《课题学习：选择方案》教案

课时目标(一)教学知识点巩固一次函数的知识,灵活运用变量关系解决相关实际问题.(二)能力训练要求1.有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用,提高解决实际问题的能力.2.让学生认识到数学在现实生活中的意义,发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.学习重点建立函数模型.学习难点灵活运用数学模型解决实际问题.课时活动设计回顾复习如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y(元)与销售量x(件)之间的函数图象.判断下列说法的正误:①售2件时,甲、乙两家的售价一样;(对)②买1件时,买甲家的合算;(错)③买3件时,买乙家的合算.(错)设计意图:温故知新,为抓住本节重点、突破难点做知识储备.为本节课的学习提供迁移或类比的办法.建立模型情境导入:嘉嘉的爸爸和妈妈想为家里办一张网卡,去通信公司办公大厅咨询,工作人员给了他们三种收费方式,他们一看不知道哪个收费方式合算,你能帮他们解决吗?问题1:怎样选取上网收费方式?下表中给出A,B,C三种收费方式.收费方式月使用费/元包时上网时间/h超时费/(元/min)A30250.05B50500.05C120不限时选取哪种方式能节省上网费?分析:在方式A,B中,上网时间是影响上网费的变量;在方式C中,上网费是常量.设月上网时间为xh,则方案A,B的收费金额y1,y2都是x的函数.要比较它们,需在x>0的条件下,考虑何时(1)y1=y2,(2)y1<y2,(3)y1>y2.利用函数解析式,通过方程、不等式或函数图象能够解答上述问题.在此基础上,再用其中省钱的方式与方式C进行比较,则容易对收费方式作出选择在方式A中,月使用费30元与包时上网时间25h是常量.考虑收费金额时,要把上网时间分为25h以内和超过25h两种情况,得到的是如下的函数y1=30化简,得y1=30这个函数的图象如图1所示.类似地,可以得出方式B,C的收费金额y2,y3关于上网时间x的函数解析式.画出y2,y3的图象如图2所示,结合函数图象与解析式,填空:当上网时间不超过3123h当上网时间超过3123h但不超过7313h当上网时间超过7313h时,选择方式C最省钱设计意图:上网收费是生活中常见的问题.问题中所列三种不同的收费方式,它们都与当月的上网时间有关,即上网费是上网时间的函数(方案A,B是包括一次函数的分段函数,方案C是常值函数).比较这三个函数,又可以发现对于上网时间有不同需求的人可以从中选择不同的收费方式,以达到省钱的目的.通过分析变量间的关系,列出函数解析式,然后比较三个函数解析式或相应的图象,找出不同的上网时间范围内上网费最低的方案.这是利用一次函数模型分析和解决实际问题的过程.对方案A作了较细致的讨论,而把其他方案的讨论及比较这些方案留给学生自行探究.这样处理既有引导,又留有自主发挥的余地.学生练习东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元,书法练习本每本售价5元.该商场为了促销制定了两种优惠方案供顾客选择.甲:买一支毛笔赠送一本书法练习本.乙:按购买金额打九折付款.某校欲为校书法兴趣组购买这种毛笔10支,书法练习本x(x≥10)本.如何选择方案购买呢?解:设甲方案花费y甲元,乙方案花费y乙元.根据题意,得y甲=25×10+5×(x-10)=5x+200,y乙=(25×10+5x)×90%=225+4.5x.当y甲=y乙时,5x+200=4.5x+225,解得x=50;当y甲>y乙时,5x+200>4.5x+225,解得x>50;当y甲<y乙时,5x+200<4.5x+225,解得x<50.故当x=50时,选甲、乙两个方案一样;当x>50时,应选择乙方案;当10≤x<50时,应选择甲方案.设计意图:让学生熟练掌握在解决实际问题中的决策性问题的方法.根据实际情况选择方案,进而理解函数与方程及不等式的联系,强化学生数学建模的意识和解题能力.问题2:怎样租车?某学校计划在总费用2300元的限额内,租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动,每辆汽车上至少要有1名教师.现有甲、乙两种大客车,它们的载客量和租金如下表所示.甲种客车乙种客车载客量/(人/辆)4530租金/(元/辆)400280(1)共需租多少辆汽车?(2)给出最节省费用的租车方案.分析:(1)可以从乘车人数的角度考虑租多少辆汽车,要注意到以下要求:①要保证240名师生都有车坐;②要使每辆汽车上至少有1名教师.根据①可知,汽车总数不能小于6;

根据②可知,汽车总数不能大于6;

综合起来可知汽车总数为6.

