2026年高考数学一轮复习三维设计创新-第2节　函数的单调性与最值

第2节函数的单调性与最值【课标要求】（1）借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义；（2）掌握函数单调性的简单应用.知识点一函数的单调性1.单调性的定义定义要求x1，x2一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I，当x1＜x2时要求f（x1）与f（x2）都有f（x1）＜f（x2）都有f（x1）＞f（x2）结论函数f（x）在区间I上单调递增；若函数f（x）在定义域D上单调递增，则f（x）为增函数函数f（x）在区间I上单调递减；若函数f（x）在定义域D上单调递减，则f（x）为减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.单调区间的定义如果函数y＝f（x）在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间I叫做y＝f（x）的单调区间.结论（1）若函数f（x），g（x）在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：①在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数；②若k＞0，则kf（x）与f（x）单调性相同；若k＜0，则kf（x）与f（x）单调性相反；③函数y＝f（x）（f（x）＞0）在公共定义域内与y＝－f（x），y＝1f（（2）复合函数的单调性满足同增异减.（1）〔多选〕（北师必修一P65习题A5题改编）下列函数在（0，＋∞）上单调递增的是（AC）A.y＝ex－e－x B.y＝｜x2－2x｜C.y＝2x＋2cosx D.y＝x解析：∵y＝ex与y＝－e－x均为R上的增函数，∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确；由y＝｜x2－2x｜的图象（图略）知，B不正确；对于C，y'＝2－2sinx≥0，∴y＝2x＋2cosx在（0，＋∞）上单调递增，故C正确；y＝x2＋x－2的定义域为（－∞，－2]∪[1，＋∞（2）（人A必修一P78例1改编）试讨论函数f（x）＝axx－1（a≠0）在（－1，1解：法一（定义法）设－1＜x1＜x2＜1，f（x）＝a（x－1+1x－1）＝a（1则f（x1）－f（x2）＝a（1＋1x1－1）－a（1＋1由于－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，故当a＞0时，f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），函数f（x）在（－1，1）上单调递减；当a＜0时，f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），函数f（x）在（－1，1）上单调递增.法二（导数法）f'（x）＝（ax)'(x－1当a＞0时，f'（x）＜0，函数f（x）在（－1，1）上单调递减；当a＜0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（－1，1）上单调递增.规律方法1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2.函数单调性的判断方法（1）定义法；（2）图象法；（3）利用已知函数的单调性；（4）导数法.提醒函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不能用“∪”.练1（1）函数f（x）＝（x－4）·｜x｜的单调递增区间是（C）A.（－∞，0） B.（－∞，0）∪（2，＋∞）C.（－∞，0）和（2，＋∞） D.（2，＋∞）解析：（1）f（x）＝（x－4）·｜x｜＝x2－4x，x≥0，－x2+4x，x<0，函数图象如图所示（2）函数y＝log12（x2－2x＋3）的单调递增区间为（AA.（－∞，1） B.（－1，0）C.（－1，1） D.（1，＋∞）解析：（2）因为y＝log12（x2－2x＋3），且x2－2x＋3＝（x－1）2＋2＞0，所以函数y＝log12（x2－2x＋3）的定义域为R，设u＝x2－2x＋3，所以u在（－∞，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，而y＝log12u在（0，＋∞）上单调递减，由复合函数的单调性可知，函数y＝log12（x2－2x＋知识点二函数的最值（值域）前提设函数y＝f（x）的定义域为D，如果存在实数M满足条件①∀x∈D，都有f（x）≤M；②∃x0∈D，使得f（x0）＝M①∀x∈D，都有f（x）≥M；②∃x0∈D，使得f（x0）＝M结论M是函数y＝f（x）的最大值M是函数y＝f（x）的最小值（1）（人A必修一P81例5改编）函数g（x）＝2x－1x在区间［12，2］上的最小值是（A.－1 B.0C.