小学生奥数面积专题训练第19周题库

小学生奥数面积专题训练第19周题库一、本周训练目标1.巩固长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形的面积公式，能灵活运用公式解决基础问题；2.掌握割补法（分割与拼接）、等积变换（同底等高/等底同高三角形面积相等）、整体减部分（阴影面积=总面积-空白面积）等核心技巧；3.能解决组合图形（如长方形与正方形拼接、三角形与梯形组合）的面积问题，培养空间想象能力；4.初步学会用设未知数、线段比例等方法解决复杂面积问题。二、基础巩固篇（5题）题1：长方形的长是宽的2倍，周长是30厘米，求面积。题2：正方形的边长增加3厘米后，面积增加了39平方厘米，原正方形面积是多少？题3：三角形的底扩大到原来的3倍，高缩小到原来的1/2，面积变为原来的多少倍？题4：平行四边形的底是8厘米，高是底的1/2，与它等底等高的三角形面积是多少？题5：梯形的上底是5厘米，下底是上底的2倍，高是4厘米，求面积。三、能力提升篇（5题）题6：如图1（想象图：由一个长方形和一个正方形拼成，长方形长6厘米、宽4厘米，正方形边长4厘米，拼成的图形是长方形右边接正方形，总宽度为4厘米，总长度为6+4=10厘米？不，等一下，应该是长方形的宽与正方形的边长相等，所以拼成的组合图形是一个“L”形吗？或者长方形和正方形并排，长分别为6和4，宽都是4，那么组合图形的面积是长方形面积加正方形面积，即6×4+4×4=24+16=40平方厘米。对，这样的题目是组合图形的基础，用加法求面积。题7：如图2（想象图：一个边长为10厘米的正方形，内部有一个边长为6厘米的正方形，位于角落，求阴影部分面积）。阴影部分面积=大正方形面积-小正方形面积，即10×10-6×6=____=64平方厘米。这是“整体减部分”的基本应用。题8：如图3（想象图：三角形ABC，D是BC的中点，E是AD的中点，连接BE，求三角形BDE的面积占三角形ABC面积的几分之几）。思路：D是BC中点，所以AD是中线，三角形ABD面积=三角形ADC面积=1/2三角形ABC面积；E是AD中点，所以BE是中线，三角形BDE面积=三角形BAE面积=1/2三角形ABD面积，因此三角形BDE面积=1/2×1/2三角形ABC面积=1/4。题9：如图4（想象图：梯形ABCD，上底AB=4厘米，下底CD=8厘米，高AE=5厘米，对角线AC把梯形分成两个三角形，求三角形ABC和三角形ADC的面积比）。思路：三角形ABC和三角形ADC的高都是梯形的高（因为都以AC为对角线，其实应该是它们的底分别是AB和CD，高都是梯形的高吗？等一下，三角形ABC的底是AB=4厘米，高是梯形的高吗？是的，因为梯形的高就是上下底之间的距离，所以三角形ABC的高=梯形的高=5厘米，面积=1/2×4×5=10平方厘米；三角形ADC的底是CD=8厘米，高也是梯形的高=5厘米，面积=1/2×8×5=20平方厘米，所以面积比是10:20=1:2。或者更简单，同高的两个三角形，面积比等于底的比，即AB:CD=4:8=1:2，所以面积比是1:2。题10：如图5（想象图：一个长方形，长12厘米，宽8厘米，里面有一个平行四边形，底边是长方形的长的一部分，长6厘米，高是长方形的宽的一部分，高4厘米，求阴影部分面积）。阴影部分面积=长方形面积-平行四边形面积=12×8-6×4=96-24=72平方厘米。四、思维拓展篇（5题）题11：如图6（想象图：由三个正方形组成，边长分别为3厘米、5厘米、7厘米，拼成一个“阶梯”形，求整个图形的面积）。思路：三个正方形的面积相加，即3×3+5×5+7×7=9+25+49=83平方厘米。或者如果是拼成一个大的组合图形，比如小正方形在中间，中等在左边，大的在右边，只要不重叠，面积就是各部分之和。题12：如图7（想象图：三角形ABC，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，E是AC的中点，连接AD、BE，求三角形BDE的面积）。思路：先求三角形ABC的面积，D是BC中点，所以AD是高，BD=6厘米，AD=√(AB²-BD²)=√(____)=8厘米，三角形ABC面积=1/2×12×8=48平方厘米。E是AC中点，所以AE=EC=5厘米，连接BE，三角形BEC的面积=1/2三角形ABC面积=24平方厘米（因为同底BC，高是三角形ABC高的1/2？不，E是AC中点，所以三角形BEC和三角形BEA的面积相等，都是1/2三角形ABC面积）。D是BC中点，所以三角形BDE和三角形CDE的面积相等，都是1/2三角形BEC面积=12平方厘米。所以答案是12平方厘米。题13：如图8（想象图：平行四边形ABCD，AB=6厘米，AD=4厘米，角A=60度，E是AB的中点，F是AD的中点，连接EF，求三角形AEF的面积）。思路：先求平行四边形的面积，高=AD×sin60°=4×(√3/2)=2√3厘米，面积=AB×高=6×2√3=12√3平方厘米。三角形AEF的底AE=AB/2=3厘米，高是AD上的高吗？不，F是AD中点，所以AF=AD/2=2厘米，角A=60度，所以三角形AEF的面积=1/2×AE×AF×sin60°=1/2×3×2×(√3/2)=(3√3)/2平方厘米。或者用平行四边形面积的比例，平行四边形面积=底×高，三角形AEF的面积是平行四边形面积的1/8？