新高一数学暑假检测卷（教师版）-2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)

新高一数学暑期检测卷（满分：150分限时：120分钟范围：人教A版必修第一册全部内容）第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】交集的概念及运算【分析】根据交集含义即可得到答案.【详解】根据交集含义得.故选：B.2．不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】解不含参数的一元二次不等式【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】不等式等价于，解得或所以原不等式的解集为，故选：C.3．已知函数则（

）A． B． C．1 D．4【答案】B【知识点】求分段函数解析式或求函数的值【分析】根据自变量的值选择对应的函数关系求值即可.【详解】∵时，，∴，又∵时，，∴，∴.故选：B4．已知角的始边为x轴的非负半轴，终边经过点，则的值为（

）A． B．1 C． D．【答案】C【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值【分析】根据根据三角函数定义计算即可．【详解】因为角的始边为x轴的非负半轴，终边经过点，所以.故选：C.5．函数的值域是（）A． B．C． D．【答案】D【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域【分析】利用换元法设，可得，结合二次函数性质可得值域.【详解】设，，则，所以，所以当时，取最大值为，即函数的值域为.故选：D.6．已知函数，若函数的图象与函数的图象有3个交点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围【分析】作出的图象，根据图形即可得出结果.【详解】当时，，图象为开口向上的抛物线，对称轴为，顶点坐标为，作的图象如下，

由图可知，函数图象有3个交点，则，即实数k的取值范围为.故选：D．7．要得到函数的图象，只要将函数的图象（

）A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】D【知识点】诱导公式五、六、描述正（余）弦型函数图象的变换过程【分析】根据三角函数图象平移变换法则判断，注意化为同名函数．【详解】，所以将函数的图象向右平移个单位即得函数的图象，故选：D．8．若函数在区间上是减函数，则a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】对数型复合函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值或范围、由对数（型）的单调性求参数【分析】利用二次函数、对数函数的单调性及复合函数的单调性，结合对数函数定义域列式求解即得.【详解】设，则函数由，复合而成，而是减函数，则在上单调递增，从而，解得，又当时，恒成立，则当时，，解得，所以a的取值范围为．故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知，那么的值可以是（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】CD【知识点】基本不等式求和的最小值【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】因为，所以，则，当且仅当，即时取等号，所以.故选：CD.10．若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有②对于定义域上任意，当时，恒有，则称函数为“函数”，下列函数中的“函数”（

）A． B．C． D．【答案】BC【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性【分析】根据函数的单调性、奇偶性的知识来确定正确答案.【详解】由于，所以是奇函数；由于对于定义域上任意，当时，恒有，所以在上单调递增.A选项，是偶函数，不符合题意.B选项，是奇函数，且在上单调递增，符合题意.C选项，，所以是奇函数，且在上单调递增，符合题意.D选项，是偶函数，不符合题意.故选：BC11．已知函数，则（

）A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称C．的图象关于点中心对称D．在上单调递增【答案】ABD【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性【分析】根据三角恒等变换的化简计算可得，结合正弦函数的图象与性质依次判断选项即可.【详解】.A：，所以的最小正周期为，故A正确；B：令，得，当时，，所以为函数的一条对称轴，故B正确；C：令，得，当时，，所以为函数的一个对称中心，故C错误；D：令，得，当时，，即的单调递增区间为，而为的真子集，故D正确.故选：ABD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知是R上的奇函数，且时，，则时，．【答案】【知识点】由奇偶性求函数解析式【分析】设，，代入求出，由奇函数的性质即可求出.【详解】设，，则：；∴．故答案为：．13．已知角为第二象限角，，角为第四象限角，，则的值为．【答案】【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正切公式化简、求值【分析】结合角、所在象限与同角三角函数基本关系可得，，再利用两角和的正切公式计算即可得.【详解】由角为第二象限角，则，由角为第四象限角，则，故，，则.故答案为：.14．已知函数，方程有四个不同根，，，，且满足，则的最大值为．【答案】【知识点】根据函数零点的个数求参数范围【分析】作出函数的图象，可得出当直线与函数的图象有四个交点时的各根取值范围，求出实数t的取值范围，将代数式转化为关于t的函数，利用双勾函数的基本性质求出的取值范围.【详解】作出函数图像可得，从而得，且，从而得，原式，令，，，令，则，，在单调递增，，最大值为．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算、对数的运算性质的应用【分析】（1）借助指数幂的运算法则计算即可得；（2）借助对数运算法则计算即可得.【详解】（1）；（2）.16．（15分）已知全集，集合，．(1)当时，求；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)(2)【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、交并补混合运算【分析】（1）求出集合，当时，写出集合，利用补集和并集的定义可得出集合；（2）分析可知，，且，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】（1）解：因为，当时，，则或x≥4，此时，.（2）解：因为，则，显然，则，解得，因此，实数的取值范围是.17．（15分）已知函数的表达式为.(1)求函数的单调增区间；(2)求方程在上的解.【答案】(1)(2)或.【知识点】已知三角函数值求角、二倍角的余弦公式、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性【分析】（1）利用二倍角公式及差角公式、辅助角公式化简函数式，再利用三角函数的性质计算即可；（2）利用（1）求出的解析式结合三角函数的性质直接解方程即可.【详解】（1）由，令，解之得，即该函数的单调增区间为；（2）由（1）知：，所以若，即，因为，所以，则满足题意的或，即或.18．（17分）近年来，六盘水市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点C在圆弧MN上，点D在边ON上，且，米，设．

(1)求扇形OMN的面积；(2)求矩形ABCD的面积；(3)当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．【答案】(1)平方米(2)，(3)；【知识点】扇形面积的有关计算、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角函数在生活中的应用、辅助角公式【分析】（1）由扇形面积公式可得；（2）利用直角三角形利用半径与分别表示出，进而可得矩形面积表达式；（3）利用辅助角公式将化简变形，结合角的范围求最大值可得.【详解】（1）由题意，，扇形半径即米，则扇形OMN的面积为平方米.（2）在中，，，在中，，则，∴则停车场面积，.所以，其中．（3），其中．由，则当时，即时，.当时，取得最大值，最大值为.19．（17分）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．(1)求证：函数是“局部奇函数”；(2)若函数是定义域为上的“局部奇函数”，求实数取值范围；(3)类比“局部奇函数”，写出“局部偶函数”的定义，并由此判断函数是这两种函数吗？说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)(3)对于函数，若在定义域内存在实数，满足，称为“局部偶函数”；是“局部偶函数”，不是“局部奇函数”，理由见解析【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、函数新定义【分析】（1）根据题意分析方程，即的解的情况，即可得证；（2）根据题意分析可得在上有解，根据条件得，，从而转化成在上有解，或在上有解，即可求解；（3）由“局部奇函数”的定义类比可得“局部偶函数”的定义，再分析，的解得情况，即可得答案.【详解】（1）因为，所以，若，即，整理可得：，解得：，所以方程有解，则函数是“局部奇函数”.（2）因为函数是定义域为上的“局部奇函数”，则在上有解，当时，，，当时，，，又时，，所以，又，易知，，即不是的解，当时，由，得到，当且仅当时取等号，所以，当时，由，得到，当且仅当时取等号，综上，实数取值范围.（3）根据题意“局部偶函