(2)租车费用与所租车的种类有关.可以看出,当汽车总数a确定后,在满足各项要求的前提下,尽可能少地租用甲种客车可以节省费用.设租用x辆甲种客车,则租车费用y(单位:元)是x的函数,即y=400x+280(a-x).将(1)中确定的a的值代入上式,化简这个函数,得y=120x+1680.

为使240名师生有车坐,x不能小于4;为使租车费用不超过2300元,x不能超过5.综合起来可知x的取值为4或5.

在考虑上述问题的基础上,你能得出几种不同的租车方案?为节省费用应选择其中哪个方案?试说明理由.解:两种方案.①4辆甲种客车,2辆乙种客车;②5辆甲种客车,1辆乙种客车.因为4×400+2×280=2160(元),5×400+1×280=2280(元),2160<2280,所以为节省费用,应选择方案①.设计意图:“怎样租车”选取了与学校生活有较密切联系的问题情境.问题中没有直接给出不同的方案让学生选择,而只给出了乘车人数及要求与车辆类型及费用,这样陈述问题更接近于实际生活.分析问题时要由题中的多项已知条件综合考虑,从而产生最佳乘车方案.这就比问题1又提高了要求,它更能培养运用数学分析和解决问题的能力.为降低难度,问题设了两问,回答第(1)问时要确定租车的总数,这就为回答第(2)问时把租车费用表示为一个可求值的函数作了准备.回答第(2)问时不仅要构造函数,还要确定自变量的取值范围,这需要综合运用各项已知条件,对学生来说具有一定的挑战性.把实际问题中的数量关系用一次函数来表示,是解决问题的关键,一次函数作为数学模型发挥了重要作用.通过对这些问题的探究,必然使学生对数学建模的作用产生新的认识.课堂小结解决含有多个变量的问题时,可以分析这些变量之间的关系,从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量.然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数,以此作为解决问题的数学模型.设计意图:引导学生进行解题方法的总结和提升,培养学生善于总结和分析问题的能力,培养学生数学建模的意识,提升学生的数学学科素养.知能演练提升能力提升1.一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次,若购买会员年卡,可享受如下优惠:会员年卡类型办卡费用/元每次游泳收费/元A类5025B类20020C类40015例如,购买A类会员卡,一年内游泳20次,消费50+25×20=550元,若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45~55次之间,则最省钱的方式为()A.购买A类会员年卡 B.购买B类会员年卡C.购买C类会员年卡 D.不购买会员年卡2.甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的电器,但是各自推出的优惠方案不同.甲商场规定:凡购买超过1000元电器的,超出的金额按90%实收;乙商场规定:凡购买超过500元电器的,超出的金额按95%实收.顾客怎样选择商场购买电器能获得更大的优惠?3.某商店销售A,B两种商品,A种商品的销售单价比B种商品的销售单价少40元,2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元.(1)求A种商品和B种商品的销售单价分别为多少元.(2)该商店计划购进A,B两种商品共60件,且A,B两种商品的进价总额不超过7800元.已知A种商品和B种商品的每件进价分别为110元和140元,应如何进货才能使这两种商品全部售出后总获利最多?4.某企业需运输一批物资.据调查得知,2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱;5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱.(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资;(2)计划用两种货车共12辆运输这批物资,每辆大货车一次需费用5000元,每辆小货车一次需费用3000元.若运输物资不少于1500箱,且总费用小于54000元,请你列出所有运输方案,并指出哪种方案所需费用最少,最少费用是多少?5.做蒜薹生意的张叔叔紧抓今年我市的蒜薹喜获丰收的机遇,存蒜薹200吨.经过市场调研欲采用批发、零售、保鲜储藏后销售三种方式销售.销售部为他提供了一个售价及成本的价目表(如下表),同时,通过公司的多年销售经验知道批发量是零售量的3倍.销售方式批发零售保鲜储藏后销售售价/(元/吨)300045005500成本/(元/吨)70010001200(1)假设蒜薹能够按计划全部售出,写出获得的总利润y(单位:元)与零售x(单位:吨)的函数解析式;(2)张叔叔的冷库最多储藏蒜薹80吨,请问冷藏多少吨蒜薹,获利最多?6.某教学网站策划了A,B两种上网学习的月收费方式:收费方式月使用费/元包时上网时间/时超时费/(元/分)A7250.01Bmn0.01设每月上网学习时间为x小时,方案A,B的收费金额分别为yA,yB.(1)yB与x之间函数关系的图象如图所示,请根据图象填空:m=,n=;

