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文档简介
第三节函数的奇偶性、周期性与对称性1.结合具体函数，了解函数奇偶性、周期性的概念和几何意义.2.能够通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式及推论.3.会依据函数的性质进行简单的应用.目录CONTENTS123知识体系构建微专题2抽象函数的性质及应用考点分类突破4课时跟踪检测PART1知识体系构建必备知识系统梳理基础重落实课前自修
1.已知
f
（
x
）＝
ax
2＋
bx
是定义在[
a
－1，2
a
]上的偶函数，则
a
＋
b
＝（
）A.－
B.
C.
D.
－
A.
B.
C.－
D.
－
3.（多选）（2024·济宁模拟）给出下列函数，其中是奇函数的为
（
）A.
f
（
x
）＝
x
4B.
f
（
x
）＝
x
5C.
f
（
x
）＝
x
＋
D.
f
（
x
）＝
4.若
f
（
x
）是定义在R上的周期为2的函数，当
x
∈[0，2）时，
f
（
x
）＝2－
x
，则
f
（2025）＝
.
1.函数奇偶性常用结论（1）如果函数
f
（
x
）是奇函数且在
x
＝0处有定义，则一定有
f
（0）＝0；如果函数
f
（
x
）是偶函数，那么
f
（
x
）＝
f
（｜
x
｜）；（2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两
个对称的区间上具有相反的单调性.
3.函数图象的对称性（1）若函数
y
＝
f
（
x
＋
a
）是偶函数，则函数
y
＝
f
（
x
）的图象关
于直线
x
＝
a
对称；（2）若函数
y
＝
f
（
x
＋
b
）是奇函数，则函数
y
＝
f
（
x
）的图象关
于点（
b
，0）中心对称.
1.已知函数
f
（
x
）＝
kx
＋
b
（
k
≠0），则“
f
（0）＝0”是“函数
f
（
x
）为奇函数”的（
）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：
由
f
（0）＝0，所以
b
＝0，函数
f
（
x
）为奇函数；因为
函数
f
（
x
）为奇函数，且
f
（
x
）＝
kx
＋
b
（
k
≠0）的定义域为R，
由结论1知，
f
（0）＝0.所以“
f
（0）＝0”是“函数
f
（
x
）为奇函
数”的充要条件.故选C.
A.
b
＜
a
＜
c
B.
c
＜
b
＜
a
C.
b
＜
c
＜
a
D.
a
＜
b
＜
c
解析：由结论2知
T
＝4，
f
（9）＝
f
（1）＝1.1
PART2考点分类突破精选考点典例研析技法重悟通课堂演练
函数的奇偶性
A.
f
（
x
－1）－1B.
f
（
x
－1）＋1C.
f
（
x
＋1）－1D.
f
（
x
＋1）＋1
（2）（多选）下列函数中为偶函数的是（
）A.
y
＝
x
sin
x
B.
y
＝
x
ln
x
C.
y
＝e
x
－1D.
y
＝
x
ln（
－
x
）
解题技法函数奇偶性的判断方法（1）定义法（2）图象法（3）性质法：设
f
（
x
），
g
（
x
）的定义域分别是
D
1，
D
2，那么在
它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，
偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.提醒
对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在
x
0使
f
（－
x
0）＝－
f
（
x
0），不能判定函数
f
（
x
）是奇函数.
A.eB.
－e
C
.
D.
－
A.－1B.0C.
D.1
（3）设
f
（
x
）为奇函数，且当
x
≥0时，
f
（
x
）＝e
x
－1，则当
x
＜0
时，
f
（
x
）＝
.－e－
x
＋1
解析：当
x
＜0时，－
x
＞0，∵当
x
≥0时，
f
（
x
）＝e
x
－1，∴
f
（－
x
）＝e－
x
－1.又∵
f
（
x
）为奇函数，∴
f
（
x
）＝－
f
（－
x
）＝－e－
x
＋1.解题技法函数奇偶性的应用类型及解题策略（1）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利
用奇偶性求出
f
（
x
）的解析式，或充分利用奇偶性构造关于
f
（
x
）的方程（组），从而得到
f
（
x
）的解析式；（2）求函数值：将待求函数值利用函数的奇偶性转化到已知区间上
的函数值求解；（3）求参数值：利用待定系数法求解，根据
f
（
x
）±
f
（－
x
）＝0得
到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性，进而得出参数的
值.对于在
x
＝0处有定义的奇函数
f
（
x
），可考虑列等式
f
（0）
＝0求解.
