2026年高考数学一轮复习三维设计创新-第2节　常用逻辑用语

第2节常用逻辑用语【课标要求】（1）理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系；（2）理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.知识点一全称量词命题和存在量词命题1.全称量词与存在量词（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示；（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.2.全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p（x）成立存在M中的元素x，p（x）成立简记∀x∈M，p（x）∃x∈M，p（x）否定∃x∈M，p（x）∀x∈M，p（x）提醒（1）对省略了量词的命题进行否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词；（2）命题p和p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假.（1）〔多选〕下列说法正确的是（AB）A.∃x∈R，ex＜ex＋1B.命题“∃x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“∀x∈R，x2－2x＋3≠0”C.命题“∀x＞1，都有2x＋1＞5”的否定为“∃x≤1，使得2x＋1≤5”D.“正方形是菱形”是全称量词命题，其否定为“至少有一个正方形是菱形”解析：（1）对于A，当x＝1时，e＜e＋1成立，故A正确；对于B，命题“∃x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“∀x∈R，x2－2x＋3≠0”，故B正确；对于C，命题“∀x＞1，都有2x＋1＞5”的否定为“∃x＞1，使得2x＋1≤5”，故C错误；对于D，“正方形是菱形”等价于“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题，其否定为“至少有一个正方形不是菱形”，故D错误.（2）（2024·新高考Ⅱ卷2题）已知命题p：∀x∈R，｜x＋1｜＞1；命题q：∃x＞0，x3＝x.则（B）A.p和q都是真命题B.p和q都是真命题C.p和q都是真命题D.p和q都是真命题解析：（2）对于命题p，取x＝－1，则有｜x＋1｜＝0＜1，故p是假命题，p是真命题；对于命题q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，故选B.规律方法1.含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论.2.判定全称量词命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；要判定存在量词命题“∃x∈M，p（x）”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p（x）成立即可.3.由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与p的关系，转化成p的真假求参数的范围.练1（1）（2025·宝鸡一模）已知命题p：∀x≥0，ex≥1或sinx≤1，则p为（D）A.∃x＜0，ex＜1且sinx＞1B.∃x＜0，ex≥1或sinx≤1C.∃x≥0，ex＜1或sinx＞1D.∃x≥0，ex＜1且sinx＞1解析：（1）命题p：∀x≥0，ex≥1或sinx≤1，为全称量词命题，则p：∃x≥0，ex＜1且sinx＞1，故选D.（2）已知命题“∃x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（C）A.（－18，0） B.（0，1C.（18，＋∞） D.（1，＋∞解析：（2）因为命题“∃x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，所以命题“∀x∈R，ax2－x＋2＞0”是真命题，当a＝0时，得x＜2，不符合题意；当a≠0时，得a>0，Δ=1－知识点二充分条件、必要条件与充要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件pq且qp（1）（2024·天津高考2题）设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的（C）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：（1）由函数y＝x3是增函数可知，若a3＝b3，则a＝b；由函数y＝3x是增函数可知，若3a＝3b，则a＝b.故“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要条件，故选C.（2）（2024·全国甲卷理9题）设向量a＝（x＋1，x），b＝（x，2），则（C）A.x＝－3是a⊥b的必要条件B.x＝1＋3是a∥b的必要条件C.x＝0是a⊥b的充分条件D.x＝－1＋3是a∥b的充分条件解析：（2）a⊥b⇔x2＋x＋2x＝0⇔x＝0或x＝－3，所以x＝－3是a⊥b的充分条件，x＝0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正确.a∥b⇔2x＋2＝x2⇔x2－2x－2＝0⇔x＝1±3，故B、D错误.规律方法充分、必要条件的三种判定方法（1）定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断；（2）集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断；（3）等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止.