2026年高考数学一轮复习三维设计创新-第3节　等比数列及其前n项和

第3节等比数列及其前n项和高中总复习·数学课标要求（1）通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义；（2）掌握等比数列前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系；（3）能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题；（4）体会等比数列与指数函数的关系.目录CONTENTS知识点一等比数列的有关概念01.知识点二等比数列的性质02.课时跟踪检测03.PART01知识点一等比数列的有关概念

2.

等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.

即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.提醒

只有当两个数同号时，这两个数才有等比中项，且等比中项有两个，

它们互为相反数.同

一个

公

比

q

3.

等比数列的有关公式（1）通项公式：an＝a1qn－1；

（1）（人A选二P34练习1题改编）在1和9之间插入三个数，使这五

个数组成正项等比数列，则中间三个数的积等于（

D

）A.

－27B.－3C.3D.27

D（2）（2023·全国甲卷理5题）设等比数列{an}的各项均为正数，前n项

和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝（

C

）A.

B.

C.15D.40C

规律方法等比数列基本量运算的解题策略（1）等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，q，an，

Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）求解；（2）解方程组时常常利用“作商”消元法；（3）运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否

则会漏解或增解.练1（1）（2025·洛平许济质量检测）已知等比数列{an}的公比为q，若

a1＋a2＝12，且a1，a2＋6，a3成等差数列，则q＝（

C

）A.

B.－

C.3D.－3

C

PART02知识点二等比数列的性质角度1

项的性质1.

等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m（n，m∈N*）.2.

若m＋n＝p＋q，则

，其中m，n，p，q∈N*.特别

地，若2w＝m＋n，则

，其中m，n，w∈N*.3.

ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为

（k，m∈N*）.

aman＝apaq

qm

增

减

（1）（2025·滁州一模）已知{an}是单调递增的等比数列，a4＋a5

＝24，a3a6＝128，则公比q＝（

A

）A.2B.－2C.3D.－3

A

A.2B.1C.

D.

B

A.

B.2C.

D.4

√规律方法1.

在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别

是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提

高解题速度.2.

在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适

当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.角度2

前n项和的性质1.

若等比数列{an}的公比q≠－1，前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n

－S2n仍成等比数列，其公比为

⁠.

3.

Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn.

qn

（1）已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比

偶数项的和大80，则公比q＝（

B

）A.1B.2C.3D.4B

（2）（2023·新高考Ⅱ卷8题）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝

－5，S6＝21S2，则S8＝（

C

）A.120B.85C.

－85D.－120C

规律方法

恰当地使用等比数列前n项和的性质，如当q≠－1，或q＝－1且n为

奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列等，可以避繁就简，

运算简便的同时避免了对公比q的讨论.但须注意性质的使用条件，并结合

题设寻找使用性质的切入点.练2（1）〔多选〕（2025·成都一模）设公比为q的等比数列{an}的前n

项积为Tn，若a2a8＝16，则（

BC

）A.

a5＝4B.

当a1＝1时，q＝±

C.log2｜T9｜＝18D.

＋

≥36BC

50

提能点1等比数列的判定与证明

2.

已知数列{an}的通项公式是an＝cqn（c，q为常数且不为0），则数列

{an}是等比数列.3.

数列{an}是等比数列⇔Sn＝Aqn－A（A，q为常数，且A≠0，q≠0，

1）.

（1）〔多选〕设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是

（

AD

）A.

数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列B.

数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列C.

数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列D.

数列

是公比为

的等比数列AD

（2）（2024·重庆九校联考）已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为

{an}的前n项和，从下面①②③三个条件中选取两个作为已知条件，证明

另外一个成立.①数列{an}是等比数列；②数列{Sn＋a1}是等比数列；③

a2＝2a1.注：如果选择多个组合分别解答，则按第一个解答计分.

规律方法

等比数列的判定与证明除用通项公式法与前n项和公式法外，还可用

定义法与等比中项法：

提醒

（1）在解答题中证明一个数列为等比数列时，一般用定义法；（2）如果要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续的三项不

成等比数列即可.

（1）证明：Sn＋1＝2Sn＋λ；

（2）是否存在实数λ，使得数列{an}为等比数列？若存在，求出λ；若

不存在，请说明理由.

提能点2等比数列中的最值问题

A.

q＞1B.0＜a6a8＜1C.

Sn的最大值为S7D.

Tn的最大值为T6BD

2

规律方法

涉及等比数列的最值问题，一般要讨论其单调性，并要考虑公比与首

项的符号.练4

（2024·徐州适应性测试）已知数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn＝

2an＋1，n∈N*.若Sk≥2

024，则正整数k的最小值为（

）A.11B.12C.13D.14√

PART03课时跟踪检测一、单项选择题

A.

B.

C.

D.

12345678910111213141516√

A.2B.

C.

D.

√123456789101112131415163.

在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步

不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.其大意是有人要去某关

口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路

程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则此人后三天所走的

里程数为（

）A.6B.12C.18D.42√12345678910111213141516

123456789101112131415164.

等比数列{an}共有奇数个项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和S偶

＝－126，末项是192，则首项a1＝（

）A.1B.2C.3D.4

√123456789101112131415165.

已知Sn是正项等比数列{an}的前n项和，S10＝20，则S30－2S20＋S10的

最小值为（

）A.

－5B.－1C.1D.5

√123456789101112131415166.

数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman.若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－

25，则k＝（

）A.2B.3C.4D.5

√123456789101112131415167.

设{an}是首项为正数，公比为q的无穷等比数列，其前n项和为Sn.若存

在无穷多个正整数k，使Sk≤0，则q的取值范围是（

）A.

（－∞，1）B.（－∞，－1]C.

[－1，0）D.（0，1）√12345678910111213141516

12345678910111213141516二、多项选择题8.

（2025·太原模拟）已知数列{an}是等比数列，以下结论正确的是

（

）A.

{

}是等比数列B.

若a3＝2，a7＝32，则a5＝±8C.

若a1＜a2＜a3，则数列{an}是递增数列D.

若数列{an}的前n项和Sn＝3n＋r，则r＝－1√√√12345678910111213141516

123456789101112131415169.

{an}是各项均为正数的等差数列，其公差d＞0，{bn}是等比数列，若

a1＝b1，a2

024＝b2

024，则（

）A.

a100＞b100B.

a100＜b100C.

a2

025＞b2

025D.

a2

025＜b2

025√√12345678910111213141516

12345678910111213141516三、填空题10.

（2025·聊城一模）已知数列{an}各项均为正数，若a1＝1，且ln

an＋1

＝ln

an＋1（n∈N*），则{an}的通项公式为

⁠.

an＝en－1

1234567891011121314151611.

设等比数列{an}的首项为1，公比为q，前n项和为Sn，若{Sn＋1}也是

等比数列，则q＝

⁠.

2

1234567891011121314151612.

将正整数按照如图所示方式排列：12

34

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15…

…

…试问2

025是表中第

行的第

个数.11

1

002

12345678910111213141516

12345678910111213141516四、解答题13.

已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋2.（1）证明数列{an＋2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；

12345678910111213141516（2）求数列{an}落入区间（10，2

026）的所有项的和.

1234567891011121314151614.

（2025·邯郸模拟）已知数列{an}的前n