2026年高考数学一轮复习三维设计创新-第2节　函数的单调性与最值

第2节函数的单调性与最值高中总复习·数学课标要求（1）借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义；（2）掌握函数单调性的简单应用.目录CONTENTS知识点一函数的单调性01.知识点二函数的最值（值域）02.课时跟踪检测03.PART01知识点一函数的单调性1.

单调性的定义定义要求x1，x2一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I⊆D，如

果

x1，x2∈I，当x1＜x2时要求f（x1）与f（x2）都有

⁠都有

⁠

⁠结论函数f（x）在区间I上

⁠

；若函数f（x）在定义

域D上单调递增，则f（x）为

增函数函数f（x）在区间I

上

；若函数

f（x）在定义域D上单调

递减，则f（x）为减函数∀

f（x1）＜f（x2）

f（x1）＞f

（x2）

单调

递增

单调递减

图象描述

自左向右看图象是

⁠

自左向右看图象是

⁠

⁠上升的

下降

的

2.

单调区间的定义如果函数y＝f（x）在区间I上

或

，那么就说

函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，

叫做y＝f

（x）的单调区间.单调递增

单调递减

区间I

（1）〔多选〕（北师必修一P65习题A

5题改编）下列函数在（0，＋

∞）上单调递增的是（

AC

）A.

y＝ex－e－xB.

y＝｜x2－2x｜C.

y＝2x＋2cos

xD.

y＝

AC

规律方法1.

求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2.

函数单调性的判断方法（1）定义法；（2）图象法；（3）利用已知函数的单调性；（4）导

数法.提醒

函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或

“和”连接，不能用“∪”.练1（1）函数f（x）＝（x－4）·｜x｜的单调递增区间是（

C

）A.

（－∞，0）B.（－∞，0）∪（2，＋∞）C.

（－∞，0）和（2，＋∞）D.（2，＋∞）

C

A.

（－∞，1）B.（－1，0）C.

（－1，1）D.（1，＋∞）

APART02知识点二函数的最值（值域）前提设函数y＝f（x）的定义域为D，如果存在实数M满足条件①∀x∈D，都有

⁠

⁠；②∃x0∈D，使得

⁠

⁠①∀x∈D，都有

⁠

⁠；②∃x0∈D，使得

⁠

⁠结论M是函数y＝f（x）的最大值M是函数y＝f（x）的最小值f（x）

≤M

f（x0）＝

M

f（x）

≥M

f（x0）＝

M

A.

－1B.0C.

－2D.

B

规律方法求函数最值（值域）的常用方法（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；（2）数形结合法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出

最值；（3）配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题；（4）换元法：引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变

量代换”；（5）分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把

函数分离成一个常数和一个分式和的形式.

A.2B.3C.15D.3或15

B

解析：法一（数形结合法）在同一坐标系中，作出

函数f（x），g（x）的图象，依题意，h（x）的图象为

如图所示的实线部分.易知点A（2，1）为图象的最高点，

因此h（x）的最大值为h（2）＝1.

1

提能点函数单调性的应用角度1

比较函数值的大小

A.

f（3）＜f（1）＜f（－2）B.

f（3）＜f（－2）＜f（1）C.

f（－2）＜f（1）＜f（3）D.

f（1）＜f（－2）＜f（3）B

（2）若a＝ln

3，b＝lg

5，c＝log126，则（

D

）A.

a＞b＞cB.

b＞c＞aC.

c＞b＞aD.

a＞c＞bD规律方法利用单调性比较函数值大小的方法（1）若题目条件中有具体函数，比较函数值的大小时，若自变量的值不

在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个

单调区间上进行比较，或采用插值法比较大小；（2）若题目条件中无具体函数，则需根据数值的结构特征构造函数，再

利用其单调性比较大小.角度2

解函数不等式

（1）（2025·济宁模拟）函数y＝f（x）是定义在[－2，2]上的减

函数，且f（a＋1）＜f（2a），则实数a的取值范围是（

C

）A.

[－1，0）B.（－1，0）C.

[－1，1）D.（－1，1）

C

A.

（－∞，－2）∪（3，＋∞）B.（－2，3）C.

