2026年高考数学一轮复习三维设计创新-第3节　导数与函数的极值、最值

第3节导数与函数的极值、最值高中总复习·数学课标要求（1）借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件；（2）会用导数求函数的极大值、极小值；（3）掌握利用导数研究函数最值的方法；（4）会用导数研究生活中的最优化问题.目录CONTENTS知识点一函数的极值01.知识点二函数的最值02.课时跟踪检测03.PART01知识点一函数的极值条件f'（x0）＝0x0附近的左侧f'（x）

0，右

侧f'（x）

⁠0x0附近的左侧f'

（x）

0，右侧f'

（x）

⁠0图象

形如山峰

形如山谷＞

＜

＜

＞

f'（x0）＝0极值f（x0）为极

⁠值f（x0）为极

⁠值极值点x0为极

⁠值点x0为极

⁠值点大

小

大

小

提醒

f'（x0）＝0是x0为可导函数f（x）的极值点的必要不充分条件.如：f

（x）＝x3，f'（0）＝0，但x＝0不是极值点.

（1）〔多选〕（人A选二P92练习1题改编）如图是y＝f（x）的导

函数f'（x）的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（

AC

）A.

当x＝－1时，f（x）取得极小值B.

f（x）在[－2，1]上单调递增C.

当x＝2时，f（x）取得极大值D.

f（x）在[－1，2]上不具备单调性AC解析：由导函数f'（x）的图象知，当x＝－1时，f（x）取得极小值，故选项A正确；f（x）在[－2，1]上有减有增，故选项B错误；当x＝2时，f（x）取得极大值，故选项C正确；f（x）在[－1，2]上单调递增，故选项D错误.

x（0，e）e（e，＋∞）f'（x）＋0－f（x）↗极大值↘

规律方法利用导数求函数f（x）极值的步骤（1）确定函数f（x）的定义域；（2）求导数f'（x）；（3）解方程f'（x）＝0，求出函数定义域内的所有根；（4）列表检验f'（x）在f'（x）＝0的根x0左右两侧值的符号；（5）求出极值.

A.0B.1C.2D.无数

A（2）（2025·岳阳质量监测）函数f（x）＝6＋12x－x3的极小值为

⁠

⁠.解析：函数f（x）＝6＋12x－x3的定义域为R，且f'（x）＝12－3x2＝3（2－x）（2＋x），所以当－2＜x＜2时f'（x）＞0，当x＜－2或x＞2时，f'（x）＜0，所以f（x）在（－2，2）上单调递增，在（－∞，－2），（2，＋∞）上单调递减，所以f（x）在x＝－2处取得极小值，极小值为－10.－10

PART02知识点二函数的最值1.

如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条

⁠的曲

线，那么它必有最大值和最小值.2.

若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f（a）为函数的

⁠，

f（b）为函数的

；若函数f（x）在[a，b]上单调递减，则f

（a）为函数的

，f（b）为函数的

⁠.连续不断

最小值

最大值

最大值

最小值

结论

（1）若函数f（x）在[a，b]上单调，则f（x）一定在区间端点处

取得最值；（2）若函数f（x）在区间（a，b）内只有一个极值点，则该极值点一定

是函数相应的最值点.

A.

，－2πB.

，－

C.2π，－

D.2π，－2πA

（2）已知函数f（x）＝2ln

x，g（x）＝x＋2，若f（x1）＝g（x2），

则x2－2x1的最大值为

⁠.

－4

规律方法利用导数求给定区间上函数最值的步骤（1）求函数f（x）的导数f'（x）；（2）利用f'（x）＝0求f（x）在给定区间上所有极值点的函数值；（3）求f（x）在给定区间上的端点值；（4）将f（x）的各极值与f（x）的端点值进行比较，确定f（x）的最大

值与最小值.

π

0

e＋2

已知函数f（x）＝（x－2）（ex－ax），当a＞0时，讨论f（x）的

极值情况.解：∵f'（x）＝（ex－ax）＋（x－2）（ex－a）＝（x－1）（ex－

2a），由f'（x）＝0得x＝1或x＝ln

2a（a＞0）.

提能点1函数极值的综合问题

x（－∞，ln

2a）ln

2a（ln

2a，1）1（1，＋∞）f'（x）＋0－0＋f（x）↗极大值↘极小值↗故f（x）有极大值f（ln

2a）＝－a（ln

2a－2）2，极小值f（1）＝a－e.

x（－∞，1）1（1，ln

2a）ln

2a（ln

2a，＋∞）f'（x）＋0－0＋f（x）↗极大值↘极小值↗

规律方法已知函数极值点或极值求参数的2个要领（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定

系数法求解；（2）验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用

待定系数法求解后必须验证根的合理性.提醒

若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f（x）在

（a，b）内不是单调函数.

A.

（

，e）B.（－e，－

）C.

（－∞，

）D.（－∞，－e）B

（1，＋∞）

提能点2函数最值的综合问题

（1）讨论f（x）的单调性；

①若a≤0，则f'（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立，所以f（x）在（0，＋

∞）上单调递减；②若a＞0，则当x＞a时，f'（x）＜0；当0＜x＜a时，f'（x）＞0，所以

f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，＋∞）上单调递减.

规律方法

求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参

数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值.

A.

－1B.－

C.

