2026版三维设计一轮高中总复习数学课件-第五节　复数

第五节复数高中总复习·数学课标要求1.

通过方程的解，认识复数.2.

理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3.

掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.目录CONTENTS知识·逐点夯实01.考点·分类突破02.课时·跟踪检测03.PART01知识·逐点夯实必备知识|课前自修

1.

复数的有关概念（1）复数的概念：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚

数单位，a，b分别是它的

和

.当且仅当b＝0时，a＋bi

为实数；当b≠0时，a＋bi为虚数；当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数；（2）复数相等：a＋bi＝c＋di⇔

（a，b，c，

d∈R）；实部

虚部

a＝c且b＝d

（3）共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔

（a，b，

c，d∈R）；

a＝c，b＝－d

2.

复数的几何意义（1）复数z＝a＋bi

复平面内的点Z（a，b）；

提醒复数z＝a＋bi（a，b∈R）在复平面内对应点的坐标为（a，

b），而不是（a，bi）.（1）复数的加、减、乘、除运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，

b，c，d∈R）.3.

复数的运算（3）复数乘法的运算律：设z1，z2，z3∈C，则复数乘法满足以下运算

律：①交换律：z1z2＝

⁠；②结合律：（z1z2）z3＝

⁠；③乘法对加法的分配律：z1（z2＋z3）＝

⁠.z2z1

z1（z2z3）

z1z2＋z1z3

（2）复数加法的运算律：设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算

律：①交换律：z1＋z2＝

⁠；②结合律：（z1＋z2）＋z3＝

⁠.z2＋z1

z1＋（z2＋z3）

2.

i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0

（n∈N*）.

4.

设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）在复平面内对应的

点分别是A（a，b），B（c，d）则

（2）设复数z对应的点是Z，①若｜z－z1｜＝r，r＞0，则点Z的轨迹为圆；②若r1＜｜z－z1｜＜r2（0＜r1＜r2），则点Z的轨迹为圆环，但不包括

边界；③若｜z－z1｜＝｜z－z2｜，则点Z的轨迹为线段AB的垂直平分线；④若｜z－z1｜＋｜z－z2｜＝常数，则当常数大于｜AB｜时，点Z的轨迹

为椭圆；当常数等于｜AB｜时，点Z的轨迹为线段；当常数小于｜AB｜

时，点Z的轨迹不存在；⑤若｜z－z1｜－｜z－z2｜＝常数，则当常数大于｜AB｜时，点Z的轨迹

不存在；当常数等于｜AB｜时，点Z的轨迹为一条射线；当常数小于｜

AB｜时，点Z的轨迹为双曲线的一支.

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）若a∈C，则a2≥0.

（

×

）（2）已知z＝a＋bi（a，b∈R），当a＝0时，复数z为纯虚数.

（

×

）（3）复数z＝a＋bi（a，b∈R）的虚部为bi.

（

×

）（4）方程x2＋x＋1＝0没有解.

（

×

）××××

A.2－2iB.2＋iC.

－5＋

iD.

＋

i

√

A.1－2iB.

－1＋2iC.3＋4iD.

－3－4i

√

A.1＋iB.1－iC.

－1＋iD.

－1－i

√5.

（人A必修二P81习题7题改编）已知2i－3是关于x的方程2x2＋px＋q＝

0的一个根，则实数p，q的值分别为

，

⁠.

12

26

PART02考点·分类突破精选考点|课堂演练

复数的有关概念（基础自学过关）1.

若复数（m2－5m＋6）＋（m2－3m）i＞0，则实数m＝（

）A.0B.2C.3D.0或2或3

√2.

（2025·湖南师大附中模拟）已知z是虚数，z2＋2z是实数，则z的

（

）A.

实部为1B.

实部为－1C.

虚部为1D.

虚部为－1解析：

设虚数z＝a＋bi（a，b∈R，b≠0），则z2＋2z＝（a＋

bi）2＋2（a＋bi）＝a2－b2＋2a＋2b（a＋1）i，由z2＋2z是实数，得

2b（a＋1）＝0，得a＝－1，故选B.

√3.

（2024·徐州模拟）若纯虚数z满足（z＋m）i＝2－i（其中i为虚数单

位，m为实数），则m＝（

）A.

－2B.

－1C.1D.2解析：

由题意可设z＝bi（b≠0），则（z＋m）i＝（bi＋m）i＝－

b＋mi＝2－i，所以m＝－1，故选B.

