2026年高考数学一轮复习三维设计创新-第6节　指数与指数函数

第6节指数与指数函数高中总复习·数学课标要求（1）理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质；（2）通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象；（3）理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用.目录CONTENTS知识点一指数幂的运算01.知识点二指数函数的图象与性质02.课时跟踪检测03.PART01知识点一指数幂的运算1.

根式（1）如果xn＝a，那么

叫做a的n次方根；

x

根式

a

a

2.

有理数指数幂概念正分数指数幂：

＝

a＞0，m，

n∈N*，n＞1负分数指数幂：

＝

＝

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义运算性质aras＝ar＋sa＞0，b＞0，r，s∈Q（ar）s＝ars（ab）r＝arbr

（1）〔多选〕（人A必修一P109习题4题改编）下列计算正确的是

（

BC

）A.

＝

B.

·（4y－a）＝4xC.

÷

＝－9a（a＞0，b＞0）D.

－（1＋

）－1＋（1＋

）0＝3－2

BC

1

规律方法指数幂的运算练1〔多选〕（北师必修一P82习题B组3题改编）已知a＋a－1＝3，则下列

选项正确的是（

）A.

a2＋a－2＝7B.

－

＝±1C.

＋

＝±

D.

＋

＝2

√√√

PART02知识点二指数函数的图象与性质1.

指数函数的概念函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义

域是R，a是底数.2.

指数函数的图象与性质底数a＞10＜a＜1图象

性质定义域为

，值域为

⁠图象过定点

⁠当x＞0时，恒有y＞1；当x

＜0时，恒有0＜y＜1当x＞0时，恒有0＜y＜1；当x＜

0时，恒有y＞1

⁠函数

⁠函数R

（0，＋∞）

（0，1）

增

减

（3）底数a的大小决定了指数函数图象相对位置的高低，不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”.

角度1

指数函数的图象及应用

（1）（苏教必修一P151习题12题改编）函数f（x）＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确

的是（

D

）A.

a＞1，b＜0B.

a＞1，b＞0C.0＜a＜1，b＞0D.0＜a＜1，b＜0D解析：由题中f（x）＝ax－b的图象可以观察出，函数f（x）＝ax－b为减函数，所以0＜a＜1.函数f（x）＝ax－b的图象是将f（x）＝ax的图象向左平移得到的，所以b＜0.（2）（人A必修一P120习题9题改编）函数y＝｜3x－1｜与直线y＝m有

两个不同的交点，则实数m的取值范围是

⁠.解析：函数y＝｜3x－1｜的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图象是平行于x轴的一条直线，图象如图所示，由图象可得，如果函数y＝｜3x－1｜与直线y＝m有两个不同的交点，则m的取值范围是（0，1）.

（0，1）

规律方法

对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象

入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系

不确定时应注意分类讨论.

C

（2）〔多选〕（2025·海门一模）已知实数a，b满足等式2a＝3b，下列

关系式中可能成立的是（

ABD

）A.0＜b＜aB.

a＜b＜0C.

b＜a＜0D.

a＝bABD解析：作出函数y＝2x与函数y＝3x的图象（如图），当2a＝3b＞1时，根据图象得0＜b＜a，故A选项正确；当2a＝3b＝1时，根据图象得a＝b＝0，故D选项正确；当2a＝3b＜1时，根据图象得a＜b＜0，故B选项正确；b＜a＜0不可能成立，故选A、B、D.

角度2

指数函数的性质及应用

A.

B.

C.

D.[2，＋∞）

B（2）（2023·天津高考3题）若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则

a，b，c的大小关系为（

D

）A.

c＞a＞bB.

c＞b＞aC.

a＞b＞cD.

b＞a＞c解析：∵指数函数y＝1.01x是增函数，又0.6＞0.5，∴1.010.6＞1.010.5，故b＞a.∵幂函数y＝x0.5是增函数，又1.01＞0.6，∴1.010.5＞0.60.5，故a＞c.故选D.

D规律方法1.

比较指数式的大小的方法（1）能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；（2）不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.2.

