8函数的奇偶性-解析

第8讲函数的奇偶性一、函数的奇偶性的定义二、函数的奇偶性的几个性质①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；⑥可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。三、函数奇偶性的重要结轮①奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．②，在它们的公共定义域上有下面的结论:偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数为偶函数．四、函数的奇偶性的判断方法①定义域是否关于原点对称；【例题1】【答案】C【答案】C【分析】求出函数的定义域，值域，函数的单调性，对称性，对选项ABCD分别进行判断即可得．故选：C．【练习】1、设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数【答案】C奇函数奇函数=偶函数，偶函数偶函数=偶函数，奇函数偶函数=偶函数所以选C2、【多选】已知函数是定义在上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（）【答案】AB3、【多选】下列对函数奇偶性判断正确的是（）【答案】AD【答案】奇函数【例题2】【答案】【练习】【答案】（2）求出解析式.（2）根据函数奇偶性的定义即可求出函数解析式.；【例题3】1、函数f(x)=x3−A．B．C．D．【解题思路】根据函数奇偶性和单调性即可求解.【解答过程】因为f(x)=x所以f(x)为奇函数，当x>0时，1x为减函数，x3为增函数，故故选：B.2、已知函数fx的部分图象如图所示，则函数fx的解析式可能为（A．fx=−2C．fx=−2x【解题思路】根据函数的奇偶性和定义域，利用排除法即可得解.【解答过程】由图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除C；由图可知，函数的定义域不是实数集.故排除B；由图可知，当x→+∞时，y→−而对于D选项，当x→+∞时，y→0故选：A.【练习】A．B．C．D．【答案】A【分析】根据函数奇偶性及函数值的正负即可区分选项.故选：A2、心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（

）【答案】C【分析】根据奇偶性和最值排除错误答案即可.不符合题意，故B错误；故选：C.【例题4】已知函数fx是定义在−2,2上的奇函数，满足f1=15（1）求函数fx（2）判断fx（3）解不等式f(2x−1)+f(x)<0．【解题思路】（1）根据奇函数的性质f0=0，即可求出b，再由f1=15求出（2）利用定义法证明函数的单调性即可；（3）结合奇偶性与单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【解答过程】（1）因为函数fx是定义在−2,2上的奇函数，所以f0=0，即b因为f(1)=15，所以f(−1)=−1所以当−2<x≤0时，f(x)=x当0<x<2时，−2<−x<0，则f(x)=−f(−x)=−−x综上所述，f(x)=x（2）函数fx在−2,2证明：任取x1,x则f=x==(∵−2<x∴(x2故f(x)=xx2（3）因为函数fx是定义在−2,2所以f(2x−1)+f(x)<0⇔f(x)<−f(2x−1)⇔f(x)<f(1−2x)，又由（2）知f(x)=xx2所以x<1−2x−2<x<2−2<2x−1<2，解得故原不等式的解集为x|−1【练习】1、已知函数fx=x（1）判断函数fx（2）用定义法证明：函数fx在−2,2（3）求不等式ft【解题思路】（1）根据f−x（2）任取x1,x2∈(−2,2)（3）先得到f(x)=x4−x【解答过程】（1）由f−x+fx=−x（2）任取x1,xfx因为x1,x故x1−x2<0，x1x所以x1−x故函数f(x)在(−2,2)上单调递增；（3）由（1）（2）f(x)=x4−xf(t)+f(1−2t)>0变形为f(t)>−f(1−2t)=f2t−1则要满足−2<2t−1<2−2<t<2t>2t−1，解得：故不等式的解集为t−【例题5】已知定义域为R的函数fx（1）求实数a的值；（2）判断fx（3）当x∈0,+∞时，fx【解题思路】（1）根据奇函数定义即可求得a=−1;（2）利用单调性定义按步骤进行证明即可；（3）利用函数奇偶性和单调性将问题转化为不等式k<x+1x在x>0时恒成立问题，再由基本不等式即可得出实数【解答过程】（1）因为定义域为R的函数fx所以f0=1+a所以fx故a=−1；（2）fx在R因为fx任取x1所以2x则fx所以fx所以fx在R（3）由（2）得fx在0,+又x∈0,+∞时，所以fx所以x2则k<x+1x在由基本不等式可知x+1x≥2所以k<2，故k的范围为{k∣k<2}．【练习】1、已知fx=bx+c4+x2是定义在（1）求fx（2）设函数gx=x2−2mx+4m∈R【解题思路】（1）根据函数fx为奇函数，由f0=0，求得c=0，再由f1=1（2）根据题意，转化为gx2min<fx1min，根据函数fx的单调性，求得最小值为1，进而得到【解答过程】（1）解：因为fx是定义在−2,2上的函数，若满足f所以函数fx为奇函数，所以f0=c4又因为f1=1，可得f1=b此时fx=5x所以函数fx的解析式为f（2）解：对∀x1∈1,2,∃不妨设1≤x1<因为1≤x1<所以fx2−f所以函数fx=5x4+x又由gx=x2−2mx+4<1在1,2令x2+3x=x+3所以2m>23，解得m>3，即实数m的取值范围为2、已知函数f(x)=x（1）求f(1)，f(2)的值；（2）设a＞b＞1，试比较f（a），f（b）的大小，并说明理由；（3）若关于x的不等式f(x−1)≥2(x−1)+2x−1+m【解题思路】（1）代值即可求解；（2）采用作差法得fa（3）将条件化简得x2−4x+3−m≥0对一切x恒成立，即【解答过程】（1）因为fx=x2+（2）fafa−f因为a>b>1，则a+b>2，ab>1，所以2ab<2，即a+b−2所以a−ba+b−2ab（3）因为函数fx=x化简可得x2−4x+3−m≥0对一切所以Δ=42所以m的取值范围为−∞,−1.课堂检测1、下列函数是奇函数的是（

