安徽省鼎尖教育2025-2026学年高二下学期期中学业质量检测试卷数学试卷（含答案）

2024级高二第二学期期中学业质量检测数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若函数在处可导，且，则（）．A． B． C．1 D．32．某合唱队有男队员15人，女队员20人，现需从中选出一名同学担任指挥，则不同的选法共有（）．A．15种 B．20种 C．35种 D．300种3．对于事件A和B，，，，则（）．A．0.3 B．0.48 C．0.5 D．0.64．射击中每次击中目标得2分，未击中目标得0分，已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7，假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是（）．A．0.63 B．1.4 C．2.1 D．4.25．若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）．A． B． C． D．6．现将3名人工智能课程教师，3名编程竞赛教练，4名创客空间导师全部分配到三所不同的中学中，要求每所中学都要有这三类教师，则不同的安排种数为（）．A．864 B．1296 C．2592 D．51847．春天来了，万物复苏，校园楼下的花坛里种了不同颜色的花．如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则不同的栽种方案数有（）．A．240种 B．360种 C．420种 D．720种8．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是（）．A．第2026行中第1012个数和第1014个数相等B．C．记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则D．第7行的第8个数、第8行的第8个数、第9行的第8个数及第10行的第8个数之和等于第11行的第9个数二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．下列说法正确的是（）．A．已知随机变量，则B．设随机变量X等可能取1，2，3，⋯，10，则C．设随机变量X服从两点分布，若，则成功概率D．若随机变量的概率分布为且a是常数，则10．下列各项中，正确的是（）．A． B．C． D．11．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示i号箱有奖品，用表示主持人打开j号箱子，下列结论正确的是（）．A．B．主持人打开3号箱的概率C．若，且甲更改选择，则他获奖的概率均为D．若，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知，则______．13．是函数与的公切线，则______．14．已知关于x的方程在上有解，则的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题13分）某企业开展内部知识竞赛，参赛的员工需要从8道题中随机抽取3道来回答．竞赛规则规定：每题回答正确得6分，回答不正确得分．（Ⅰ）已知甲员工每题回答正确的概率均为0.6，且各题回答正确与否之间没有影响，记甲答对的题目个数为X，求X的期望和方差；（Ⅱ）已知员工乙能正确回答8道题中的5道，记乙的总得分为Y，求Y的分布列．16．（本小题15分）已知的展开式中共有10项．（Ⅰ）求展开式中的系数；（Ⅱ）当时，求被4整除的余数．17．（本小题15分）已知函数．（Ⅰ）讨论的单调区间；（Ⅱ）当时，求函数在上的最小值．18．（本小题17分）亳州百草园为了让游客有更好的游玩体验，特推出代步自行车租用服务已知有脚踏自行车A与电动自行车B两种车型，采用分段计费的方式租用．A型车每30分钟收费10元（不足30分钟的部分按30分钟计算），B型车每30分钟收费20元（不足30分钟的部分按30分钟计算），现有甲、乙、丙、丁四人，分别相互独立地到租车点租车骑行（各租一车一次），设甲、乙、丙、丁不超过30分钟还车的概率分别为，，，，并且四个人每人租车都不会超过60分钟，甲、乙、丙均租用A型车，丁租用B型车．（Ⅰ）求甲、乙、丙、丁四人所付的费用之和为50元的概率；（Ⅱ）求甲、乙、丙三人所付的费用之和等于丁所付的费用的概率；（Ⅲ）设甲、乙、丙、丁四人所付费用之和为随机变量，求的概率分布列．19．（本小题17分）设，（其中为的导函数）．（Ⅰ）证明：将A中元素适当排序后能构成等差数列；（Ⅱ）设，求的最小值；（Ⅲ）设，，试比较与的大小，并说明理由．

