上海民办南模中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版）

2023-2024学年上海市南模中学高一年级下学期期中数学试卷一、填空题(本大题共有12小题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.1.已知，则_______．【答案】【解析】【分析】利用余弦函数二倍角公式，将被开方数化为完全平方数，结合的范围即可得解.【详解】因为，所以，所以.故答案为：.2.函数值域是______．【答案】【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用整体法求值域.【详解】，又，.的值域为.故答案为：3.已知，则_______________．【答案】##【解析】【分析】根据二倍角的正切公式即可得到答案.【详解】由，可得，故．故答案为：.4.若在中，，则______.【答案】【解析】【分析】利用数量积的定义和余弦定理可求的值.【详解】,故答案为：.5.函数的部分图象如图所示，则______．

【答案】##【解析】【分析】根据图象求得，进而可得，再代入最大值点即可求得的值，进而可求得.【详解】由已知可得，，所以，所以，所以.又因为在处取得最大值，所以有，所以.又因为，所以，所以，所以.故答案为：.6.已知a，b，c为的三个内角A，B，C所对的边，若，则______.【答案】##【解析】【分析】根据正弦定理结合三角恒等变换分析求解.【详解】因为，由正弦定理可得，则，所以.故答案为：.7.将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数在内不是单调函数，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】先求出平移后图象对应的解析式，根据单调性可求参数的取值范围.【详解】由题设可得平移后图象对应的函数解析式为，因为，故，因为在不单调，故或，即或，所以或，故.故答案为：.8.已知为不共线的平面向量，，若，则在方向上的投影向量为______．【答案】【解析】【分析】根据向量的加减运算以及数量积的运算律求出，结合投影向量的公式即可求得答案.【详解】由题意知平面向量满足，，则，即，可得，整理得，所以在方向上的投影向量为.故答案为：.9.已知函数，若在上恒成立，则的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】根据解析式作出函数图象，根据性质找出的值，结合图象即可得解.【详解】大致图象如图：，，．当时，或．如上图所示，当时，恒成立．所以的取值范围为．故答案为：10.函数，关于函数的零点情况有下列说法：①当取某些值时，无零点；②当取某些值时，恰有1个零点；③当取某些值时，恰有2个不同的零点；④当取某些值时，恰有3个不同的零点.则正确说法的全部序号为______.【答案】①②③【解析】【分析】画出函数的图象，结合与的交点的横坐标，结合图象和三角函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】画出函数的图象，如图所示，因为，令，即，则函数的零点，即为与的交点的横坐标，对于①中，当时，在上与无公共点，所以①正确；对于②中，当时，在上与只有1个公共点，所以②正确；对于③中，当时，在上与有2个公共点，所以③正确；对于④中，由图象可得，函数与不相邻的两个交点的横坐标间的距离为最小正周期的整数倍，即，因为，可得，所以不存在的值，使得有3个零点，所以④不正确.故答案为：①②③11.在中，已知A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，若O为的外心，，则实数______．【答案】【解析】【分析】结合余弦定理可从得到，再借助，结合向量数量积公式、二倍角公式与正弦定理，可得，即可得解.【详解】，又，故有，化简得，故有，由，则有，即有，有，，由，故，故.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题关键点在对所给条件的变形转化上，对，结合降幂公式与余弦定理，可得，对，左右同乘，可借助数量积公式将左边化为，借助向量的线性运算与正弦定理及二倍角公式可将右边化为，即可得解.12.如图，已知，，为边上的两点，且满足，，则当取最大值时，的面积等于______.【答案】##【解析】【分析】由题设足，考虑三角形的面积之比，将其化简得，借助于余弦定理和基本不等式求得的最大值和此时的三角形边长，由面积公式即可求得.【详解】如图，不妨设,分别记的面积为,则①②由①，②两式左右分别相乘，可得：,故得：.设，在中，由余弦定理，，因，则，当且仅当时，等号成立，此时，因，故，取得最大值，此时面积等于.故答案为：.【点睛】思路点睛：对条件等式的转化，本题中，注意到有角的相等和边长乘积的比，结合图形容易看出几个等高的三角形，故考虑从面积的比入手探究，即得关键性结论，之后易于想到余弦定理和基本不等式求出边长和角即得.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝）书中提到如图所示的一块“环田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形的圆心角大小为5（单位：弧度），则“该环田”的面积为（）A.600平方步 B.640平方步C.660平方步 D.700平方步【答案】C【解析】【分析】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，根据中周九十五步，外周一百二十五步，列关系式即可.【详解】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，,解得：，则“该环田”的面积为平方步.故选：C14.已知函数，若在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据已知条件化为，利用换元法化为，结合正弦函数的单调性即可确定实数的取值范围.【详解】，令，则，因为，所以；又因为在区间上是单调函数，则在区间上是单调函数，所以，即，解得.故选：C15.在中，角所对的边分别为，且，设的面积为，若，则此三角形的形状为（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】首先由三角形面积公式数量积定义得，结合化简得，即，由此即可判断.【详解】因为，所以，解得，又，所以，因为，所以，所以，所以，即，又，所以此三角形的形状为等边三角形.故选：C.16.已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据已知由向量垂直可得的模，再由不等式恒成立，结合图象可得，从而可得，接下来方法一，直接对进行平方化简，由二次函数最值可解；方法二，由三点共线基本定理，结合三角形面积公式和余弦定理可解.【详解】和相互垂直，则，则，结合图象，，则，因为恒成立，则，即，则，法（一）：对称轴时：，即法（二）：，因为，所以向量的终点共线（起点重合），则的面积，，所以.故选:．【点睛】关键点点睛：数形结合发现，，则，因为恒成立，则.三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.已知角的终边经过点.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函数定义得，进一步结合诱导公式化简求值即可；（2）由商数关系化成关于的齐次式即可求解.【小问1详解】由条件知，；【小问2详解】.18.已知向量满足．（1）求的值；（2）求向量与的夹角的余弦值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的定义求解即可；（2）根据平面向量的夹角和模长公式求解即可.【小问1详解】因为，，所以.【小问2详解】所以.19.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为100m，转盘直径为90m，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，转一周需要30min．