D.1

B（2）已知函数f（x）＝ax2－（a＋2）x＋ln

x，当a＞0时，f（x）在区

间[1，e]上的最小值为－2，则实数a的取值范围为

⁠.

[1，＋∞）

PART03课时跟踪检测一、单项选择题1.

函数f（x）＝ln

x－x在区间（0，e]上的最大值为（

）A.1－eB.－1C.

－eD.0

√123456789101112131415162.

（2025·伊春开学考试）函数f（x）＝（4x－5）e2x的极值点为（

）A.

B.

C.

D.

√123456789101112131415163.

已知函数f（x）＝2ln

x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f（x）的

极大值为（

）A.2B.－

C.3＋ln

2D.－2＋2ln

2

√12345678910111213141516

A.

B.

C.

D.

√

123456789101112131415165.

（2025·南通一模）若函数f（x）＝eax＋2x有大于零的极值点，则实

数a的取值范围为（

）A.

a＞－2B.

a＞－

C.

a＜－2D.

a＜－

√12345678910111213141516

123456789101112131415166.

（2025·东北三省四市教研联合体模拟）在同一平面直角坐标系内，函

数y＝f（x）及其导函数y＝f'（x）的图象如图所示，已知两图象有且仅

有一个公共点，其坐标为（0，1），则（

）A.

函数y＝f（x）·ex的最大值为1B.

函数y＝f（x）·ex的最小值为1C.

函数y＝

的最大值为1D.

函数y＝

的最小值为1√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

（0，＋∞）B.（0，1）C.

（－∞，0）D.（－1，0）√

12345678910111213141516

12345678910111213141516二、多项选择题8.

（2024·新高考Ⅰ卷10题）设函数f（x）＝（x－1）2（x－4），则

（

）A.

x＝3是f（x）的极小值点B.

当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2）C.

当1＜x＜2时，－4＜f（2x－1）＜0D.

当－1＜x＜0时，f（2－x）＞f（x）√√√12345678910111213141516解析：

对A，因为函数f（x）的定义域为R，而f'（x）＝2（x－1）（x－4）＋（x－1）2＝3（x－1）·（x－3），易知当x∈（1，3）时，f'（x）＜0，当x∈（－∞，1）或x∈（3，＋∞）时，f'（x）＞0，故函数f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减，在（3，＋∞）上单调递增，故x＝3是函数f（x）的极小值点，A正确；对B，当0＜x＜1时，x－x2＝x（1－x）＞0，所以x＞x2，又函数f（x）在（0，1）上单调递增，所以f（x）＞f（x2），B错误；对C，当1＜x＜2时，1＜2x－1＜3，而由上可知，函数f（x）在（1，3）上单调递减，所以f（1）＞f（2x－1）＞f（3），即－4＜f（2x－1）＜0，C正确；对D，由2－x－x＝2－2x，又－1＜x＜0，故2－2x＞0，所以f（2－x）－f（x）＝（1－x）2（－2－x）－（x－1）2（x－4）＝（x－1）2（2

－2x）＞0，D正确.故选A、C、D.

12345678910111213141516

A.

bc＞0B.

ab＞0C.

b2＋8ac＞0D.

ac＜0√√√12345678910111213141516

12345678910111213141516

1234567891011121314151611.

某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价

定为p（p≥20）元时的销售量为Q件，且Q＝8

300－170p－p2，则这批

商品的最大毛利润（毛利润＝销售收入－进货支出）为

元.解析：设毛利润为L（p）元，由题意知L（p）＝pQ－20Q＝Q（p－

20）＝（8

300－170p－p2）（p－20）＝－p3－150p2＋11

700p－166

000

（p≥20），所以L'（p）＝－3p2－300p＋11

700.令L'（p）＝0，解得p

＝30或p＝－130（舍去）.因为当20≤p＜30时，L'（p）＞0，当p＞30

时，L'（p）＜0，所以L（30）是极大值，根据实际问题的意义知，L

（30）也是最大值，此时，L（30）＝23

000，即零售价定为每件30元

时，最大毛利润为23

000元.23

000

1234567891011121314151612.

（2025·湛江模拟）已知函数f（x）＝x3－x2＋ax（x∈R），g

（x）＝x2＋（2－a）ln

x，若f（x）与g（x）中恰有一个函数无极值，

则实数a的取值范围是

⁠.

12345678910111213141516

12345678910111213141516四、解答题13.

已知函数f（x）＝2ex（x＋1）.（1）求函数f（x）的极值；解：f'（x）＝2ex（x＋2），由f'（x）＞0，得x＞－2；由f'（x）＜0，得x＜－2.∴f（x）在（－2，＋∞）上单调递增，在（－∞，－2）上单调递减.∴f（x）的极小值为f（－2）＝－2e－2，无极大值.12345678910111213141516（2）求函数f（x）在区间[t，t＋1]（t＞－3）上的最小值g（t）.

1234567891011121314151614.

已知函数f（x）＝ln

x－ax，x∈（0，e]，其中e为自然对数的底数.（1）若x＝1为f（x）的极值点，求f（x）的单调区间和最大值；

12345678910111213141516（2）是否存在实数a，使得f（x）的最大值是－3？若存在，求出a的

值；若不存在，说明理由.

12345678910111213141516

1234567891011121314151615.

（2024·贵阳摸底）如图，A，B两点分别在x，y轴上滑动，

OP⊥AB，P为垂足，P点轨迹形成“四叶草”的图形，若｜AB｜＝2