）A．fx=xC．fx=x【解题思路】根据奇函数的定义判断即可.【解答过程】对于A，因为fx=x2+1的定义域为R对于B，因为fx=x3−1的定义域为R对于C，因为fx=x3+1x对于D，因为fx=x4+2x2故选：C.2、下面四个结论中，正确命题的个数是()①偶函数的图象一定与y轴相交②奇函数的图象一定通过原点③偶函数的图象关于y轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】偶函数的图象关于轴对称，但不一定与y轴相交，因此①错，③正确；奇函数的图象关于原点对称，但不一定通过原点，只有在原点处有定义才通过原点，因此②错A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C4、若函数fx=x−xA．fx+1−2 B．fx−1−2 C．【解题思路】变形得到fx=x+1+1【解答过程】因为fx所以fx−1由于gx=x+1又g−x故gx=x+1其他选项均不合要求.故选：C．5、已知函数fx是定义域为R的奇函数，当x>0时，fx=x2A．19 B．−19 C．1 D．−1【解题思路】利用奇函数的性质即可求解.【解答过程】因为函数fx是定义域为R的奇函数，所以f故选：D.6、已知函数fx=x2−1A．0 B．1 C．−1 D．2【解题思路】利用奇函数定义，列式计算即得.【解答过程】由函数fx是奇函数，得fx+f−x=0函数f(x)=x2−1所以a=0.故选：A.7、函数fx=xA．

B．

C．

D．

【解题思路】先判断x>0时函数fx的单调性，即可判断选项C，D；再判断当x<0时函数f【解答过程】当0<x<1时，fx=x+1x，此时当x>1时，fx=x+1x，此时且x>0时，fx由此可知C，D选项中图象错误；当x<0时，fx=−x+1x，此时故选项A中图象不合题意，又f(−1)=0，故B中图象符合题意，故选：B.8、函数fx=xA．B．C．D．【解题思路】根据函数奇偶性、在2,+∞上的单调性、函数值f【解答过程】由题fx定义域为−∞,0故fx当x>2时，fx又y=x是增函数，y=−4x在故fx=x−4故选：D.【答案】A【答案】B得函数是定义在上的减函数，故选：B课后作业1、设函数fx=1−A．fx是奇函数，f1x=−fxC．fx是偶函数，f1x=−fx【解题思路】利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性，由解析式计算一一判定选项即可.【解答过程】因为函数表达式为fx=1−所以f−x=1−又f1故选：C.【答案】AB故选：AB.3、函数fx是一个偶函数，gx是一个奇函数，且fx+gxA．1x2−1 B．2x2x【解题思路】由fx+gx=1x−1可得出f−x【解答过程】因为函数fx是偶函数，函数gx为奇函数，则f−x由fx+gx=1所以，fx+gx=1故选：A.4、已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=x2+2x，则x>0时A．f(x)=−x2−2xC．f(x)=−x2+2x【解题思路】根据奇函数的性质求解即可.【解答过程】因为函数fx是定义在R当x>0时，−x<0，f(−x)=x2−2x=−f故选：C.5、若奇函数fx和偶函数gx满足fx+gxA．73 B．83 C．193【解题思路】根据题意，用−x代替x，得到−fx+gx=3【解答过程】由fx+gx=3x+因为fx是奇函数，gx是偶函数，所以联立fx+gx=3所以f1=73，故选：D．6、已知函数y=fx是定义在R上的奇函数，且当x<0时，fx=x2+aA．−3 B．3 C．13 D．【解题思路】借助奇函数的性质计算即可得.【解答过程】f3=−8=−f−3故f−3=−3故选：B.7、已知fx是定义在R上的奇函数，当x>0时，fx为减函数，且f2=0，那么不等式A．−2,0∪0,2 C．−∞,−2∪【解题思路】确定函数在−∞【