－2 D.3解析：（1）（单调性法）∵g（x）＝2x－1x＝2＋－1x，∴g（x）在［12，2］上单调递增，∴g（x）min＝g（12）＝2（2）已知x＞1，则f（x）＝x－1x2+2解析：（2）（换元法）令x－1＝t，则x＝t＋1，t＞0，则g（t）＝t（t+1）2+2＝tt2+2t+3＝1t＋3t+2.∵t＋3t≥23，当且仅当t＝3规律方法求函数最值（值域）的常用方法（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；（2）数形结合法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；（3）配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题；（4）换元法：引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”；（5）分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式.练2（1）已知函数f（x）＝2x＋（a－2）x－1（a＞0）在区间[2，6]A.2 B.3C.15 D.3或15（2）对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝a，a≤b，b，a＞b.设函数f（x）＝－x＋3，g（x）＝log2x，则函数h（x）＝min{f（解析：（1）f（x）＝2x＋（a－2）x－1＝2（x－1）＋ax－1＝2＋ax－1.因为a＞0，所以函数f（x）在（1，＋∞）上单调递减，所以函数f（x）在区间[2（2）法一（数形结合法）在同一坐标系中，作出函数f（x），g（x）的图象，依题意，h（x）的图象为如图所示的实线部分.易知点A（2，1）为图象的最高点，因此h（x）的最大值为h（2）＝1.法二（单调性法）依题意，h（x）＝log2x，0<x≤2，－x+3，x>2.当0＜x≤2时，h（x）＝log2x单调递增，当x＞2时，h（x）＝3－x单调递减，因此提能点函数单调性的应用角度1比较函数值的大小（1）（2025·锦州联考）若f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的偶函数，对任意的x1，x2∈[0，＋∞）且x1≠x2，有f（x2)−f（x1）xA.f（3）＜f（1）＜f（－2）B.f（3）＜f（－2）＜f（1）C.f（－2）＜f（1）＜f（3）D.f（1）＜f（－2）＜f（3）解析：（1）∵对任意的x1，x2∈[0，＋∞）且x1≠x2，有f（x2)−f（x1）x2－x1＜0.∴当x≥0时，函数f（x）单调递减，∴f（3）＜f（2）＜f（1），又f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的偶函数，f（x）＝f（2）若a＝ln3，b＝lg5，c＝log126，则（D）A.a＞b＞c B.b＞c＞aC.c＞b＞a D.a＞c＞b解析：（2）∵a＝ln3＞lne＝1，b＝lg5＜lg10＝1，c＝log126＜log1212＝1，∴a＞b，a＞c，只要比较b与c的大小，∵lg5＝log25log210＝log251+log25，log126＝log26log212＝log261+log26，∴构造函数f（x）＝x1+x＝1－11+x（x＞0），显然函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，又0＜log25＜log26规律方法利用单调性比较函数值大小的方法（1）若题目条件中有具体函数，比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，或采用插值法比较大小；（2）若题目条件中无具体函数，则需根据数值的结构特征构造函数，再利用其单调性比较大小.角度2解函数不等式（1）（2025·济宁模拟）函数y＝f（x）是定义在[－2，2]上的减函数，且f（a＋1）＜f（2a），则实数a的取值范围是（C）A.[－1，0） B.（－1，0）C.[－1，1） D.（－1，1）解析：（1）依题意得－2≤a+1≤2，－2≤2a≤2，a+1>2a⇒－1≤（2）（2025·大庆调研）已知函数f（x）＝2x，x≥0，x3+1，x<0，若f（a）＜f（6A.（－∞，－2）∪（3，＋∞） B.（－2，3）C.（－∞，－3）∪（2，＋∞） D.（－3，2）解析：（2）函数f（x）的图象如图，由图可知f（x）在R上单调递增.因为f（a）＜f（6－a2），所以a＜6－a2，解得－3＜a＜2，故选D.规律方法角度3求参数的值（范围）（1）（2024·新高考Ⅰ卷6题）已知函数f（x）＝－x2－2ax－a，x<0，exA.（－∞，0] B.[－1，0]C.[－1，1] D.[0，＋∞）（2）已知函数f（x）是R上的减函数，若f（ax2－2x）在（1，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（－∞，0].