(2)写出yA与x之间的函数解析式;(3)选择哪种方式上网学习合算?为什么?创新应用★7.某景区内的环形路是边长为800m的正方形ABCD,如图①和图②.现有1号、2号两游览车分别从出口A和景点C同时出发,1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶,供游客随时免费乘车(上、下车的时间忽略不计),两车速度均为200m/min.探究设行驶时间为tmin.(1)当0≤t≤8时,分别写出1号车、2号车在左半环线离出口A的路程y1,y2(单位:m)与t(单位:min)的函数解析式,并求出当两车相距的路程是400m时t的值;(2)当t为何值时,1号车第三次恰好经过景点C?并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数.图①图②发现如图②,游客甲在BC上的一点K(不与点B,C重合)处候车,准备乘车到出口A.设CK=xm.情况一:若他刚好错过2号车,便搭乘即将到来的1号车;情况二:若他刚好错过1号车,便搭乘即将到来的2号车.比较哪种情况用时较多.(含候车时间)决策已知游客乙在DA上从D向出口A走去,步行的速度是50m/min.当行进到DA上一点P(不与点D,A重合)时,刚好与2号车迎面相遇.(1)他发现,乘1号车会比乘2号车到出口A用时少,请你简要说明理由;(2)设PA=s(0<s<800)m.若他想尽快到达出口A,根据s的大小,在等候乘1号车还是步行这两种方式中,他该如何选择?知能演练·提升能力提升1.C设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次,消费金额为y元.则有:当不购买会员卡时,y1=30x;当购买A类会员年卡时,y2=25x+50;当购买B类会员年卡时,y3=20x+200;当购买C类会员年卡时,y4=15x+400.当x=45时,y1=1350,y2=1175,y3=1100,y4=1075,且y4最小;当x=55时,y1=1650,y2=1425,y3=1300,y4=1225,且y4最小.∵y1,y2,y3,y4均随x的增大而增大,∴当购买C类会员年卡时最省钱.综上,选C.另外,本题数字较大,通过画函数图象求解会有一定困难.下图表示出四条直线在45≤x≤55时的图象,由图象可以直观地反映出不同购买方案之间的比较结果.2.解设顾客所购买电器的金额为x元,由题意,得当0<x≤500时,可任意选择甲、乙两商场;当500<x≤1000时,可选择乙商场;当x>1000时,甲商场实收金额为y甲=1000+(x-1000)×0.9;乙商场实收金额为y乙=500+(x-500)×0.95;①若y甲<y乙,即1000+(x-1000)×0.9<500+(x-500)×0.95,解得x>1500,所以,当x>1500时,可选择甲商场.②若y甲=y乙,即1000+(x-1000)×0.9=500+(x-500)×0.95,解得x=1500,所以,当x=1500时,可任意选择甲、乙两商场.③若y甲>y乙,即1000+(x-1000)×0.9>500+(x-500)×0.95,解得x<1500,所以,当1000<x<1500时,可选择乙商场.综上所述,顾客对于商场的选择可参考如下:当0<x≤500或x=1500时,可任意选择甲、乙两商场;当500<x<1500时,可选择乙商场;当x>1500时,可选择甲商场.3.解(1)设A种商品的销售单价是x元,B种商品的销售单价是y元.根据题意得y-x故A种商品的销售单价是140元,B种商品的销售单价是180元.(2)设购进A种商品a件,则购进B种商品(60-a)件,设总获利为w元.根据题意得,110a+140(60-a)≤7800,解得a≥20,w=(140-110)a+(180-140)(60-a)=-10a+2400.∵-10<0,∴w随a的增大而减小,∴当a=20时,w有最大值.故商店购进A种商品20件,购进B种商品40件时,全部售出后总获利最多.4.解(1)设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输x箱、y箱物资,根据题意,得2x+3答:1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输150箱、100箱物资.(2)设安排m辆大货车,则需小货车(12-m)辆,总费用为W元,则150m+(12-m)×100≥1500,解得m≥6,而W=5000m+3000×(12-m)=2000m+36000<54000,解得m<9,则6≤m<9,则运输方案有3种:6辆大货车和6辆小货车;7辆大货车和5辆小货车;8辆大货车和4辆小货车;由2000>0,知当m=6时,所需总费用最少,且为2000×6+36000=48000(元).故当安排6辆大货车和6辆小货车时,所需总费用最少,最少为48000元.5.解(1)由题意得y=3x(3000-700)+x(4500-1000)+(200-4x)(5500-1200)=-6800x+860000.(2)因为冷库最多储藏蒜薹80吨,所以0≤200-4x≤80,解得30≤x≤50.y=-6800x+860000,其中,k=-