高中数学北师大版必修五学案第三章1．2不等关系与不等式（二）

1.2不等关系与不等式(二)学习目标1.掌握不等式性质推导及应用.2.通过解决具体问题，培养严谨的思维习惯．知识点一不等式的性质思考由a>b，c>d能推出ac>bd吗？梳理一般地，不等式有下列性质，但要注意其成立条件：(1)对称性：a>b⇔b<a；(2)传递性：a>b，b>c⇒a____c；(3)可加性：a>b⇔a＋c____b＋c；a>b，c>d⇒a＋c____b＋d；(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac____bc；a>b>0，c>d>0⇒ac____bd；(5)可乘方：a>b>0⇒an____bn(n∈N＋)；(6)可开方：a>b>0⇒eq\r(n,a)____eq\r(n,b)(n∈N＋)．知识点二常用推论思考由a>b能推出eq\f(1,a)<eq\f(1,b)吗？梳理一般地，加上适当的条件，有下列推论：(1)a>b，ab>0⇒eq\f(1,a)____eq\f(1,b).(2)a>b>0，m>0⇒eq\f(b,a)____eq\f(b＋m,a＋m).类型一不等式性质的证明例1求证a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.反思与感悟证明不等式讲究言必有据，此处证明主要用了不等式的传递性．除此之外，还可用作差法证明．跟踪训练1利用不等式的性质“如果a>b>0，n∈N＋，则an>bn”推导“如果a>b>0，n∈N＋，则eq\r(n,a)>eq\r(n,b)”．类型二不等式性质的应用命题角度1求取值范围例2已知－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，求eq\f(α＋β,2)，eq\f(α－β,2)的取值范围．反思与感悟(1)利用不等式的性质求范围要充分利用题设中的条件，如本题中的条件α<β；(2)注意“α－β”形式，要利用不等式性质转化为同向不等式相加，而不能臆造同向不等式相减．跟踪训练2已知－1<x＋y<4且2<x－y<3，则z＝2x－3y的取值范围是________．(答案用区间表示)命题角度2比较大小例3若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列不等式中：①eq\f(1,a＋b)<eq\f(1,ab)；②|a|＋b>0；③a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b)；④lna2>lnb2，正确的不等式是________．(填正确不等式的序号)反思与感悟用不等式性质比较大小，一方面要选用不等式性质从条件走到目标，另一方面要确保使用每一条不等式性质时，该性质所要求的条件都具备．跟踪训练3设x<a<0，则下列不等式一定成立的是()A．x2<ax<a2 B．x2>ax>a2C．x2<a2<ax D．x2>a2>ax1．设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①eq\f(c,a)>eq\f(c,b)；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)．其中所有的正确结论的序号是()A．① B．①②C．②③ D．①②③2．已知a<0，－1<b<0，那么a，ab，ab2的大小关系是________________．3．已知a>b>0，且c>d>0，则eq\r(\f(a,d))与eq\r(\f(b,c))的大小关系是________．1．用同向不等式求差的范围eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<x<b，,c<y<d))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<x<b，,－d<－y<－c))⇒a－d<x－y<b－c.这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到．2．倒数关系在不等式中的作用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab>0，,a>b))⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab>0，,a<b))⇒eq\f(1,a)>eq\f(1,b).3．失误与防范(1)a>b⇒ac>bc或a<b⇒ac<bc，当c≤0时不成立．(2)a>b⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b)或a<b⇒eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，当ab≤0时不成立．(3)a>b⇒an>bn对于正数a、b、n才成立．(4)eq\f(a,b)>1⇔a>b，对于正数a、b才成立．

答案精析问题导学知识点一思考不能．如－1>－2，－2>－4，但(－1)×(－2)<(－2)×(－4)．梳理(2)>(3)>>(4)>>(5)>(6)>知识点二思考不能．例如2>－1，但eq\f(1,2)>－1.梳理(1)<(2)<题型探究例1证明eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0，c>0⇒ac>bc,c>d>0，b>0⇒bc>bd))⇒ac>bd.跟踪训练1证明假设eq\r(n,a)>eq\r(n,b)不成立，则有eq\r(n,a)<eq\r(n,b)或eq\r(n,a)＝eq\r(n,b)(a>b>0，n∈N＋)．若eq\r(n,a)<eq\r(n,b)，则(eq\r(n,a))n<(eq\r(n,b))n，即a<b；若eq\r(n,a)＝eq\r(n,b)，则(eq\r(n,a))n＝(eq\r(n,b))n，即a＝b.这都与a>b矛盾．∴eq\r(n,a)>eq\r(n,b).即如果a>b>0，n∈N＋，则eq\r(n,a)>eq\r(n,b).例2解因为－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，所以－eq\f(π,4)<eq\f(α,2)<eq\f(π,4)，－eq\f(π,4)<eq\f(β,2)<eq\f(π,4).所以－eq\f(π,2)<eq\f(α＋β,2)<eq\f(π,2)，－eq\f(π,4)<－eq\f(β,2)<eq\f(π,4).因为α<β，所以eq\f(α－β,2)<0，故－eq\f(π,2)<eq\f(α－β,2)<0.综上，－eq\f(π,2)<eq\f(α＋β,2)<eq\f(π,2).－eq\f(π,2)<eq\f(α－β,2)<0.跟踪训练2(3,8)解析设2x－3y＝m(x＋y)＋n(x－y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝2，,m－n＝－3.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,2)，,n＝\f(5,2).))∴2x－3y＝－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)，∵－1<x＋y<4,2<x－y<3，∴－2<－eq\f(1,2)(x＋y)<eq\f(1,2)，5<eq\f(5,2)(x－y)<eq\f(15,2)，∴3<－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)<8，即3<2x－3y<8，∴z＝2x－3y的取值范围为(3,8)．例3①③解析由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0知a<0，b<0，∴ab>0.不等式两端同乘以ab，得b<a<0.∴eq\f(1,a＋b)<0，eq\f(1,ab)>0，①对；∵b<a<0，∴|a|＋b＝－a＋b<0，②错；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>b，,－\f(1,a)>－\f(1,b)，))得a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b)，③对；∵b<a<0，∴0<－a<－b，∴0<(－a