解析：（1）因为f（x）在R上单调递增，且x≥0时，f（x）＝ex＋ln（x＋1）单调递增，则需满足－－2a2×(−1）≥0，－a≤e0＋ln1，解得－1≤a解析：（2）由题意知函数y＝ax2－2x在（1，＋∞）上单调递减，故a<0，1a≤1或a＝0，规律方法利用函数的单调性求参数的方法（1）根据函数的单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组））或先得到其图象的升降，再结合图象求解；（2）对于分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.练3（1）（2025·四川外国语大学附中模拟）若函数f（x）＝4｜x－a｜＋3在区间[1，＋∞）上不单调，则a的取值范围是（B）A.[1，＋∞） B.（1，＋∞）C.（－∞，1） D.（－∞，1]（2）（2023·全国甲卷文11题）已知函数f（x）＝e−(x－1）2，记a＝f（22），b＝f（32），c＝f（6A.b＞c＞a B.b＞a＞cC.c＞b＞a D.c＞a＞b（3）（2025·湘潭统考）已知函数f（x）＝lnx＋2x，若f（x2－4）＜2，则实数x的取值范围是（－5，－2）∪（2，5）.解析：（1）因为函数f（x）＝4｜x－a｜＋3在（－∞，a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增.又函数f（x）在区间[1，＋∞）上不单调，所以a＞1，故选B.（2）函数f（x）＝e−(x－1）2是由函数y＝eu和u＝－（x－1）2复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－（x－1）2在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.易知f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f（62）＝f（2－62），又22＜2－62＜32＜1，所以f（22）＜f（2－62）＜f（（3）因为函数f（x）＝lnx＋2x在定义域（0，＋∞）上单调递增，且f（1）＝ln1＋2＝2，所以由f（x2－4）＜2，得f（x2－4）＜f（1），所以0＜x2－4＜1，解得－5＜x＜－2或2＜x＜5.一、单项选择题1.（2025·菏泽检测）下列函数中，在区间（0，1）上单调递增的是（）A.y＝－x2＋1 B.y＝xC.y＝1x D.y＝3－解析：By＝－x2＋1在区间（0，1）上单调递减，故A不符合题意；y＝x是[0，＋∞）上的增函数，所以在区间（0，1）上单调递增，故B符合题意；y＝1x在（0，＋∞）上单调递减，所以在区间（0，1）上单调递减，故C不符合题意；y＝3－x在区间（0，1）上单调递减，故D不符合题意2.函数f（x）＝3+2x－x2A.（－∞，1] B.[1，＋∞）C.[1，3] D.[－1，1]解析：D函数f（x）＝3+2x－x2的定义域需要满足3＋2x－x2≥0，解得f（x）定义域为[－1，3]，因为y＝3＋2x－x2在[－1，1]上单调递增，所以f（x）＝3+2x－x2在[－13.（2025·武汉一模）已知函数f（x）＝x｜x｜，则关于x的不等式f（2x）＞f（1－x）的解集为（）A.（13，＋∞） B.（－∞，1C.（13，1） D.（－1，1解析：A由f（x）＝x｜x｜＝x2，x≥0，－x2，x<0，故f（x）在R上是增函数，由f（2x）＞f（1－x），有2x＞4.函数f（x）＝2x－x－1的最小值为（A.34 C.158 解析：C设t＝x－1，则x＝t2＋1，且t≥0，则g（t）＝2（t2＋1）－t＝2（t－14）2＋158（t≥0），其图象开口向上，对称轴为直线t＝14，所以g（t）在［0，14］上单调递减，在［14，＋∞）上单调递增，从而当t＝14时，g（t）取得最小值，即5.已知函数f（x）＝x＋x3，x1，x2，x3∈R，x1＋x2＜0，x2＋x3＜0，x3＋x1＜0，那么f（x1）＋f（x2）＋f（x3）的值（）A.一定大于0 B.一定小于0C.等于0 D.正负都有可能解析：B因为f（x）＝x＋x3是增函数，且x1＋x2＜0，所以f（x1）＜f（－x2）.又易验证f（－x）＝－f（x），所以f（x1）＜－f（x2），即f（x1）＋f（x2）＜0.同理f（x2）＋f（x3）＜0，f（x3）＋f（x1）＜0.所以f（x1）＋f（x2）＋f（x3）＝12[f（x1）＋f（x2）＋f（x2）＋f（x3）＋f（x3）＋f（x1）]＜06.已知函数f（x）＝ex－e－x，x>0，－x2，x≤0，若a＝50.01，b＝A.f（a）＞f（b）＞f（c） B.f（b）＞f（a）＞f（c）C.f（a）＞f（c）＞f（b） D.f（c）＞f（a）＞f（b）解析：Ay＝ex是增函数，y＝－e－x是增函数，因此在（0，＋∞）上f（x）＝ex－e－x单调递增，且此时f（x）＞0；又f（x）＝－x2在（－∞，0]上单调递增，且f（x）≤0，所以f（x）在R上是增函数.c＝log20.9＜0，0＜b＝log32＜1，a＝50.01＞1，即a＞b＞c，所以f（a）＞f（b）＞f（c）.7.（2025·滁州调研）若存在非正实数使得方程2x－a＝1x－1成立，则实数a的取值范围为A.（－∞，0） B.[－2，0）C.（0，2] D.