1.若
q
（
x
），
g
（
x
）均为奇函数，
f
（
x
）＝
aq
（
x
）＋
bg
（
x
）＋
1在（0，＋∞）上有最大值5，则在（－∞，0）上，
f
（
x
）有
（
）A.最小值－5B.
最小值－2C.最小值－3D.
最大值－5解析：
设φ（
x
）＝
aq
（
x
）＋
bg
（
x
），∵
q
（
x
），
g
（
x
）
均为奇函数，∴φ（－
x
）＝
aq
（－
x
）＋
bg
（－
x
）＝－
aq
（
x
）
－
bg
（
x
）＝－φ（
x
），∴φ（
x
）为奇函数.∵在（0，＋∞）上，
f
（
x
）＝φ（
x
）＋1有最大值为5，∴φ（
x
）在（0，＋∞）上有最
大值为4，则φ（
x
）在（－∞，0）上有最小值为－4，∴
f
（
x
）＝
φ（
x
）＋1在（－∞，0）上有最小值为－4＋1＝－3.2.（2021·新高考Ⅰ卷13题）已知函数
f
（
x
）＝
x
3（
a
·2
x
－2－
x
）是偶
函数，则
a
＝
.解析：法一
因为
f
（
x
）＝
x
3（
a
·2
x
－2－
x
）的定义域为R，且是
偶函数，所以
f
（－
x
）＝
f
（
x
）对任意的
x
∈R恒成立，所以（－
x
）3（
a
·2－
x
－2
x
）＝
x
3（
a
·2
x
－2－
x
）对任意的
x
∈R恒成立，所
以
x
3（
a
－1）（2
x
＋2－
x
）＝0对任意的
x
∈R恒成立，所以
a
＝1.1
函数的周期性与对称性【例3】
（1）已知
f
（
x
）是定义域为（－∞，＋∞）的奇函数，且
满足
f
（1－
x
）＝
f
（1＋
x
）.若
f
（1）＝2，则
f
（1）＋
f
（2）＋
f
（3）＋…＋
f
（50）＝（
）A.－50B.0
C
.
2D.50解析：法一
∵
f
（
x
）在R上是奇函数，且
f
（1－
x
）＝
f
（1＋
x
）.∴
f
（
x
＋1）＝－
f
（
x
－1），即
f
（
x
＋2）＝－
f
（
x
）.因此
f
（
x
＋4）＝
f
（
x
），则函数
f
（
x
）是周期为4的函
数，由于
f
（1－
x
）＝
f
（1＋
x
），
f
（1）＝2，故令
x
＝1，得
f
（0）＝
f
（2）＝0，令
x
＝2，得
f
（3）＝
f
（－1）＝－
f
（1）
＝－2，令
x
＝3，得
f
（4）＝
f
（－2）＝－
f
（2）＝0，故
f
（1）＋
f
（2）＋
f
（3）＋
f
（4）＝2＋0－2＋0＝0，∴
f
（1）
＋
f
（2）＋
f
（3）＋…＋
f
（50）＝12×0＋
f
（1）＋
f
（2）＝2.
A.
f
（
x
）的图象关于
y
轴对称B.
f
（
x
）的图象关于原点对称C.
f
（
x
）的图象关于直线
x
＝
对称D.
f
（
x
）的图象关于点（π，0）对称
解题技法1.求解与函数周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函
数的周期，将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，
转化到已知区间上，进而解决问题.2.求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定
义，结合函数图象，求出函数的对称轴或对称中心进而解决求值或
参数问题.