练2（1）（2023·全国甲卷理7题改编）若直线l1：xtanθ＋y－2＝0，l2：xtanθ＋ytanθ＋3＝0，则“θ＝3π4”是“直线l1与l2垂直”的（AA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：（1）易得tanθ≠0，由题知直线l1的斜率为－tanθ，l2的斜率为－1，若直线l1与l2垂直，则－tanθ×（－1）＝－1，则tanθ＝－1，则θ＝kπ－π4（k∈Z），当k＝1时，θ＝3π4.故“θ＝3π4”是“直线l1与l（2）（2025·张家界一模）王安石在《游褒禅山记》中说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（B）A.充分条件 B.必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：（2）因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立，所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件.提能点充分条件、必要条件的探究与应用充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}：（1）若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；（2）若A⫋B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；（3）若A＝B，则p是q的充要条件.（人A必修一P23习题4题改编）已知集合P＝{x｜1≤x≤4}，S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}.是否存在实数m，使得x∈P是x∈S的充分不必要条件.若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.解：由题意，集合P＝{x｜1≤x≤4}，S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}.因为x∈P是x∈S的充分不必要条件，所以P⫋S，则满足1－m≤1＋m且1－m≤1，1+m≥4（经验证，当m＝3时，满足题意，所以实数m的取值范围是[3，＋∞）.变式（1）如果将“充分不必要”条件改为“必要不充分条件”，又该如何求解？（2）改为充要条件呢？解：（1）因为x∈P是x∈S的必要不充分条件，所以S⫋P，当S＝⌀时，1－m＞1＋m，解得m＜0，此时满足题意；当S≠⌀时，有1－m≤1＋m且1－m≥1，1+m≤4（综上可得，实数m的取值范围是（－∞，0].（2）因为x∈P是x∈S的充要条件，所以P＝S，即1－m则不存在实数m，使得x∈P是x∈S的充要条件.规律方法求参数问题的解题策略（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解；（2）要注意区间端点值的检验.练3（1）（北师必修一P45复习题1（3）题改编）不等式2x2－5x－3＜0成立的一个必要不充分条件是（C）A.－3＜x＜12 B.－12＜xC.－1＜x＜3 D.12＜x＜解析：（1）不等式2x2－5x－3＜0的解集是（－12，3），观察四个选项发现（－12，3）是（－1，3）的真子集，所以“－1＜x＜3”是“不等式2x2－5x－3＜0成立”的一个必要不充分条件，故选（2）（2025·常德联考）已知命题p：｜x｜≤1，q：x＜a，若q是p的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（C）A.（－∞，1） B.（－∞，1]C.（1，＋∞） D.[1，＋∞）解析：（2）由｜x｜≤1，即－1≤x≤1，又q：x＜a，由q是p的充分不必要条件，则p是q的充分不必要条件，所以a＞1.故选C.一、单项选择题1.（2025·宜宾一模）命题“∀x＞1，lnx＞0”的否定是（）A.∀x＞1，lnx＜0 B.∀x＞1，lnx≤0C.∃x＞1，lnx≤0 D.∃x≤1，lnx≤0解析：C命题“∀x＞1，lnx＞0”的否定是：∃x＞1，lnx≤0，故选C.2.以下四个命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（）A.锐角三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x，使x2≤0C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x，使x2≤0解析：BA选项为全称量词命题，且所给的命题为假命题；B选项为存在量词命题，且所给的命题为真命题；C选项为全称量词命题，取x1＝2＋3，x2＝2－3，则x1＋x2＝4为有理数，所给的命题为假命题；D选项为存在量词命题，若x＜0，则x2＞0，所给的命题为假命题.故选B.3.（2025·朔州模拟预测）设a，b∈R，则“a＜1且b＜1”是“a＋b＜2”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：A若a＜1且b＜1，则a＋b＜2，即充分性成立；若a＋b＜2，例如a＝1，b＝0，满足a＋b＜2，但不满足a＜1且b＜1，即必要性不成立.综上所述，“a＜1且b＜1”是“a＋b＜2”的充分不必要条件.故选A.4.（2025·济宁一模）已知A＝{x｜1＜x＜2}，B＝{x｜x＜a}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A.（－∞，1] B.[1，＋∞）C.（－∞，2] D.[2，＋∞）解析：D因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A⫋B，所以a≥2.