2024级高二第二学期期中学业质量检测数学试卷参考答案题号1234567891011答案BCDDABCDACDACDBC1．B2．C【详解】选一名指挥，可以从15名男队员中选，有15种选法；也可以从20名女队员中选，有20种选法．根据分类加法计数原理，总选法数为种．故选：C．3．D【详解】，所以．又，所以．4．D【详解】由题意可知，射击3次得分X的可能取值为0，1，1，3，每次射击击中目标的概率是0.7，且每次射击击中目标与否互不影响，所以，射击3次得分，，设，所以．5．A【详解】令得：设，则，令得．当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以在处取得极大值，如图．6．B【详解】求不同的安排种数需要分成3步，先把4名创客空间导师按分成3组，并分配到三所学校，有种方法，再把3名人工智能课程教师分配到三所学校，有种方法，最后把3名编程竞赛教练分配到三所学校，有种方法，由分步乘法计数原理得不同的安排种数为．故选B．7．C【解析】把图中的区域分别标上A，B，C，D，E，用三种颜色：区域和相同，（种），用四种颜色：区域或相同，共有2种，再选取四种颜色，及（种），用五种颜色：（种）．一共有（种）．8．D【详解】对于A，因“杨辉三角”的第2026行中第1012个数和第1014个数分别为和，因，故，故A错误；对于B，因，…，则，故B错误；对于C，第20行数字的最大值为，第21行数字的最大值为，所以，C错误；对于D，因，而，故D正确．9．ACD【详解】对于A，因，则，故，故A正确；对于B，因，包含1，2，3，4，5五种情况，则，故B错误；对于C，随机变量X服从两点分布，则，又，解得，故C正确；对于D，依题意，，解得，故D正确．故选：ACD．10．ACD【详解】对于选项A，因为，所以A正确；对于选项B，根据组合数性质知道，所以B选项错误；对于选项C，，，因此，所以C选项正确；对于选项D，全班n个男生n个女生，选取n个人留下来搞卫生，左边是从性别的角度考虑，用分类加法得，所以．故选：ACD．11．BC【详解】对于A选项，奖品在1号箱里，主持人可打开2、3、4号箱，故，故A错误；对于B选项，奖品在1号箱里，主持人可打开2、3、4号箱，故，奖品在2号箱里，主持人只能打开3、4号箱，故，奖品在3号箱里，主持人打开3号箱的概率为0，故，奖品在4号箱里，主持人只能打开2、3号箱，故，由全概率公式可得：，故B正确；对于C、D选项，（1）若甲不更改选则时，由贝叶斯公式计算．从而．（2）当甲更改选择时①若甲改选2，甲中奖的概率为．②若甲改选3，甲中奖的概率为．③若甲改选4，甲中奖的概率为．，，故选项C正确,选项D错误．综上，选项BC正确．12．【答案】34【详解】令得，令得，得，．13．【答案】【详解】设的切点为，∴，∴，∴切点为，∴，同理可得，∴．14．【答案】【详解】可以看成到的距离，方程可以看成直线．所以设，则，，，所以单调，令，，，因为在上单调递增，所以，，，所以．15．【解析】（1）设甲答对题目的数目为X，则，可得，．（2）设乙答对的题目数为Z，可知Z的可能取值为0，1，2，3．则，所以Y的可能取值为，2，10，18．；；；．所以Y的分布列为：Y1025P16．【解析】（1）由题意可得，，∴，∴的系数是5376．（2）当时，即余数是3．当，被4整除的余数为3．17．【详解】（1）易得定义域为R．当，．，，则在上单调递增，在上单调递减，当，．ⅰ．若，，，，则在上递增，在上递减．ⅱ．若，令或．当，此时，，则在，上单调递增，在上单调递减，当，此时在R上单调递增，当，此时，，则在，上单调递增，在上单调递减．综上可得：当时，在上递增，在上递减，当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在R上单调递增；当时在，上单调递增，在上单调递减．（2）由（1）分析可得，若，则在上单调递减，；若，则在上单调递减，在上单调递增，则此时；综上可得：时，；时，．18．【解析】解：（1）记“甲、乙、丙、丁四人所付的费用之和为50元”为事件A，即4人均不超过30分钟，则．答：求甲、乙、丙、丁四人所付的费用之和为50元的概率是．（2）由题意，甲、乙、丙、丁在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为，，，，设“甲、乙、丙三人所付费用之和等于丁所付费用”为事件B，则．答：甲、乙、丙三人所付的费用之和等于丁所付的费用的概率是．（3）①若“4人均不超过30分钟”此时随机变量的值为50，即为事件A，由（1）所以．②记“4人中仅有一人超过30分钟”为事件C，事件C又分成两种情况“超过30分钟的这一人是甲、乙、丙中的一个”和“超过30分钟的这一人是丁”，分别将上述两种情况记为事件和．ⅰ.事件对应的的值为50，此时．ⅱ.事件对应的的值为70，此时，．③记“4人中仅有两人超过30分钟”为事件D，事件D又分成两种情况“超过30分钟的两人是甲、乙、丙中的两个”和“超过30分钟的两人是甲、乙、丙中的一个和丁”，分别将上述两种情况记为事件和．ⅰ.事件对应的的值为70，此时．ⅱ.事件对应的的值为80，此时．④记“4人中仅有三人超过30分钟”为事件E，事件E又分成两种情况“超过30分钟的三人是甲、乙、丙”和“超过30分钟的三人是甲、乙、丙中的两个和丁”，分别将上述两种情况记为事件和．ⅰ.事件对应的的值为80，此时．ⅱ.事件对应的的值为90，此时．⑤记“4人均超过30分钟”为事件F，则随机变量的值