1.（2024·金华调研）定义在R上的函数
f
（
x
）满足
f
（
x
＋6）＝
f
（
x
），当－3≤
x
＜－1时，
f
（
x
）＝－（
x
＋2）2，当－1≤
x
＜3
时，
f
（
x
）＝
x
，则
f
（1）＋
f
（2）＋
f
（3）＋…＋
f
（2025）
＝
.339
解析：因为
f
（
x
＋6）＝
f
（
x
），所以
f
（
x
）的周期
T
＝6，于是
f
（1）＝1，
f
（2）＝2，
f
（3）＝
f
（－3）＝－（－3＋2）2＝－
1，
f
（4）＝
f
（－2）＝－（－2＋2）2＝0，
f
（5）＝
f
（－1）＝
－1，
f
（6）＝
f
（0）＝0，所以
f
（1）＋
f
（2）＋
f
（3）＋
f
（4）
＋
f
（5）＋
f
（6）＝1，而2025＝6×337＋3，所以
f
（1）＋
f
（2）
＋
f
（3）＋…＋
f
（2025）＝337×1＋1＋2－1＝339.
12
函数性质的综合应用考向1
函数的单调性与奇偶性【例4】
（2024·石家庄模拟）已知函数
f
（
x
＋2）是定义域为R的偶
函数，若
f
（
x
）在（2，＋∞）上单调递减，则不等式
f
（lnx
）＜
f
（1）的解集是（
）A.（0，1）∪（3，＋∞）B.
（1，3）C.（0，e）∪（e3，＋∞）D.
（e，e3）解析：
因为
f
（
x
＋2）的图象向右平移2个单位长度得到
f
（
x
）的
图象，且
f
（
x
＋2）的图象关于
y
轴对称，所以
f
（
x
）的图象关于直
线
x
＝2对称.由
f
（
x
）在（2，＋∞）上单调递减可得
f
（
x
）在（－
∞，2）上单调递增，由
f
（lnx
）＜
f
（1），所以lnx
＜1或lnx
＞3，
解得0＜
x
＜e或
x
＞e3.解题技法综合应用奇偶性与单调性的解题技巧（1）比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区
间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再
利用函数的单调性比较大小；（2）对于抽象函数不等式的求解，应变形为
f
（
x
1）＞
f
（
x
2）的形
式，再结合单调性，脱去“
f
”变成常规不等式，转化为
x
1＜
x
2
（或
x
1＞
x
2）求解.考向2
函数的奇偶性与周期性【例5】
定义在R上的奇函数
f
（
x
）满足
f
（2－
x
）＝
f
（
x
），且
当－1≤
x
＜0时，
f
（
x
）＝2
x
－1，则
f
（log220）＝（
）A.
B.
C.－
D.
－
解题技法综合应用奇偶性与周期性的解题技巧（1）根据已知条件及相关函数的奇偶性推得函数的周期；（2）利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的
函数值，直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的
函数值相联系，必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行
转化；（3）代入已知的解析式求解即得要求的函数值.考向3
函数的对称性与周期性【例6】
（多选）已知
f
（
x
）的定义域为R，其函数图象关于直线
x
＝－3对称，且
f
（
x
＋3）＝
f
（
x
－3），若当
x
∈[0，3]时，
f
（
x
）
＝4
x
＋2
x
－11，则下列结论正确的是（
）A.
f
（
x
）为偶函数B.
f
（
x
）在[－6，－3]上单调递减C.
f
（
x
）关于
x
＝3对称D.
f
（100）＝9解析：
f
（
x
）的图象关于
x
＝－3对称，则
f
（－
x
）＝
f
（
x
－
6），又
f
（
x
＋3）＝
f
（
x
－3），则
f
（
x
）的周期
T
＝6，∴
f
（－
x
）＝
f
（
x
－6）＝
f
（
x
），∴
f
（
x
）为偶函数，故A正确；当
x
∈[0，3]时，
f
（
x
）＝4
x
＋2
x
－11单调递增，∵
T
＝6，故
f
（
x
）在
[－6，－3]上也单调递增，故B不正确；
f
（
x
）关于
x
＝－3对称且
T
＝6，∴
f
（
x
）关于
x
＝3对称，故C正确；
f
（100）＝
f
（16×6＋4）
＝
f
（4）＝
f
（－2）＝
f
（2）＝9，故D正确.解题技法综合应用对称性与周期性的解题技巧
函数
f
（
x
）满足的关系
f
（
a
＋
x
）＝
f
（
b
－
x
）表明的是函数图
象的对称性，函数
f
（
x
）满足的关系
f
（
a
＋
x
）＝
f
（
b
＋
x
）（
a
≠
b
）表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.
