2025年秋季部编版初中数学教学设计八年级上册15.1.1 从分数到分式

第十五章分式15．1分式15．1.1从分数到分式教学目标课题15.1.1从分数到分式授课人素养目标1.以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，并了解分式的概念.2.能够通过分式的概念理解和掌握分式有意义的条件. 3.通过分数与分式的类比，使学生亲身经历探究整式扩充到分式的过程，初步学会运用类比、转化的思想方法研究数学问题. 教学重点理解分式有意义的条件．教学难点熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.教学活动教学步骤师生活动活动一：知识回顾，导入新课设计意图引导学生回忆已学的分数和整式的内容，为引入分式这个新概念做准备.【问题导入】1.什么是单项式？什么是多项式？单项式和多项式统称为整式2.“12÷11＝”表示为分数形式是eq\f(12,11)，同样地，整式的除法是否能类似地表示？比如90÷(30＋v)和60÷(30－v)可以分别用式子eq\f(90,30＋v)，eq\f(60,30－v)表示.思考下列问题并填空：1.(1)若长方形的面积为10cm2，长为7cm，则宽应为eq\f(10,7)cm；(2)若长方形的面积为S，长为a，则宽应为eq\f(S,a).2.(1)把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱形容器中，则水面高度为eq\f(200,33)cm；(2)把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，则水面高度为eq\f(V,S).【教学建议】注意引导学生回顾整式和分数的相关知识，并通过填空初步感知分式．通过这一系列提问，激活学生原有的知识，体现学生的学习是在原有知识上自我生成的过程，为学习新知识做好铺垫.活动二：问题引入，合作探究设计意图通过让学生在回答问题的过程中，尝试提炼出共性，明确区别，从而加深对概念的理解.探究点1分式的概念问题1活动一中的式子eq\f(S,a)，eq\f(V,S)，eq\f(90,30＋v)，eq\f(60,30－v)有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？从整体上看，它们都是eq\f(A,B)的形式；从分子、分母单独看，分子、分母都是整式，并且分母中都含有字母.【教学建议】一般地，学生往往只注意到分母B中含有字母，而忽略分子、分母都是整式的形式．教学中可提醒学生考虑分数的分子、分母都是什么样的数，再由此联系到分式的分子、分母是什么样的式子．教师需跟学生明确一点，即分式的分母中必须含字母，分子中不一定含字母.教学步骤师生活动设计意图问题4揭示图形语言与文字语言之间的联系，使学生经历从现实世界抽象出几何模型的过程，认识三角形的各个基本要素.概念引入：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子eq\f(A,B)叫做分式.分式eq\f(A,B)中，A叫做分子，B叫做分母.问题2下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？【对应训练】教材P128～129练习第1，2题.【教学建议】教师需强调π表示的是常数，因此分母只含π而不含其他字母的式子不是分式，而是整式.设计意图在明确分式有(无)意义的条件的基础上，通过例题教学和对应训练加深对分式有(无)意义的条件的理解，并能正确求出分式有(无)意义的条件.探究点2分式有意义、无意义的条件思考我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0.要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0.即当B≠0时，分式eq\f(A,B)才有意义；当B＝0时，分式eq\f(A,B)无意义．例(教材P128例1)下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？(1)eq\f(2,3x)；(2)eq\f(x,x－1)；(3)eq\f(1,5－3b)；(4)eq\f(x＋y,x－y).解：(1)要使分式eq\f(2,3x)有意义，则分母3x≠0，即x≠0；(2)要使分式eq\f(x,x－1)有意义，则分母x－1≠0，即x≠1；(3)要使分式eq\f(1,5－3b)有意义，则分母5－3b≠0，即b≠eq\f(5,3)；(4)要使分式eq\f(x＋y,x－y)有意义，则分母x－y≠0，即x≠y.【对应训练】1．教材P129练习第3题．2．(1)当a＝－2时，分式eq\f(2a,a＋2)无意义；(2)当x＝eq\f(3,2)时，分式eq\f(x＋2,2x－3)无意义．【教学建议】教学中引导学生思考：当分母中含有一个字母时，结果是这个字母不等于某个数值(如x≠0)的形式；当分母中含有多个字母时，结果是这些字母之间不能有某种关系(如x≠y)的形式，即对字母之间关系的限制而不是对每个字母的值进行限制．