（1）求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；（2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值．【答案】（1），.（2）【解析】【分析】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心Q为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，座舱转动的角速度约为，计算得到答案.（2）计算，，相减得到，计算最值得到答案.【小问1详解】如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心Q为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，设时，游客甲位于点，以OP为终边的角为；根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度约为，由题意可得，.【小问2详解】如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则.经过后甲距离地面的高度为，点B相对于点A始终落后，此时乙距离地面的高度为.则甲、乙距离地面的高度差，利用，可得，.当或，即或（舍去）时，h的最大值为所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为20.将函数的图像进行如下变换：先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到函数的图像（1）求的最小正周期及单调增区间（2）当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围（3）若函数在区间内恰有2022个零点，求的所有可能取值【答案】（1），；（2）（3）2022或2023或1348【解析】【分析】（1）由三角恒等变换化简即可得到函数解析式，再由正弦型函数的单调性，即可得到结果；（2）根据题意，结合正弦型函数的图像，即可得到结果；（3）根据题意，由换元法可得，转化为二次函数零点问题，即可求解.【小问1详解】，则由题意可得函数的解析式为，令，，则最小正周期为，单调递增区间为，.【小问2详解】，则，若方程有两个不等的实根，结合函数图像可得小问3详解】设，则函数等价为由，得有两个不等的实数根当时，，此时在上恰有3个零点当时，此时在上恰有2个零点或或2023综上所述，的所有可能取值为2022或2023或134821.对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”．（1）若集合，，求集合相对的“余弦方差”；（2）求证：集合，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值；（3）若集合，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、．【答案】（1）（2）证明见解析，（3），或，【解析】【分析】（1）根据余弦方差的定义代入即可求解，（2）根据余弦差定义可得化简分子，根据和差角公式以及同角平方关系即可求解，（3）根据余弦