1.（2024·安康中学模拟）
f
（
x
）是定义域为R的偶函数，且在区间
[0，＋∞）上单调递减，则满足
f
（1－
x
）＞
f
（1）的
x
的取值范
围是（
）A.（0，2）B.
（－∞，1）C.（1，＋∞）D.
（－∞，0）∪（0，2）解析：
因为
f
（
x
）是定义域为R的偶函数，所以
f
（－
x
）＝
f
（
x
），又
f
（
x
）在[0，＋∞）上单调递减，所以
f
（
x
）在（－
∞，0）上单调递增，若
f
（1－
x
）＞
f
（1），则｜1－
x
｜＜1，即
－1＜1－
x
＜1，故0＜
x
＜2，故选A.2.（多选）已知函数
f
（
x
）的定义域为R，对任意
x
都有
f
（2＋
x
）
＝
f
（2－
x
），且
f
（－
x
）＝
f
（
x
），则下列结论正确的是
（
）A.
f
（
x
）的图象关于直线
x
＝2对称B.
f
（
x
）的图象关于点（2，0）对称C.
f
（
x
）的周期为4D.
y
＝
f
（
x
＋4）为偶函数解析：
∵
f
（2＋
x
）＝
f
（2－
x
），则
f
（
x
）的图象关于直
线
x
＝2对称，故A正确，B错误；∵函数
f
（
x
）的图象关于直线
x
＝2对称，则
f
（－
x
）＝
f
（
x
＋4），又
f
（－
x
）＝
f
（
x
），∴
f
（
x
＋4）＝
f
（
x
），∴
T
＝4，故C正确；∵
T
＝4且
f
（
x
）为偶函
数，故
y
＝
f
（
x
＋4）为偶函数，故D正确.3.已知奇函数
f
（
x
）的图象关于直线
x
＝3对称，当
x
∈[0，3]时，
f
（
x
）＝－
x
，则
f
（－16）＝
.解析：根据题意，函数
f
（
x
）的图象关于直线
x
＝3对称，则有
f
（
x
）＝
f
（6－
x
），又由函数为奇函数，则
f
（－
x
）＝－
f
（
x
），则
f
（
x
）＝－
f
（－
x
）＝－
f
（6＋
x
）＝
f
（
x
＋12），则
f
（
x
）的最小正周期是12，故
f
（－16）＝
f
（－4）＝－
f
（4）＝
－
f
（2）＝－（－2）＝2.2
PART3微专题2抽象函数的性质及应用抽象函数是高中数学的难点，也是近几年高考试题的热点，抽象函数
与函数的奇偶性、周期性、单调性相结合的题目往往难度较大，综合
性强，本专题就抽象函数的性质及应用予以讲解.一、抽象函数的奇偶性【例1】
（1）（2021·新高考Ⅱ卷8题）已知函数
f
（
x
）的定义域为
R，
f
（
x
＋2）为偶函数，
f
（2
x
＋1）为奇函数，则（
）A.
f
＝0B.
f
（－1）＝0C.
f
（2）＝0D.
f
（4）＝0
解析：
法一（通解）
∵
f
（
x
＋2）是偶函数，则
f
（－
x
＋
2）＝
f
（
x
＋2）.令
x
＝1得
f
（1）＝
f
（3），又∵
f
（2
x
＋1）
是奇函数，则
f
（－2
x
＋1）＝－
f
（2
x
＋1）.令
x
＝0得
f
（1）
＝－
f
（1）可得
f
（1）＝0.令
x
＝1得
f
（－1）＝－
f
（3）＝－
f
（1）＝0.故选B.