指数方程（不等式）的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.练3（1）（2025·临泉模拟）若ea＋πb＞e－b＋π－a，下列结论一定成立

的是（

D

）A.

a＋b≤0B.

a－b≥0C.

a－b≤0D.

a＋b≥0解析：∵ea＋πb＞e－b＋π－a，∴ea－π－a＞e－b－πb（*），令f（x）＝ex－π－x，则f（x）是R上的增函数，（*）式即为f（a）≥f（－b），∴a≥－b，即a＋b≥0.D

提能点指数型函数性质的综合问题

A.

函数f（x）是奇函数B.

函数f（x）是增函数C.

函数f（x）的值域为（0，2）D.

函数f（x）的图象关于（1，1）对称√√√

A.

（－∞，4]B.[4，16]C.

（16，＋∞）D.[16，＋∞）√

PART03课时跟踪检测一、单项选择题1.

下列结论中，正确的是（

）A.

若a＞0，则

·

＝aB.

若m8＝2，则m＝±

C.

若a＋a－1＝2，则

＋

＝±2D.

＝2－π12345678910111213141516√

123456789101112131415162.

函数f（x）＝1－e｜x｜的图象大致是（

）解析：

易知f（x）为偶函数，且f（x）＝1－e｜x｜≤0，A正确.√123456789101112131415163.

（2025·四川模拟）设a＝0.50.4，b＝0.41.1，c＝1.10.5，则（

）A.

a＜c＜bB.

c＜a＜bC.

a＜b＜cD.

b＜a＜c解析：

因为指数函数y＝0.5x是减函数，所以0.51.1＜0.50.4＜0.50＝

1，又由幂函数y＝x1.1在（0，＋∞）上单调递增，所以1＝11.1＞0.51.1＞

0.41.1，又因为指数函数y＝1.1x是增函数，所以1.10.5＞1.10＝1，综上可

得，b＜a＜c，故选D.

√123456789101112131415164.

（2023·新高考Ⅰ卷4题）设函数f（x）＝2x（x－a）在区间（0，1）上单

调递减，则实数a的取值范围是（

）A.

（－∞，－2]B.[－2，0）C.

（0，2]D.[2，＋∞）

√12345678910111213141516

A.

B.

C.

－1D.

＋1√12345678910111213141516

123456789101112131415166.

若2x－2y＜3－x－3－y，则（

）A.ln（y－x＋1）＞0B.ln（y－x＋1）＜0C.ln｜x－y｜＞0D.ln｜x－y｜＜0解析：

因为2x－2y＜3－x－3－y，所以2x－3－x＜2y－3－y.设f（x）＝

2x－3－x，则f'（x）＝2xln

2－3－x×ln

3×（－1）＝2xln

2＋3－xln

3，易

知f'（x）＞0，所以f（x）在R上为增函数.由2x－3－x＜2y－3－y得x＜

y，所以y－x＋1＞1，所以ln（y－x＋1）＞0，故选A.

√123456789101112131415167.

（2025·长春第十一中学一模）已知函数f（x）＝｜3x－3－x｜，则不

等式f（2x－1）－f（x）＞0的解集为（

）A.

（－∞，

）∪（1，＋∞）B.（－∞，

）C.

（

，1）D.（1，＋∞）√12345678910111213141516

12345678910111213141516二、多项选择题8.

已知函数f（x）＝ax－b（a＞0，且a≠1，b≠0）的图象不经过第三

象限，则a，b的取值范围可能为（

）A.0＜a＜1，b＜0B.0＜a＜1，0＜b≤1C.

a＞1，b＜0D.

a＞1，0＜b≤1√√√12345678910111213141516解析：

若0＜a＜1，则函数y＝ax的图象如图1所示，要想f（x）＝ax－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，或向下平移不超过1个单位长度，故－b＞0或－1≤－b＜0，解得b＜0或0＜b≤1，故A、B正确；若a＞1，则函数y＝ax的图象如图2所示，要想f（x）＝ax－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，故－b＞0，解得b＜0，即C正确，D错误.12345678910111213141516

A.

m＝

B.

函数f（x）在R上的最大值为

C.

函数f（x）是减函数D.

存在实数n，使得关于x的方程f（x）－n＝0有两个不相等的实数根√√12345678910111213141516

12345678910111213141516三、填空题

5

12345678910111213141516

（4，＋∞）

12345678910111213141516