2026版正禾一本通高三一轮总复习数学（湘教版）-7 重难突破一　突破3　利用导数研究函数的零点问题

重难突破一导数中的综合问题突破3利用导数研究函数的零点问题高三一轮复习讲义湘教版第三章导数及其应用

函数的零点问题综合了函数、方程、不等式等多方面的知识，考查转化与化归、数形结合及函数与方程等数学思想.函数的零点问题常与其他知识相结合综合出题，解题难度较大，因此判断零点存在及零点个数问题是考查的一个热点.0４03技法三构造函数法课时测评02技法二函数性质法技法一数形结合法01内容索引技法一数形结合法

典例1

含参数的函数求零点个数问题，可转化为求方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征得出零点个数及对应参数的范围.规律方法

返回技法二函数性质法

[答题规范]

(12分)已知函数f(x)=ln(1+x)+axe－x.(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若f(x)在区间(－1，0)，(0，+∞)各恰有一个零点，求a的取值范围.思路分析

(1)求f'(x)，f'(0)，求切线方程；(2)求f'(x)→讨论当a>0，－1≤a≤0时，f(x)的零点情况→当a<－1时，讨论x∈(－1，0)与x∈(0，+∞)两种情况.典例2

利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件.规律方法

返回技法三构造函数法

典例3

1.涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而解得函数的零点问题.

2.解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法.规律方法

对点练4.已知函数f(x)=ex－1+ax(a∈R).(1)当x≥0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围；解：由题意，得f'(x)=ex+a.若a≥－1，则当x∈[0，+∞)时，f'(x)≥0恒成立，所以f(x)在[0，+∞)上单调递增，所以当x∈[0，+∞)时，f(x)≥f(0)=0，符合题意；若a<－1，令f'(x)<0，得x<ln(－a)，所以f(x)在(0，ln(－a))上单调递减，所以当x∈(0，ln(－a))时，f(x)<f(0)=0，不符合题意.综上，实数a的取值范围为[－1，+∞).

令φ'(x)>0，得x>1，所以φ(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，所以φ(x)min=φ(1)=1，当x→0时，φ(x)→+∞，当x→+∞时，φ(x)→+∞.所以当a>1时，a=x－ln

x有两个不同的实数解.综上，实数a的取值范围为(1，+∞).

返回课时测评1.(6分)(2024·江苏南通第二次诊断测试)若直线y=2x－1与函数f(x)=lnx－ax的图象有交点，则实数a的取值范围是A．(－∞，－1] B．(－∞，1)C．[1，+∞) D．(－2，－1]√

2.(6分)(2023·全国乙卷)函数f(x)=x3+ax+2存在3个零点，则实数a

的取值范围是A．(－∞，－2) B．(－∞，－3)C．(－4，－1) D．(－3，0)√

[2，+∞)

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