选B.（2）已知函数
f
（
x
）满足：
f
（
x
＋
y
）＋
f
（
x
－
y
）＝2
f
（
x
）·
f
（
y
）对任意的实数
x
，
y
恒成立，且
f
（1）≠
f
（2），求证：
f
（
x
）是偶函数.证明：令
x
＝
y
＝0，得
f
（0）＋
f
（0）＝2
f
（0）·
f
（0），∴
f
（0）＝0或
f
（0）＝1.令
y
＝0，若
f
（0）＝0，则
f
（
x
＋0）＋
f
（
x
－0）＝2
f
（
x
）·
f
（0），得
f
（
x
）＝0，与
f
（1）≠
f
（2）矛盾，∴
f
（0）＝1.令
x
＝0，
y
＝
x
，则有
f
（0＋
x
）＋
f
（0－
x
）＝2
f
（0）·
f
（
x
），即
f
（－
x
）＝
f
（
x
），∴
f
（
x
）是偶函数.点评
判断或证明抽象函数的奇偶性，需要利用已知条件找准
方向，巧妙赋值，配凑出
f
（－
x
）与
f
（
x
）的关系，再利用函
数奇偶性的定义加以判断.①奇偶性问题主要是函数的等价关
系，对∀
x
∈
D
，－
x
∈
D
，
f
（
x
）＋
f
（－
x
）＝0⇔
f
（
x
）为
奇函数；
f
（
x
）－
f
（－
x
）＝0⇔
f
（
x
）为偶函数；②常赋值
0，－1，1.
已知定义在R上的函数
f
（
x
），对任意实数
x
有
f
（
x
＋5）＝－
f
（
x
）＋5，若函数
f
（
x
－1）的图象关于直线
x
＝1对称，
f
（－3）＝
2，则
f
（2023）＝（
）A.5B.
－2C.1D.2解析：
由函数
y
＝
f
（
x
－1）的图象关于直线
x
＝1对称可知，函
数
f
（
x
）的图象关于
y
轴对称，故
f
（
x
）为偶函数，又由
f
（
x
＋5）
＝－
f
（
x
）＋5，得
f
（
x
＋5＋5）＝－
f
（
x
＋5）＋5＝－[－
f
（
x
）
＋5]＋5＝
f
（
x
），所以
f
（
x
）是周期为10的偶函数.所以
f
（2023）
＝
f
（3＋202×10）＝
f
（3）＝
f
（－3）＝2，故选D.
A.－3B.
－2C.0D.1解析：
因为
f
（1）＝1，所以在
f
（
x
＋
y
）＋
f
（
x
－
y
）＝
f
（
x
）
f
（
y
）中，令
y
＝1，得
f
（
x
＋1）＋
f
（
x
－1）＝
f
（
x
）·
f
（1），所以
f
（
x
＋1）＋
f
（
x
－1）＝
f
（
x
）
①，所以
f
（
x
＋2）
＋
f
（
x
）＝
f
（
x
＋1）
②.由①②相加，得
f
（
x
＋2）＋
f
（
x
－1）
＝0，故
f
（
x
＋3）＋
f
（
x
）＝0，所以
f
（
x
＋3）＝－
f
（
x
），所以
f
（
x
＋6）＝－
f
（
x
＋3）＝
f
（
x
），所以函数
f
（
x
）的一个周期为6.
在
f
（
x
＋
y
）＋
f
（
x
－
y
）＝
f
（
x
）
f
（
y
）中，令
x
＝1，
y
＝0，得
f
（1）＋
f
（1）＝
f
（1）
f
（0），所以
f
（0）＝2.令
x
＝1，
y
＝1，得
f
（2）＋
f
（0）＝
f
（1）
f
（1），所以
f
（2）＝－1.由
f
（
x
＋3）＝－
f
（
x
），得
f
（3）＝－
f
（0）＝－2，
f
（4）＝－
f
（1）＝－1，
点评
应用抽象函数周期性解题的一般思路：①利用赋值法，结合题
设条件的结构特征，由特殊到一般寻找该函数的普遍规律，即求出该
函数的变化周期；②利用函数的周期性，可将待求区间上的求值、求
零点个数、求解析式等问题转化为已知区间上的相应问题，进而求
解；③求出
f
（
x
）在一个周期内的每一个相关的函数值，再利用周期
性求解.
