21.1一元二次方程（教学课件）数学人教版九年级上册

第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程学

习

目

标123能准确叙述一元二次方程的定义，独立写出一般形式；能识别方程中的二次项系数、一次项系数和常数项；能根据实际问题列出简单的一元二次方程。经历“实际问题→数学建模→概念生成”的过程，培养抽象能力；通过辨析实例强化对概念关键特征（a≠0

、整式方程）的理解。感受方程在解决现实问题中的价值，增强应用意识；在合作探究中体会数学的严谨性与逻辑性。新知导入雷锋雕像在设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加视觉美感。数学里的美新知导入ACB2m设雕像上部的高度AC，下部的高度BC，AB=2米设雕像下部高xm，得方程：x2=2(2－x)整理得：x2＋2x－4=0①要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米?

由题意可得：BC²=AC•AB=2AC这个方程与我们学过的一元一次方程不同，如何解这类方程?如何用这类方程解决一些实际问题?新课探究探究点1认识一元二次方程观察x2＋2x－4=0这一方程有什么特征？方程等号两边都是整式有一个未知数x

x

的最高次数是2.特征一元二次像这样的方程应用很广泛新知探究探究点1认识一元二次方程如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm²，那么铁皮各角应切去多大的正方形?问题1长100cm宽50cm3600cm²小组讨论：（1）为了制作无盖方盒，铁皮各角切去的正方形的形状大小应该如何？铁皮各角切去的正方形应大小相同（2）设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长、宽各为多少？xcm

盒底的长为（100-2x）cm

，盒底的宽为（50-2x）cm

新知探究探究点1认识一元二次方程如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm²，那么铁皮各角应切去多大的正方形?问题1长100cm宽50cm3600cm²小组讨论：xcm

（3）根据方盒的底面积为3600cm²，得什么方程？方程整理后得到什么方程？（100-2x）•（50-2x）=3600

整理方程得：x²-75x+350=0②（4）这一方程有什么特征？方程两边都是整式，有一个未知数x，x的最高次数是2.新知探究探究点1认识一元二次方程问题2要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛?小组讨论：（1）这种比赛形式也叫做单循环比赛，其比赛场次的特点是什么？比赛场次的特点是任何两队之间都要比赛一场，而且只比赛一场。（2）全部比赛的场数为多少场？全部比赛的场数为:4×7=28（场）新知探究探究点1认识一元二次方程问题2要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛?小组讨论：（3）设应邀请x个队参赛，每个队要与其他（）个队各赛一场；共比赛（）场；可以得到（）方程；整理方程后得到（）方程；x

-1

x2-

x=56③（4）方程两边都是（），

有一个未知数（），未知数的最高次数是（）2整式x新知探究探究点1认识一元二次方程方程

①

②

③有什么共同点？(1)方程的两边都是_____；(2)

都只含_____个未知数；(3)

未知数的最高次数都是__.x2-

75x＋350

=

0

②x2+

2x

-

4

=

0

①x2

-

x

=

56

③整式12一元二次方程

等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。(quadraticequationinoneunknown)典例分析探究点1认识一元二次方程例1．下列方程中，属于一元二次方程的是(

)A．

ax²+x=2

B．

x²-2x-3=0

C．

x²-xy=2

D．

2（x-1）=x

解：A、当a≠0时，是一元二次方程，故该选项不符合题意；B、x²-2x-3=0是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；C、

x²-xy=2含有两位未知数，故该选项不符合题意；D、

2（x-1）=x

是一元一次方程，故该选项不符合题意．B新知探究探究点认识一元二次方程一般形式和结构辨一辨

一元二次方程的一般形式

一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax²+bx+c=0的形式,为什么要限制ax²+bx+c=0中a≠0，b,c可以为零吗？ax²+bx+c=0

(a,b,c为常数，a≠0）一元二次方程的一般形式.当ax²+bx+c=0中a=0，方程左边没有二次项，方程变为一元方程，但b,c可以为零。x2-

x=0c=0x2-

81

=0b=0x2=0b=0,c=0新知探究探究点2认识一元二次方程一般形式和结构

ax2+bx+c=0(a≠0)二次项系数一次项系数一元二次方程的一般形式二次项一次项常数项典例分析探究点2认识一元二次方程一般形式和结构例2:将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项．

3x2－3x=5x+10.移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式：3x2-8x-10=0.二次项系数a=3，一次项系数b=－8，常数项为c=－10.

解：去括号，得系数和项均包含前面的符号.注意新知探究探究点3一元二次方程的解（根）什么是一元一次方程解？类比你能得出什么是一元二次方程的解吗？交流讨论

使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.

使一元一次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，一元一次方程的解也叫做一元一次方程的根.典例分析探究点3一元二次方程的解（根）例3．已知m

是一元二次方程x2-3x-1=0

的一个根，则2023-m2+3m的值是（）A．-2023

B．2023

C．2022

D．2024解：∵m是一元二次方程x2-3x-1=0

的一个根，∴m2-3m=1

∴2023-m2+3m=2023-(m2-3m）=2023-1=2022C求代数式的值注意观察，有时需用到整体思想——求解时，将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体代入求值整体代入求值拓展提升1．关于x的方程a（x+m）²+b=0的解是想x1=-3，x2=2（

a,b,m均为常数，a≠0，则方程a（x+m+2）²+b=0的解是（）A．x1=-3，x2=2

B．x1=-5，x2=2

C．x1=-1，x2=-4

D．无法求解探究点3一元二次方程的解（根）解：根据题意得：

方程a（x+m+2）²+b=0看作关于x+2

的一元二次方程，

∵关于x的方程a（x+m）²+b=0的解：

x1=-3，x2=2

，∴关于x+2

的一元二次方程a（x+m+2）²+b=0的解：

x1+2=-3，x2+2=2，解得x1=-5，x2=2B整体思想巩固练习教材P4练习1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项:（1）一般式：二次项系数为５，一次项系数－4，常数项－1.（2）一般式：二次项系数为4，一次项系数0，常数项－81.（3）一般式：二次项系数为4，一次项系数8，常数项－25.（4）一般式：二次项系数为3，一次项系数－7，常数项1.解：巩固练习教材P4练习2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x；（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x；（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；解：（1）设其边长为x，则面积为x2（2）设长为x，则宽（x－2）x(x－2)=100.x2－2x－100=0.（3）设其中的较短一段为x，则另较长一段为（1－x）x2－3x＋1=0.x·1

=(1－x)24x2=25巩固练习3.某市2023年投入教育经费2

亿元，为了发展教育事业，该市每年教育经费的年增长率均x为，从2023年到2025年共投入教育经费7.28亿元，则下列方程正确的是（）A．

2x2=7.28

B．

2（1+x）=7.28

C．

2（1+x)2=7.28

D．2+2（1+x）+2（1+x)2=7.28

解：设教育经费的年平均增长率为x，则2024年度的教育经费为：2（1+x）

万元，2025年度的教育经费为：2（1+x)2

万元，依题意可得方程：2+2（1+x）+2（1+x)2=7.28

D真题感知1.(2024·四川眉山·中考真题)眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x

，则可列方程为()B．D．A．C．D

真题感知

A

（1）学习了一元二次方程的定义及一般形式；能识别方程中的二次项系数、