教师还需提示学生如无特别声明，本章出现的分式都有意义，因此无需逐一对以后出现的每个分式中的字母进行讨论．活动三：知识延伸，巩固升华设计意图经历对分式值为0的例题的学习，完善知识点，达到巩固提升的目的．例当x为何值时，分式eq\f(3x－6,2x＋1)的值为0?解：3x－6＝0且2x＋1≠0，即x＝2时，分式eq\f(3x－6,2x＋1)的值为0.【对应训练】对于下列分式，当a为何值时，分式的值为0?【教学建议】教师引导学生完成例题后需强调分式的值为0时，对分式有两方面的约束条件：①分子为0；②分母不为0.教学步骤师生活动(1)eq\f(a＋7,5a)；(2)eq\f(7a,21－3a).解：(1)a＋7＝0且5a≠0，即a＝－7.(2)7a＝0且21－3a≠0，即a＝0.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.分式和整式有何区别？2.分式有意义的条件是什么？3.分式值为0的条件是什么？【知识结构】【作业布置】1.教材P133习题15.1第1，2，3题．2.《》主体本部分相应课时训练．板书设计15.1.1从分数到分式1.分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子eq\f(A,B)叫做分式.2.分式eq\f(A,B)有(无)意义的条件：当B≠0时，分式有意义；当B＝0时，分式无意义.3.分式eq\f(A,B)值为0的条件：当A＝0且B≠0时，分式的值为0.教学反思本节课采用教师类比引导、提问，学生思考回答的方式完成对分式概念及分式有无意义的自主探索．通过“活动三”这一环节又发展了学生思维，巩固了课堂知识．教师提出问题让学生解决，问题由易到难，层层深入，既复习了旧知识又在类比过程中获得了新知识，使学生感受到数学知识的一体性.解题大招一根据分式有意义求字母的值(1)分式是否有意义，只与分式中分母的值是否为0有关，而与分子的值是否为0无关．(2)讨论分式有无意义，一定要针对原分式讨论，不能将分式化简后再讨论．如例1(3)，不能只讨论x＋4≠0.(3)分式有意义的条件是指表示分母的整式的值不能为0，并不是说分母中字母的取值不能为0.例1x满足什么条件时下列分式有意义？(1)eq\f(2,|x|－1)；(2)eq\f(x＋1,x2＋3)；(3)eq\f(x－2,（x－2）（x＋4）).解：(1)当|x|－1≠0，即x≠±1时，分式eq\f(2,|x|－1)有意义．(2)因为不论x取什么值，都有x2＋3>0，所以x取任何实数，分式eq\f(x＋1,x2＋3)都有意义．(3)当(x－2)(x＋4)≠0，即x≠2且x≠－4时，分式eq\f(x－2,（x－2）（x＋4）)有意义．解题大招二根据分式值为0求字母值的方法例2当x取什么值时，下列分式的值为0?(1)eq\f(|x|－4,x＋4)；(2)eq\f(x－3,x2－9).解：(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x|－4＝0，,x＋4≠0，))得x＝4，所以当x＝4时，分式eq\f(|x|－4,x＋4)的值为0.(2)因为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3＝0，,x2－9≠0))无解，所以没有使分式eq\f(x－3,x2－9)的值为0的x的值．解题大招三根据分式值的正、负确定字母取值范围的方法(1)若eq\f(A,B)的值为正数，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＞0，,B＞0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＜0，,B＜0；))(2)若eq\f(A,B)的值为负数，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＞0，,B＜0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＜0，,B＞0.))例3(1)[教材P158T6(2)]当x(x≠0)为x＞－eq\f(1,2)时，分式eq\f(2x＋1,x2)的值为正；(2)[教材P158T6(3)]当x(x≠0)为x＜2时，分式eq\f(x－2,x2)的值为负；(3)当x为－1＜x＜3时，分式eq\f(2x＋2,x－3)的值为负．解析：(1)分式eq\f(2x＋1,x2)的值为正，且x≠0，得x2＞0，2x＋1＞0，即x＞－eq\f(1,2).(2)分式eq\f(x－2,x2)的值为负，且x≠0，得x2＞0，x－2＜0，即x＜2.(3)由分式的值为负，得①eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋2＞0，,x－3＜0))或②eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋2＜0，,x－3＞0)).解不等式组①，得－1<x<3.解不等式组②，无解．所以当－1<x<3时，分式eq\f(2x＋2,x－3)的值为负．培优点分式有、无意义及值为0的综合应用例已知分式eq\f(x＋a,x＋b)，当x＝－2时，分式的值为0；当x＝－1