因为AE=1/2AB，AF=1/2AD，角A相同，所以面积是1/2×1/2×1/2平行四边形面积=1/8×12√3=(3√3)/2，对的。题14：如图9（想象图：梯形ABCD，上底AB=5厘米，下底CD=10厘米，高6厘米，对角线AC和BD交于点O，求三角形AOB的面积）。思路：梯形的对角线把梯形分成四个三角形，其中三角形AOB和三角形COD相似，相似比=AB:CD=5:10=1:2，面积比=1:4。设三角形AOB的面积为x，则三角形COD的面积为4x。三角形AOD和三角形BOC的面积相等，设为y，因为它们等底等高（以AD和BC为底，高都是梯形的高的一部分？或者因为三角形ABD和三角形ABC的面积相等，都等于梯形面积的1/2，所以三角形ABD-三角形AOB=三角形ABC-三角形AOB，即三角形AOD=三角形BOC=y）。梯形面积=1/2×(5+10)×6=45平方厘米，所以x+y+y+4x=45→5x+2y=45。又因为三角形AOB和三角形AOD的高相同，底分别是OB和OD，所以面积比=OB:OD=AB:CD=1:2（因为相似三角形的对应边比），所以x:y=1:2→y=2x。代入上式，5x+2×2x=45→9x=45→x=5。所以三角形AOB的面积是5平方厘米。题15：如图10（想象图：两个边长为5厘米的正方形，拼成一个长方形，其中一个正方形的一个顶点在另一个正方形的中心，求重叠部分的面积）。思路：正方形的中心是对角线的交点，所以重叠部分是一个四边形，连接中心到两边的垂线，形成一个小正方形，边长为5/2=2.5厘米，面积=2.5×2.5=6.25平方厘米。或者用旋转的方法，重叠部分的面积等于正方形面积的1/4，因为中心到边的距离是边长的1/2，所以重叠部分是一个边长为边长1/2的正方形，面积=(5/2)²=25/4=6.25平方厘米。五、解题思路与答案基础巩固篇题1：思路：设宽为\(x\)厘米，则长为\(2x\)厘米。周长\(=2(x+2x)=6x=30\)，解得\(x=5\)，长为\(10\)厘米。面积\(=5×10=50\)平方厘米。答案：50平方厘米。题2：思路：设原边长为\(x\)厘米，新边长为\(x+3\)厘米。面积差\(=(x+3)²-x²=6x+9=39\)，解得\(x=5\)。原面积\(=5×5=25\)平方厘米。答案：25平方厘米。题3：思路：原面积\(=\frac{1}{2}×底×高\)，变化后面积\(=\frac{1}{2}×3底×\frac{1}{2}高=\frac{3}{4}×原面积\)。答案：\(\frac{3}{4}\)倍。题4：思路：平行四边形高\(=8×\frac{1}{2}=4\)厘米，等底等高三角形面积\(=\frac{1}{2}×8×4=16\)平方厘米。答案：16平方厘米。题5：思路：下底\(=5×2=10\)厘米，面积\(=\frac{1}{2}×(5+10)×4=30\)平方厘米。答案：30平方厘米。能力提升篇题6：思路：组合图形由长方形（6×4）和正方形（4×4）组成，面积相加。\(6×4+4×4=24+16=40\)平方厘米。答案：40平方厘米。题7：思路：阴影面积\(=大正方形面积-小正方形面积\)。\(10×10-6×6=100-36=64\)平方厘米。答案：64平方厘米。题8：思路：D是BC中点→\(S_{ABD}=\frac{1}{2}S_{ABC}\)；E是AD中点→\(S_{BDE}=\frac{1}{2}S_{ABD}\)。故\(S_{BDE}=\frac{1}{4}S_{ABC}\)。答案：\(\frac{1}{4}\)。题9：思路：同高的两个三角形（共梯形的高），面积比等于底的比。\(AB:CD=4:8=1:2\)，故面积比为\(1:2\)。答案：1:2。题10：思路：阴影面积\(=长方形面积-平行四边形面积\)。\(12×8-6×4=96-24=72\)平方厘米。答案：72平方厘米。思维拓展篇题11：思路：三个正方形面积之和。\(3²+5²+7²=9+25+49=83\)平方厘米。答案：83平方厘米。题12：思路：先求\(S_{ABC}=\frac{1}{2}×12×8=48\)平方厘米；E是AC中点→\(S_{BEC}=\frac{1}{2}S_{ABC}=24\)平方厘米；D是BC中点→\(S_{BDE}=\frac{1}{2}S_{BEC}=12\)平方厘米。答案：12平方厘米。题13：思路：\(S_{AEF}=\frac{1}{2}×AE×AF×sin60°=\frac{1}{2}×3×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)平方厘米（或用平行四边形面积比例：\(\frac{1}{8}×12\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)）。答案：\(\frac{3\sqrt{3}}{2}\)平方厘米（或近似5.196平方厘米，若允许小数）。题14：思路：相似比\(1:2\)→面积比\(1:4\)，设\(S_{AOB}=x\)，则\(S_{COD}=4x\)，\(S_{AOD}=S_{BOC}=2x\)（面积比=相似比）。\(x+2x+2x+4x=45\)→\(x=5\)。答案：5平方厘米。题15：思