2026年高考数学一轮复习三维设计创新-第3节　随机事件的概率与古典概型

第3节随机事件的概率与古典概型高中总复习·数学课标要求（1）理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系；（2）了解随机事件的并、交与互斥的含义，能进行随机事件的并、交运算；（3）理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率；（4）理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.目录CONTENTS知识点一随机事件与事件的关系及运算01.知识点二古典概型02.知识点三概率的基本性质与实际情境中的概率估计03.课时跟踪检测04.PART01知识点一随机事件与事件的关系及运算1.

样本空间和随机事件关键词含义样本点随机试验E的

的基本结果，常用ω表示样

本点样本空间

样本点的集合，常用Ω表示样本空间有限样本空间如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，

则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间随机事件样本空间Ω的

，常用大写字母A，B，C，…

表示每个可能

全体

子集

关键词含义基本事件只包含一个样本点的事件必然事件每次试验

⁠的事件不可能事件每次试验

⁠的事件一定发生

一定不发生

2.

事件的关系和运算事件的关系或运算含义符号表示包含关系A发生导致B发生A⊆B相等关系B⊇A且A⊇BA＝B并事件（和事件）A与B至少一个发生A∪B或A＋B交事件（积事件）A与B同时发生A∩B或AB互斥（互不相容）A与B不能同时发生A∩B＝⌀互为对立事件A与B有且仅有一个发生A∩B＝⌀，A∪B＝Ω结论当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，

一定互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件.

（1）〔多选〕抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：E＝“点数

为奇数”，F＝“点数为偶数”，G＝“点数大于2”，H＝“点数不大于

2”，R＝“点数为1”.则下列结论正确的是（

ACD

）A.

E，F为对立事件B.

G，H为互斥不对立事件C.

E，G不是互斥事件D.

G，R是互斥事件ACD解析：

点数为奇数与点数为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，所以E，F是对立事件，选项A正确；点数大于2与点数不大于2不可能同时发生，且必有一个发生，G，H为互斥且对立事件，选项B不正确；点数为奇数与点数大于2可能同时发生，E，G不互斥，选项C正确；点数大于2与点数为1不可能同时发生，G，R为互斥事件，选项D正确.故选A、C、D.

（2）〔多选〕对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设

事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰

有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，则下列关系正确的

是（

BC

）A.

A∩D＝⌀B.

B∩D＝⌀C.

A∪C＝DD.

A∪B＝B∪D解析：“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中、第二枚没中或第一枚

没中、第二枚击中，“至少有一弹击中飞机”包含两种情况，一种是恰有

一弹击中，另一种是两弹都击中，故A∩D≠⌀，B∩D＝⌀，A∪C＝

D，A∪B≠B∪D.

BC规律方法判断互斥事件、对立事件的两种方法（1）定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义，不可能同时发生的

两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为

对立事件，对立事件一定是互斥事件；（2）集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，

则事件互斥；②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事

件A所含的结果组成的集合的补集.练1（1）口袋里装有1红，2白，3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从中

取出两个球，事件A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至

少有一个黄球”，C＝“取出的两个球中至少有一个白球”，D＝“取出

的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断正

确的是（

）A.

A与D为对立事件B.

B与C是互斥事件C.

C与E是对立事件D.

A∩B＝B∩E√解析：当取出的两个球为一黄一白时，B与C都发生，B不正确；当

取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，C不正确；显然A

与D是对立事件，A正确；A∩B含有“黄黄”一个事件，而B∩E含有

“黄红”“黄白”“黄黄”三个事件，故A∩B≠B∩E，故D错误.（2）〔多选〕下列说法正确的是（

）A.

若事件A与B互斥，则A∪B是必然事件B.

《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国四大名著.若在

这四大名著（各一本）中，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设

事件E＝“甲取到《红楼梦》”，事件F＝“乙取到《红楼梦》”，则

E与F是互斥但不对立事件C.

掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A＝“向上的点数不大于

5”，事件B＝“向上的点数为质数”，则B⊆AD.10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则样本空间含

有2个样本点√√√解析：对于A，事件A与B互斥时，A∪B不一定是必然事件，故A错误；

对于B，事件E与F不会同时发生，所以E与F是互斥事件，但除了事件E

与F之外还有事件“丙取到《红楼梦》”“丁取到《红楼梦》”，所以E

与F不是对立事件，故E与F是互斥但不对立事件，故B正确；对于C，事

件A＝{1，2，3，4，5}，事件B＝{2，3，5}，所以B⊆A，故C正确；对

于D，样本空间Ω＝{正品，次品}，含有2个样本点，故D正确.PART02知识点二古典概型1.

古典概型的特征（1）有限性：样本空间的样本点只有

个；（2）等可能性：每个样本点发生的可能性

⁠.2.

古典概型的概率公式

有限

相等

（1）（2025·八省联考）有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，

5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字

之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为

⁠；

（2）（2024·新高考Ⅰ卷14题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标

有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有

数字2，4，6，8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持

有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1

分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此

后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率

为

⁠.解析：

甲出1一定输，所以最多得3分，要得3分，就只有一种组合1

－8，3－2，5－4，7－6.得2分有三类，分别列举如下：

①出3和出5时赢，其余输：1－6，3－2，5－4，7－8；②出3和出7时赢，其余输：1－4，3－2，5－8，7－6；1－8，3－2，5－

6，7－4；1－6，3－2，5－8，7－4；

2.

求样本空间中样本点个数的方法（1）枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题；（2）树状图法：适用于需要分步完成的试验结果.树状图在解决求样本点

总数和事件A包含的样本点个数的问题时直观、方便，但画树状图时要注

意按照一定的顺序确定分枝，避免造成遗漏或重复；（3）排列、组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列、组

合的知识.练2（1）（2025·上海模拟）已知向量a＝（x，y），b＝（1，－2），

从6张大小相同分别标有号码1，2，3，4，5，6的卡片中，有放回地抽取

两张，x，y分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足a·b

＞0的概率是（

D

）A.

B.

DC.

D.

（2）（2024·宝鸡三模）围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：

“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化

的丰富内涵.在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加

比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则

甲和乙不在同一个小组的概率为

⁠.

PART03知识点三概率的基本性质与实际情境中的概率估计1.

概率的基本性质性质1：对任意的事件A，都有P（A）≥0；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（Ω）＝1，P

（⌀）＝0；性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P（A∪B）＝

⁠

⁠；性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）＝1－P（A），

P（A）＝

⁠；P（A）＋P

（B）

1－P（B）

性质5：如果A⊆B，那么P（A）≤P（B），由该性质可得，对于任意

事件A，因为⌀⊆A⊆Ω，所以0≤P（A）≤1；性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（A∪B）

＝

⁠.P（A）＋P（B）－P（A∩B）

2.

频率和概率随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频

率fn（A）会逐渐

事件A发生的概率P（A），我们称频率的这

个性质为频率的稳定性.因此，可以用频率fn（A）估计概率P

（

A

）.结论若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P（A1∪A2∪…∪An）＝P

（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）.稳定于

A

A.

P（B）＝

B.

P（C）＝

C.

P（B∪C）＝

D.

P（B∩C）＝0ACD

（2）射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如表：命中环数10环9环8环7环概率0.320.280.180.12则该选手射击一次，命中9环或10环的概率为

；至少命中8环的概

率为

；命中不足8环的概率为

⁠.0.600.780.22

规律方法互斥事件概率的两种求法（1）将所求事件转化成几个彼此互斥事件的和事件，利用互斥事件的概

率加法公式求解概率；（2）若将一个较复杂的事件转化为几个彼此互斥事件的和事件时分类太

多，而其对立面的分类较少，可考虑先求其对立事件的概率，即运用“正

难则反”的思想.常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率.练3（1）〔多选〕某校为了解学校餐厅中午的用餐情况，分别统计了食用

大米套餐和面食的人数，剩下的为食用米线、汉堡等其他食品（每人只选

一种），结果如表所示：总人数食用大米套餐人数食用面食人数1

000550260假设随机抽取一位同学，记“中午吃大米套餐”为事件M，“吃面食”为

事件N，“吃米线、汉堡等其他食品”为事件H，若用频率估计事件发生

的概率，则下列结论正确的是（

ABC

）ABCA.

P（M）＝0.55B.

P（N）＝0.26C.