[2，＋∞）解析：C由题意可得：a＝2x－1x－1，令f（x）＝2x－1x－1（x≤0），因为y＝2x，y＝－1x－1在（－∞，0]上均单调递增，所以f（x）＝2x－1x－1在（－∞，0]上单调递增，且f（0）＝2，2x＞0，－1x－1＞0，所以0＜2二、多项选择题8.（2025·泰安一模）已知函数f（x）满足f（1x）＝2x+1x+1，则关于函数f（xA.f（x）的定义域为{x｜x≠－1}B.f（x）的值域为{y｜y≠1，且y≠2}C.f（x）在（0，＋∞）上单调递减D.不等式f（x）＞2的解集为（－1，0）解析：BCD由于f（1x）＝2x+1x+1＝2+1x1+1x，故f（x）＝2+xx+1＝1＋1x+1（x≠0且x≠－1），所以f（x）的定义域为{x｜x≠－1，且x≠0}，作出其图象（图象略），由图象知，f（x）的值域为{y｜y≠1，且y≠2}；f（x）在（0，＋∞）上单调递减；f（x9.（2025·扬州开学考试）已知函数f（x）＝x2－2ax＋a在区间（－∞，1）上有最小值，则函数g（x）＝f（x）x在区间[1，＋∞）A.单调递减 B.单调递增C.有最小值 D.有最大值解析：BC∵函数f（x）＝x2－2ax＋a在区间（－∞，1）上有最小值，∴函数f（x）＝x2－2ax＋a的对称轴应位于区间（－∞，1）内，∴a＜1，则g（x）＝f（x）x＝x＋ax－2a，当a＜0时，g（x）＝x＋ax－2a在区间[1，＋∞）上单调递增，此时，g（x）≥g（1）＝1－a；当a＝0时，g（x）＝x在区间[1，＋∞）上单调递增，此时，g（x）≥g（1）＝1；当0＜a＜1时，g（x）＝x＋ax－2a，g'（x）＝1－ax2≥1－a＞0，∴g（x）在[1，＋∞）上单调递增，此时g（x）≥g（1）＝三、填空题10.函数f（x）＝1x，x≥1，－x2+2解析：法一（图象法）作出函数f（x）＝1x，x≥1，－x2+2，x<1的图象（如图所示），f（x）max＝f（0）＝2.由函数图象可知法二（单调性法）当x≥1时，函数f（x）＝1x单调递减，所以f（x）在x＝1处取得最大值，为f（1）＝1；当x＜1时，易知函数f（x）＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f（0）＝2.故函数f（x）的最大值为2.所以f（x）的值域为（－∞，2]11.（2025·无锡调研）已知函数f（x）＝3｜x－a｜（a为常数）.若f（x）在区间[1，＋∞）上单调递增，则a的取值范围为（－∞，1].解析：由题意可知：y＝3u在R上是增函数，且u＝｜x－a｜在（－∞，a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增，所以f（x）在（－∞，a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增，若f（x）在区间[1，＋∞）上单调递增，则a≤1，所以a的取值范围为（－∞，1].12.（2025·顺义一模）能使“函数f（x）＝x｜x－1｜在区间I上不是单调函数，且在区间I上的函数值的集合为[0，2]”是真命题的一个区间I为［12，2］（答案不唯一）解析：当x≥1时，f（x）＝x（x－1）＝x2－x；当x＜1时，f（x）＝x（1－x）＝－x2＋x，∴f（x）在－∞，12，（1，＋∞）上单调递增，在12，1上单调递减.令f（x）＝0，解得x＝1或x＝0；令f（x）＝2，解得x＝2，∴只需I＝[a，2]，0≤a＜1或I＝（b，2]，0≤b＜1时，f（x）在I上不单调且函数值的集合为四、解答题13.（2025·滨州一模）已知函数f（x）＝a－22（1）求f（0）；（2）探究f（x）的单调性，并证明你的结论；（3）若f（x）为奇函数，求满足f（ax）＜f（2）的x的取值范围.解：（1）f（0）＝a－220+1＝a（2）f（x）在R上为增函数.证明如下：∵f（x）的定义域为R，∴任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝a－22x1+1＝2·∵y＝2x在R上为增函数且x1＜x2，∴0＜2x1＜2x2，∴2x1－2x2＜0，2x1＋∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在R上为增函数.（3）∵f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x），即a－22－x+1＝－a＋22x∴f（ax）＜f（2），即为f（x）＜f（2）.又∵f（x）在R上为增函数，∴x＜2.∴x的取值范围是（－∞，2）.14.（2025·绍兴期末节选）设f（x）＝x2＋1，g（x）＝f（f（x）），F（x）＝g（x）－λf（x）.问是否存在实数λ，使F（x）在区间（－∞，－22）上单调递减且在区间（－22，0）上单调递增？若存在，求出λ的值；若不存在，解：假设存在满足条件的实数λ，则由f（x）＝x2＋1，g（x）＝f（f（x）），得g（x）＝（x2＋1）2＋1.∴F（x）＝g（x）－λf（x）＝x4＋（2－λ）x2＋2－λ.令t＝x2，则t＝x2在（－∞，0）上单调递减，且当x∈（－∞，－22）时，t＞1当x∈（－