A.（－1，4）B.
（－2，0）C.（－1，0）D.
（－1，2）
三、抽象函数的对称性【例3】
函数
y
＝
f
（
x
）对任意
x
∈R都有
f
（
x
＋2）＝
f
（－
x
）成
立，且函数
y
＝
f
（
x
－1）的图象关于点（1，0）对称，则
f
（2023）
＋
f
（2024）＋
f
（2025）＝（
）A.0B.1C.2D.3解析：
因为函数
y
＝
f
（
x
－1）的图象关于点（1，0）对称，所以
函数
y
＝
f
（
x
）的图象关于点（0，0）对称，即
f
（－
x
）＝－
f
（
x
），又因为
f
（
x
＋2）＝
f
（－
x
），所以
f
（
x
＋2）＝－
f
（
x
），即
f
（
x
＋4）＝
f
（
x
），所以函数
f
（
x
）的周期为
T
＝4，所
以
f
（2023）＋
f
（2024）＋
f
（2025）＝
f
（－1）＋
f
（0）＋
f
（1）＝－
f
（1）＋
f
（0）＋
f
（1）＝0＋
f
（0）＝0.故选A.
y
＝
f
（
x
）在定义域内恒满足
y
＝
f
（
x
）的图象的对称中心（对
称轴）
f
（
a
＋
x
）＋
f
（
a
－
x
）＝0点（
a
，0）
f
（
a
＋
x
）＋
f
（
b
－
x
）＝0点（
，0）
f
（
a
＋
x
）＋
f
（
b
－
x
）＝
c
点（
，
）
f
（
a
＋
x
）＝
f
（
a
－
x
）直线
x
＝
a
f
（
a
＋
x
）＝
f
（
b
－
x
）直线
x
＝
点评
判断抽象函数对称性的常用结论（表中
a
，
b
，
c
为常数）
设函数
y
＝
f
（
x
）定义在R上，则函数
y
＝
f
（
x
－1）与函数
y
＝
f
（1－
x
）的图象关于（
）A.直线
x
＝0对称B.
直线
y
＝0对称C.直线
x
＝1对称D.
直线
y
＝1对称解析：
令
g
1（
x
）＝
f
（
x
－1），
g
2（
x
）＝
f
（1－
x
）.因为
f
（1
－
x
）＝
f
[（2－
x
）－1]，即
g
2（
x
）＝
g
1（2－
x
），所以
g
1（
x
）
与
g
2（
x
）的图象关于直线
x
＝1对称，故选C.
点评
（1）解决抽象函数问题时，要紧扣定义及题设条件的结
构表达式，依据一个函数关系式中的变量对某个范围内的一切
值都成立，则对该范围内的特殊值必然成立这一关键思想赋予
某些特殊值（如0，1，－1等），由特殊到一般寻找规律，使问
题由抽象到具体，由复杂到简单；（2）充分利用题设中的条件
等式，使其变形为满足函数某些性质的定义表达式，从而再利
用这些性质转化求解.