P（H）＝0.19D.

P（N∪H）＝0.65

（2）在数学考试中，小明的成绩（取整数）不低于90分的概率是0.18，

在[80，89]的概率是0.51，在[70，79]的概率是0.15，在[60，69]的概率

是0.09，在60分以下的概率是0.07，则小明在数学考试中成绩不低于70分

的概率为

；小明数学考试及格（60分及以上）的概率为

⁠.0.840.93解析：分别记小明的成绩“不低于90分”“[80，89]”“[70，79]”“[60，69]”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥.则小明的成绩不低于70分的概率是P（B∪C∪D）＝P（B）＋P（C）＋P（D）＝0.18＋0.51＋0.15＝0.84.法一小明数学考试及格的概率是P（B∪C∪D∪E）＝P（B）＋P（C）＋P（D）＋P（E）＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.法二小明数学考试不及格的概率是0.07，所以小明数学考试及格的概率是1－0.07＝0.93.PART04课时跟踪检测一、单项选择题1.

从A，B，C，D，E这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动，

则样本空间中样本点的个数为（

）A.5B.10C.15D.20

12345678910111213141516√

A.0.18B.0.42C.0.6D.0.7解析：

由于A⊆B，所以P（A∩B）＝P（A）＝0.6.故选C.

√123456789101112131415163.

（2024·济南三模）哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两

个素数的和”，如12＝5＋7，在不超过18的素数2，3，5，7，11，13，17

中，随机选取两个不同的数，其和等于18的概率是（

）A.

B.

√C.

D.

123456789101112131415164.

两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验是（

）A.

抛一枚硬币，正面朝上的概率B.

掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率C.

转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率D.

从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率√12345678910111213141516

123456789101112131415165.

从装有10个红球和10个白球的罐子里任取两球，下列情况中互斥而不对

立的两个事件的是（

）A.

至少有一个红球；至少有一个白球B.

恰有一个红球；都是白球C.

至少有一个红球；都是白球D.

至多有一个红球；都是红球√12345678910111213141516解析：

对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至

少有一个白球”也可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，

所以不是互斥事件；对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与

“都是白球”是互斥事件，而任取两球还可能都是红球，故两事件不是对

立事件；对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是

白球”显然是对立事件；对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红

一白，与“都是红球”是对立事件.12345678910111213141516

A.

B.

C.

D.

√12345678910111213141516

123456789101112131415167.

天上有三颗星星，地上有四个孩子.每个孩子向一颗星星许愿，如果一

颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两

个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至

少有两个孩子愿望成真的概率是（

）A.

B.

C.

D.

√12345678910111213141516

12345678910111213141516二、多项选择题8.

小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）随交通堵塞状

况有所变化，其概率分布如下表所示：所需时间（分钟）30405060线路一0.50.20.20.1线路二0.30.50.10.112345678910111213141516A.

任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是

对立事件B.

从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间C.

如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一D.

若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为

0.04则下列说法正确的是（

）√√12345678910111213141516解析：对于选项A，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，所以选项A错误；对于选项B，线路一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39分钟，线路二所需的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40分钟，所以线路一比线路二更节省时间，所以选项B正确；对于选项C，线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，所以选项C错误；对于选项D，所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为（50，60），（60，50）和（60，60）三种情况，概率为0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，所以选项D正确.故选B、D.

12345678910111213141516

A.

P（A）＝

B.

P（B）＝

C.

P（AB）＝

D.

P（

）＝

√√√12345678910111213141516

12345678910111213141516

只有一人破译出密码

1234567891011121314151611.

某公司现有员工120人，在荣获“优秀员工”称号的85人中，有75人是

高级工程师.既没有荣获“优秀员工”称号又不是高级工程师的员工共有

14人，公司将随机选择一名员工接受电视新闻节目的采访，被选中的员工

是高级工程师的概率为

⁠.

1234567891011121314151612.

将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数能组成等差数列的概

率为

⁠.

12345678910111213141516四、解答题13.

某食品公司在中秋节来临之际开发了一种月饼礼盒，礼盒中共有7个月

饼，其中有4个五仁月饼和3个枣泥月饼.（1）一次取出两个月饼，求两个月饼为同一种口味的概率；

123456789101112131