故选D.5.（2025·赤峰一模）已知a，b是两个不共线的向量，命题甲：向量ta＋b与a－2b共线；命题乙：t＝－12，则甲是乙的（A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：C对于命题甲，可设ta＋b＝λ（a－2b），即ta＋b＝λa－2λb，则t＝λ，1=－2λ，所以t＝λ＝－12；对于命题乙，t＝－12时，ta＋b＝－12（a－2b），则有向量ta＋b与6.数学中有一类数字被称为水仙花数，水仙花数是指一个三位数，它的每一个数字的3次幂之和等于它本身，例如：33＋73＋03＝370.设集合U＝{153，155，212，371}，A＝{x｜x是水仙花数，x∈U}，B＝{x｜x＝3k，x∈U，k∈Z}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：B因为153＝13＋53＋33，371＝33＋73＋13，则集合A＝{153，371}，而B＝{153}，故B⫋A，即“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件.7.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么（）A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C.丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件D.丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解析：A因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲.又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙丙，如图.综上，有丙⇒甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.故选A.8.（2025·德阳模拟）若命题“∃x∈（－1，3），x2－2x－a≤0”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（）A.－1 B.0C.1 D.3解析：A由题意，∃x∈（－1，3），a≥x2－2x，令h（x）＝x2－2x，则当x∈（－1，3）时，a≥h（x）有解，即a≥h（x）min（x∈（－1，3））.因为函数h（x）＝x2－2x在（－1，1）上单调递减，在（1，3）上单调递增，所以h（x）在（－1，3）上的最小值为h（1）＝1－2＝－1，所以a≥－1.所以实数a可取的最小整数值是－1.故选A.二、多项选项题9.（2025·六安质量检测）下列命题正确的是（）A.命题“∃x∈R，y＞1”的否定是“∀x∈R，y≤1”B.“至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立”是全称量词命题C.“∃x∈R，x－2＞x”是真命题D.“∀x∈R，x2＞0”的否定是真命题解析：ACD对于A，因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“∃x∈R，y＞1”的否定是“∀x∈R，y≤1”，故A正确；对于B，“至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立”是存在量词命题，故B错误；对于C，当x＝9时，9－2＝7＞9＝3，所以“∃x∈R，x－2＞x”是真命题，故C正确；对于D，因为当x＝0时，x2＝0，所以“∀x∈R，x2＞0”是假命题，其否定是真命题，故D正确.故选A、C、D.10.（2025·绵阳一模）下列命题正确的有（）A.“A∪B＝A”是“B⊆A”的充分不必要条件B.“x＝1”是“x≥1”的充分不必要条件C.“sinx＝12”的必要不充分条件是“x＝πD.在△ABC中，“A＞B”是“a＞b”的充要条件解析：BD对于A，由A∪B＝A可得B⊆A，故充分性成立，由B⊆A可得A∪B＝A，故必要性成立，所以“A∪B＝A”是“B⊆A”的充要条件，故A错误；对于B，“x＝1”是“x≥1”的充分不必要条件，故B正确；对于C，当x＝π6时，sinx＝12；当sinx＝12时，x＝π6＋2kπ或x＝5π6＋2kπ，k∈Z，所以“x＝π6”是“sinx＝12”的充分不必要条件，故C错误；对于D，根据三角形的性质，大边对大角，大角对大边可知“A＞B”是“a＞b”的充要条件，故11.命题“存在x＞0，使得mx2＋2x－1＞0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.m＞－2 B.m＞－1C.m＞0 D.m＞1解析：CD由题意，存在x＞0，使得mx2＋2x－1＞0，即m＞1－2xx2＝（1x）2－2×1x＝（1x－1）2－1，当1x－1＝0时，即x＝1时，1－2xx2的最小值为－1，故m＞－1；所以命题“存在x＞0，使得mx2＋2x－1＞0”为真命题的充分不必要条件是{m｜m＞－1}三、填空题12.设a＞0，b＞0，则使得命题“若ln（a＋b）＞0，则lna＋lnb＞0”为假命题的一组a，b的值是a＝1，b＝1（答案不唯一）.解析：根据题意，满足题意的a，b满足ln（a＋b）＞0，且lna＋lnb≤0，即ln（a＋b）＞ln1，lnab≤ln1，解得a＋b＞1，0＜ab≤1，则答案不唯一，不妨取a＝1，b＝1，满足题意.13.《墨子·经说上》上说：“小故，有之不必然，无之必不然，体也，若有端，大故，有之必然，若见之成见也.”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想，那么文中的“小故”指的是逻辑中的必要不充分条件.解析：由“小故，有之不必然，无之必不然”，知“小故”只是构成某一结果的几个条件中的一个或一部分条件，故“小故”是逻辑中