设函数
f
（
x
）的定义域为R，满足条件：存在
x
1≠
x
2，使得
f
（
x
1）≠
f
（
x
2），对任意
x
和
y
，有
f
（
x
＋
y
）＝
f
（
x
）·
f
（
y
）.（1）求
f
（0）；解：将
y
＝0代入
f
（
x
＋
y
）＝
f
（
x
）·
f
（
y
），得
f
（
x
）＝
f
（
x
）·
f
（0），于是有
f
（
x
）[1－
f
（0）]＝0.若
f
（
x
）＝0，则对任意
x
1≠
x
2，有
f
（
x
1）＝
f
（
x
2）＝0，这
与已知题设矛盾，所以
f
（
x
）≠0，从而
f
（0）＝1.（2）对任意
x
∈R，判断
f
（
x
）值的正负.解：设
x
＝
y
≠0，则
f
（2
x
）＝
f
（
x
）·
f
（
x
）＝[
f（
x
）]2≥0，又由（1）知
f
（
x
）≠0，所以
f
（2
x
）＞0，由
x
为任意实数，知
f
（
x
）＞0.故对任意
x
∈R，都有
f
（
x
）＞0.PART4课时跟踪检测关键能力分层施练素养重提升课后练习
123456789101112131415161.下列函数中为偶函数的是（
）A.
y
＝
x
2sin
x
B.
y
＝
x
2cos
x
C.
y
＝｜ln
x
｜D.
y
＝2－
x
解析：
根据偶函数的定义知偶函数满足
f
（－
x
）＝
f
（
x
）且定
义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义
域为（0，＋∞），不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶
函数.
A.－1B.1C.0D.
±1解析：
∵函数
f
（
x
）是奇函数，∴
f
（－
x
）＝－
f
（
x
），则
有
f
（－1）＝－
f
（1），即1＋
a
＝－
a
－1，即2
a
＝－2，得
a
＝－
1（符合题意）.故选A.123456789101112131415163.（2024·临泉第一中学一模）若
f
（
x
）是定义在R上的奇函数，且
f
（
x
＋2）＝－
f
（
x
），则
f
（8）＝（
）A.1B.2C.0D.
－1解析：
根据题意，若
f
（
x
）是定义在R上的奇函数，则
f
（0）
＝0，又由
f
（
x
＋2）＝－
f
（
x
），则有
f
（
x
＋4）＝－
f
（
x
＋2）
＝
f
（
x
），则
f
（8）＝
f
（4）＝
f
（0）＝0，故选C.123456789101112131415164.（2024·九江一模）设函数
f
（
x
）＝
ax
3－
x
－3＋
a
，若函数
f
（
x
－
1）的图象关于点（1，0）对称，则
a
＝（
）A.－1B.0C.1D.2解析：
因为函数
f
（
x
－1）的图象关于点（1，0）对称，故函
数
f
（
x
）的图象关于点（0，0）对称，即
f
（
x
）为奇函数，
f
（0）＝0，故
a
＝0.故选B.123456789101112131415165.（多选）（2024·汕头一模）已知
f
（
x
）为奇函数，且
f
（
x
＋1）为
偶函数，若
f
（1）＝0，则（
）A.
f
（3）＝0B.
f
（3）＝
f
（5）C.
f
（
x
＋3）＝
f
（
x
－1）D.
f
（
x
＋2）＋
f
（
x
＋1）＝112345678910111213141516解析：
因为函数
f
（
x
＋1）为偶函数，所以
f
（
x
＋1）＝
f
（1－
x
），又因为
f
（
x
）是R上的奇函数，所以
f
（
x
＋1）＝
f
（1
－
x
）＝－
f
（
x
－1），所以
f
（
x
＋2）＝－
f
（
x
），
f
（
x
＋4）＝
－
f
（
x
＋2）＝
f
（
x
），所以
f
（
x
）的周期为4，又因为
f
（1）＝
0，
f
（3）＝
f
（－1）＝－
f
（1）＝0，
f
（5）＝
f
（1）＝0，故
A、B正确；
f
（
x
＋3）＝
f
（
x
＋3－4）＝
f
（
x
－1），所以C正
确；
f
（2）＝
f
（2－4）＝
f
（－2），同时根据奇函数的性质得
f
（2）＝－
f
（－2），所以
f
（2），
f
（－2）既相等又互为相反
数，故
f
（2）＝0，所以
f
（2）＋
f
（1）＝0≠1，即
f
（
x
＋2）＋
f
（
x
＋1）＝1对于
x
＝0不成立，故D不正确.12345678910111213141516
A.
f
（
x
）有两个零点B.
f
（－1）＞－1C.
f
（－3）＜1D.
f
（
）＞
f
（2）12345678910111213141516
12345678910111213141516
123456789101112131415167.已知函数
f
（
x
），
g
（
x
）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，
f
（
x
）＋
g
（
x
）＝2·3
x
，则函数
f
（
x
）＝
.