（－∞，－3）∪（2，＋∞）D.（－3，2）解析：函数f（x）的图象如图，由图可知f（x）在R上单调递增.因为f（a）＜f（6－a2），所以a＜6－a2，解得－3＜a＜2，故选D.

D规律方法角度3

求参数的值（范围）

A.

（－∞，0]B.[－1，0]C.

[－1，1]D.[0，＋∞）B

（2）已知函数f（x）是R上的减函数，若f（ax2－2x）在（1，＋∞）上

单调递增，则实数a的取值范围是

⁠.

（－∞，0]

规律方法利用函数的单调性求参数的方法（1）根据函数的单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式

（组））或先得到其图象的升降，再结合图象求解；（2）对于分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.练3（1）（2025·四川外国语大学附中模拟）若函数f（x）＝4｜x－

a｜＋3在区间[1，＋∞）上不单调，则a的取值范围是（

B

）A.

[1，＋∞）B.（1，＋∞）C.

（－∞，1）D.（－∞，1]解析：因为函数f（x）＝4｜x－a｜＋3在（－∞，a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增.又函数f（x）在区间[1，＋∞）上不单调，所以a＞1，故选B.

B

A.

b＞c＞aB.

b＞a＞cC.

c＞b＞aD.

c＞a＞bA

（3）（2025·湘潭统考）已知函数f（x）＝ln

x＋2x，若f（x2－4）＜

2，则实数x的取值范围是

⁠.

PART03课时跟踪检测一、单项选择题1.

（2025·菏泽检测）下列函数中，在区间（0，1）上单调递增的是（

）A.

y＝－x2＋1B.

y＝

C.

y＝

D.

y＝3－x12345678910111213141516√

12345678910111213141516

A.

（－∞，1]B.[1，＋∞）C.

[1，3]D.[－1，1]

√123456789101112131415163.

（2025·武汉一模）已知函数f（x）＝x｜x｜，则关于x的不等式f

（2x）＞f（1－x）的解集为（

）A.

（

，＋∞）B.（－∞，

）C.

（

，1）D.（－1，

）

√12345678910111213141516

A.

B.1C.

D.2

√123456789101112131415165.

已知函数f（x）＝x＋x3，x1，x2，x3∈R，x1＋x2＜0，x2＋x3＜0，x3

＋x1＜0，那么f（x1）＋f（x2）＋f（x3）的值（

）A.

一定大于0B.一定小于0C.

等于0D.正负都有可能

√12345678910111213141516

A.

f（a）＞f（b）＞f（c）B.

f（b）＞f（a）＞f（c）C.

f（a）＞f（c）＞f（b）D.

f（c）＞f（a）＞f（b）解析：

y＝ex是增函数，y＝－e－x是增函数，因此在（0，＋∞）上f

（x）＝ex－e－x单调递增，且此时f（x）＞0；又f（x）＝－x2在（－

∞，0]上单调递增，且f（x）≤0，所以f（x）在R上是增函数.c＝

log20.9＜0，0＜b＝log32＜1，a＝50.01＞1，即a＞b＞c，所以f（a）＞

f（b）＞f（c）.√12345678910111213141516

A.

（－∞，0）B.[－2，0）C.

（0，2]D.[2，＋∞）

√12345678910111213141516

A.

f（x）的定义域为{x｜x≠－1}B.

f（x）的值域为{y｜y≠1，且y≠2}C.

f（x）在（0，＋∞）上单调递减D.

不等式f（x）＞2的解集为（－1，0）√√√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

单调递减B.单调递增C.

有最小值D.有最大值√√12345678910111213141516

12345678910111213141516

（－∞，2]

12345678910111213141516

1234567891011121314151611.

（2025·无锡调研）已知函数f（x）＝3｜x－a｜（a为常数）.若f

（x）在区间[1，＋∞）上单调递增，则a的取值范围为

⁠.解析：由题意可知：y＝3u在R上是增函数，且u＝｜x－a｜在（－∞，

a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增，所以f（x）在（－∞，a）

上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增，若f（x）在区间[1，＋∞）上

单调递增，则a≤1，所以a的取值范围为（－∞，1].（－∞，1]

1234567891011121314151612.

（2025·顺义一模）能使“函数f（x）＝x｜x－1｜在区间I上不是

单调函数，且在区间I上的函数值的集合为[0，2]”是真命题的一个区间I

为