经过定点，并求出定点尸；

（2）经过点尸有一条直线/,它夹在两条直线小2尤-2=。与4：x+y+3=。之间的线段恰被尸平分，求直

线/的方程.

题型九：轨迹方程

【典例9-1］（2024•高三•全国•课后作业）若过点尸（1』）且互相垂直的两条直线乙4分别与x轴、y轴交

于A、B两点，则AB中点M的轨迹方程为一.

【典例9-2】在平面直角坐标系中，。为坐标原点，已知点A（1,2）,B（4,7）,若点C满足。C=+

（办PwR,且a+£=l）,则点C的轨迹方程为一.

【方法技巧】

(1)直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到

两个点，或者一点一斜率

(2)间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再

利用条件解出参数的值(通常条件的个数与所求参数的个数一致)

【变式9-1］已知A(l,0),M(T-2),点8在直线2x-y+l=0上运动，MP=MA+MB，则点尸的轨迹方程

是—•

【变式9-2】已知,ABC。的顶点A、C的坐标分别为(3,-1)、(2,-3),顶点。在直线3x-y+l=0上移动，

则顶点B的轨迹方程为一.

【变式9-3］已知M(x,y)满足方程|x-2y+31=/(x+1)：+5(、-1了,则M的轨迹为()

A.直线B.椭圆

C.双曲线D.抛物线

【变式9-4］在平面直角坐标系中，已知VABC的顶点坐标分别为4(2,3)、3(1,-1)、C(5,l),点p在直线

BC上运动，动点。满足PQ=PA+PB+PC,求点。的轨迹方程.

【变式9-5］(2024•安徽蚌埠•三模)如图，在平行四边形。4BC中，点。是原点，点A和点C的坐标分

别是(3,0)、(1,3),点。是线段上的动点.

(1)求42所在直线的一般式方程；

(2)当D在线段AB上运动时，求线段C。的中点M的轨迹方程.

【变式9-6］如图，已知点A是直线4：x-2y+l=O上任意一点，点8是直线4"-2丫-4=0上任意一点,

连接A8,在线段A3上取点C使得2C4=38。

（1）求动点C的轨迹方程；

（2）已知点“4,-2）,是否存在点C,使得|尸。=3?若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由.

1.（2008年普通高等学校招生考试数学（文）试题（四川卷））直线y=3x绕原点逆时针旋转90。，再向右

平移1个单位，所得到的直线为（）

A.>=B.y=-^x+lC.y=3x-3D.y=3x+1

2.（2002年普通高等学校春季招生考试数学（文）试题（北京卷））到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程

是（）

A.x-y=OB.x+y=0C.|x|-y=OD.|x|-|y|=0

3.（2004年普通高等学校招生考试数学（文）试题（湖北卷））已知点叫（6,2）和加2（1，7）.直线

>=如-7与线段必加?的交点M分有向线段陷的比为3:2,则加的值为（）

4.（2004年普通高等学校招生考试数学（文）试题（浙江卷））直线y=2与直线x+y-2=O的夹角是

5.（2020年山东省春季高考数学真题）已知直线/：y=xsin6»+cose的图像如图所示，则角。是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

课本典例・

1.判断3）,8（5,7）,C（10,12）三点是否共线，并说明理由.

2.菱形的两条对角线分别位于x轴和y轴上，其长度分别为8和6,求菱形各边所在直线的方程.

3.求经过点尸（2,3）,并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程.

4.求直线4+By+C=0（A,B不同时为0）的系数A,B,C分别满足什么关系时，这条直线有以下性

质：

(1)与两条坐标轴都相交;

(2)只与x轴相交；

(3)只与〉轴相交；

(4)是x轴所在的直线；

(5)是y轴所在的直线.

5.画出直线7：2x-y+3=O,并在直线/外取若干点，将