3
x
＋3－
x
123456789101112131415168.设
f
（
x
）是定义在R上的奇函数，且对任意实数
x
，恒有
f
（
x
＋
2）＝－
f
（
x
）.当
x
∈[0，2]时，
f
（
x
）＝2
x
－
x
2.（1）求证：
f
（
x
）是周期函数；证明：∵
f
（
x
＋2）＝－
f
（
x
），∴
f
（
x
＋4）＝－
f
（
x
＋2）＝
f
（
x
）.∴
f
（
x
）是周期为4的周期函数.12345678910111213141516（2）当
x
∈[2，4]时，求
f
（
x
）的解析式.解：∵
x
∈[2，4]，∴－
x
∈[－4，－2]，∴4－
x
∈[0，2]，∴
f
（4－
x
）＝2（4－
x
）－（4－
x
）2＝－
x
2＋6
x
－8.∵
f
（4－
x
）＝
f
（－
x
）＝－
f
（
x
），∴－
f
（
x
）＝－
x
2＋6
x
－8，即当
x
∈[2，4]时，
f
（
x
）＝
x
2－6
x
＋8.12345678910111213141516
9.已知定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的奇函数
f
（
x
）在（－
∞，0）上单调递增，且满足
f
（－1）＝0，
f
（2）＝1，则关于
x
的
不等式
f
（
x
）＜sinπ
x
的解集为（
）A.（－∞，－1）∪（1，＋∞）B.
（－1，0）∪（1，＋∞）C.（－∞，－1）∪（0，1）D.
（－1，0）∪（0，1）12345678910111213141516解析：
∵
f
（
x
）为（－∞，0）∪（0，＋∞）上的奇函数，由
此可在坐标系中画出
y
＝
f
（
x
）与
y
＝sinπ
x
的大致图象，如图所
示，由图象可知，当
x
∈（－∞，－1）∪（0，1）时，
f
（
x
）＜
sinπ
x
.12345678910111213141516
A.
f
（0）＞
f
（－3）B.∀
x
∈R，
f
（
x
）≤
f
（－1）C.
f
（
a
2－
a
＋1）≥
f
D.若
f
（
m
）＜
f
（2），则－4＜
m
＜212345678910111213141516
12345678910111213141516
1234567891011121314151611.（多选）已知函数
f
（
x
）＝1－cosπ
x
，
g
（
x
）＝e｜
x
－1｜，则
（
）A.曲线
y
＝
f
（
x
）＋
g
（
x
）是中心对称图形B.曲线
y
＝
f
（
x
）＋
g
（
x
）是轴对称图形C.函数
y
＝
既有最大值又有最小值D.函数
y
＝
只有最大值没有最小值12345678910111213141516解析：
因为
y
＝
f
（
x
）＋
g
（
x
）＝e｜
x
－1｜－cosπ
x
＋1，
f
（－
x
）＋
g
（－
x
）＝e｜
x
＋1｜－cosπ
x
＋1≠－[
f
（
x
）＋
g
（
x
）]，所以曲线
y
＝
f
（
x
）＋
g
（
x
）不是中心对称图形，故A
错误；函数
f
（
x
）＝1－cosπ
x
的图象是轴对称图形，令π
x
＝
k
π，
k
∈Z，解得
x
＝
k
，
k
∈Z，令
k
＝1，可得函数
f
（
x
）图象的
一条对称轴为直线
x
＝1.函数
g
（
x
）＝e｜
x
－1｜的图象为轴对称图
形，且其对称轴为直线
x
＝1，所以曲线
y
＝
f
（
x
）＋
g
（
x
）是轴
对称图形，对称轴为直线
x
＝1，故B正确；12345678910111213141516
12345678910111213141516
123456789
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