√

练后悟通解决复数概念问题的两个注意事项复数的四则运算（基础自学过关）

A.

－

－iB.

－

＋iC.

－iD.

＋i

√

A.

－1－iB.

－1＋iC.1－iD.1＋i

√

A.1B.iC.

－1D.

－i

√

A.iB.

C.1D.

√

练后悟通复数代数形式运算的策略复数的几何意义（师生共研过关）

（1）若复数（2＋i）·（a－i）（i是虚数单位，a∈R）在复平面内

对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（

C

）A.

（－

，3）B.

（

，2）C.

（－

，2）D.

（

，3）C

解题技法对复数几何意义的再理解

（2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、

向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解

决更加直观.

A.1＋

iB.2C.

－1－

iD.

－1＋

i

√2.

设复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，｜z1｜＝2，z2＝3i，

则Z1，Z2两点之间距离的最大值为（

）A.1B.3C.5D.7√

复数与方程（师生共研过关）

已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0（a，b∈R）的一个根.（1）求实数a，b的值；

（2）结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.解：

由（1）知方程为x2＋2x＋2＝0.设另一个根为x2，由根与系数的关系，得－1＋i＋x2＝－2，∴x2＝－1－i.把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，则左边＝（－1－i）2＋2（－1－i）＋2＝0＝右边，∴x2＝－1－i是方程的另一个根.解题技法1.

对实系数一元二次方程来说，求根公式、根与系数的关系、判别式的功

能没有变化，仍然适用.2.

对复系数（至少有一个系数为虚数）方程，判别式判断根的功能失去

了，其他仍适用.

〔多选〕在复数范围内关于x的实系数一元二次方程x2＋px＋2＝0的两

根为x1，x2，其中x1＝1＋i，则（

）A.

p＝2B.

x2＝1－iC.

x1·

＝－2iD.

＝i√√

PART03课时·跟踪检测关键能力|课后练习

A.10iB.2iC.10D.2

12345678910111213141516171819202022232425√

A.

－iB.iC.

－iD.

＋i

√3.

已知复数z＝（a2－4）＋（a－3）i（a∈R），则“a＝2”是“z为纯

虚数”的（

）A.

充分不必要条件B.

必要不充分条件C.

充要条件D.

既不充分也不必要条件

√

A.1－3iB.1＋3iC.

－1＋3iD.

－1－3i

√5.

复数z满足｜z－（5＋5i）｜＝2，则z在复平面内对应的点所在的象限

为（

）A.

第一象限B.

第二象限C.

第三象限D.

第四象限解析：

设复数z＝a＋bi（a，b∈R），则z－（5＋5i）＝a－5＋（b

－5）i，∵｜z－（5＋5i）｜＝2，∴（a－5）2＋（b－5）2＝4，∴复数

z在复平面内对应的点Z在以（5，5）为圆心，2为半径的圆上，故z在复

平面内对应的点所在的象限为第一象限.故选A.

√

A.1B.2C.4D.5√

A.

｜

｜＝

B.

复数z在复平面内对应的点位于第四象限C.

i－

＜0D.

z＋

为纯虚数√√√

－i

9.

已知复数z＝（a＋cos

θ）＋（2a－sin

θ）i的模不超过2.（1）若对于一切θ∈R满足上述条件，求实数a的取值范围；

（2）若存在θ∈R满足上述条件，求实数a的取值范围.

10.

已知复数数列{an}满足a1＝2i，an＋1＝ian＋i＋1，n∈N*，i为虚数单

位，则a10＝（

）A.2iB.

－1＋iC.1＋iD.

－2i解析：

因为a1＝2i，an＋1＝ian＋i＋1，所以a2＝2i·i＋i＋1＝－1＋i，a3

＝（－1＋i）i＋i＋1＝0，a4＝0·i＋i＋1＝1＋i，a5＝（1＋i）i＋i＋1＝

2i，…，所以复数数列{an}是以4为周期的周期数列，所以a10＝a4×2＋2＝

a2＝－1＋i，故选B.

√11.

（2024·南京模拟）若复数z满足｜z－1｜≤2，则复数z在复平面内对

应点组成图形的面积为（

）A.πB.2πC.3πD.4π√

12.

〔多选〕（2025·温州期末）设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中

正确的是（

）A.