2026年高考数学一轮复习三维设计创新-第8节　函数的图象

第8节函数的图象高中总复习·数学课标要求（1）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；（2）会画简单的函数图象；（3）会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.目录CONTENTS知识点作函数的图象01.课时跟踪检测02.PART01知识点作函数的图象1.

利用描点法作函数图象的步骤2.

函数图象的变换

作出下列函数的图象：（1）y＝2x＋1－1；解：将y＝2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y＝2x＋1－1的图象，如图1所示.（2）y＝｜lg（x－1）｜.解：首先作出y＝lg

x的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y＝lg（x－1）的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝｜lg（x－1）｜的图象，如图2所示（实线部分）.规律方法作函数图象的常用方法（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本初等函

数时，可根据这些函数的特征直接作出；（2）转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数

来画；（3）图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、

翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序.提醒

（1）画函数的图象时一定要注意定义域；（2）利用图象变换法时要注意变换顺序.练1作出下列函数的图象：（1）y＝x2－2｜x｜－3；

提能点1函数图象的识别

（1）（2024·全国甲卷理7题）函数y＝－x2＋（ex－e－x）sin

x在

区间[－2.8，2.8]的图象大致为（

）√

（2）（2023·天津高考4题）函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的

解析式可能为（

）A.

f（x）＝

B.

f（x）＝

C.

f（x）＝

D.

f（x）＝

√

变式已知函数f（x）＝ex＋e－x，记f'（x）为f（x）的导函数，已知函

数F（x）的大致图象如图所示，则函数F（x）的解析式可能为（

）A.

F（x）＝

B.

F（x）＝

C.

F（x）＝f（x）·f'（x）D.

F（x）＝f（x）＋f'（x）√

规律方法函数图象的辨识可从以下方面入手（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置；（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）从函数的周期性，判断图象的循环往复；（6）从函数的特殊点，排除不合要求的图象.

C

BA.

a＞0，b＞0，c＞0B.

a＜0，b＞0，c＜0C.

a＜0，b＞0，c＞0D.

a＜0，b＜0，c＜0

角度1

研究函数的性质

A.

函数F（x）是偶函数B.

方程F（x）＝0有三个解C.

函数F（x）在区间[－1，1]上单调递增D.

函数F（x）有4个单调区间提能点2函数图象的应用√√√解析：根据函数f（x）＝2－x2与g（x）＝x2，画出函数F（x）＝min{f（x），g（x）}的图象，如图.由图象可知，函数F（x）＝min{f（x），g（x）}关于y轴对称，所以A项正确；函数F（x）的图象与x轴有三个交点，所以方程F（x）＝0有三个解，所以B项正确；函数F（x）在（－∞，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，在[1，＋∞）上单调递减，所以C项错误，D项正确.故选A、B、D.

规律方法根据函数的图象研究函数性质的方法（1）观察函数图象是否连续，左右范围以及最高点和最低点，确定定义

域、值域；（2）观察函数图象是否关于原点或y轴对称，确定函数的奇偶性；（3）根据函数图象上升和下降的情况，确定单调性.角度2

解方程（不等式）

（2025·南通调研）已知函数y＝f（x）是定义域为R的奇函数，当

x∈（0，3）∪（3，＋∞）时，f（－x）＞2f（x），f（3）＝0，则不

等式f（x）＞0的解集为

.（－∞，－3）∪（－3，0）

解析：依题意知，f（0）＝0，当x∈（0，3）∪（3，＋∞）时，f（－x）＞2f（x），即－f（x）＞2f（x），得f（x）＜0，由f（3）＝0，得f（－3）＝－f（3）＝0，由此画出f（x）的大致图象如图所示，由图可知，不等式f（x）＞0的解集为（－∞，－3）∪（－3，0）.规律方法利用函数图象研究不等式问题的方法

当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式

问题转化为两函数图象（图象易得）的上、下关系问题，利用图象法求

解.若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图象，再结合图象求解.角度3

求参数的取值范围

A.

（0，1）B.（0，2]C.

（2，＋∞）D.（1，＋∞）√解析：

要使函数g（x）＝f（x）－a有三个零

点，则f（x）＝a有三个不相等的实根，即y＝f（x）

与y＝a的图象有三个交点，当x≤－1时，f（x）＝1

－3x＋1在（－∞，－1]上单调递减，f（x）∈[0，1）；当－1＜x≤0时，f（x）＝3x＋1－1在（－1，0]上单调递增，f（x）∈（0，2]；当x＞0时，f（x）＝ln

x在（0，＋∞）上单调递增，f（x）∈R.

作出函

数f（x）的图象，如图所示.由y＝f（x）与y＝a的图象有三个交点，结合函数图象可得a∈（0，1）.

规律方法

利用函数图象求参数问题，一般先准确地作出函数图象，利用函数图

象的直观性，结合其性质，求解参数.练3

（1）（2025·泉州一模）若函数f（x）＝x（｜x｜－2）在[m，n]

上的最小值是－1，最大值是3，则n－m的最大值为（

D

）A.

B.2

C.4D.4＋

D

（2）（2025·南京外国语学校模拟）设函数f（x）的定义域为R，满足f

（x）＝2f（x－2），且当x∈（0，2]时，f（x）＝x（2－x），若对任

意x∈（－∞，m]，都有f（x）≤3，则实数m的取值范围是

⁠⁠.

PART02课时跟踪检测一、单项选择题1.

（2025·东营一模）把函数y＝（x－2）2＋2的图象向左平移1个单位

长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是（

）A.

y＝（x－3）2＋3B.

y＝（x－3）2＋1C.

y＝（x－1）2＋3D.

y＝（x－1）2＋1解析：

把函数y＝（x－2）2＋2的图象向左平移1个单位长度后得到y＝[（x＋1）－2]2＋2＝（x－1）2＋2的图象，再将y＝（x－1）2＋2的图

象向上平移1个单位长度后得到y＝（x－1）2＋3的图象.故选C.

12345678910111213141516√

A.

－

B.－

C.

－1D.－2解析：

∵f（－1）＝0，∴ln（－1＋a）＝0，∴－1＋a＝1，∴a＝

2，又y＝ax＋b过点（－1，3），∴2×（－1）＋b＝3，∴b＝5，∴f

（－3）＝－3a＋b＝－6＋5＝－1.√12345678910111213141516

√12345678910111213141516

123456789101112131415164.

（2025·重庆调研）已知函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）

的解析式可能为（

）A.

f（x）＝

B.

f（x）＝

C.

f（x）＝

D.

f（x）＝

√12345678910111213141516

123456789101112131415165.

（2025·北京平谷模拟）已知函数f（x）＝log2（x＋1）－｜x｜，则

不等式f（x）＞0的解集是（

）A.

（－1，1）B.（0，1）C.

（－1，0）D.⌀√12345678910111213141516解析：

不等式f（x）＞0⇔log2（x＋1）＞｜x｜，分别画出函数y＝

log2（x＋1）和y＝｜x｜的图象，由图象可知y＝log2（x＋1）和y＝｜

x｜有两个交点，分别是（0，0）和（1，1），由图象可知log2（x＋1）

＞｜x｜的解集是（0，1），即不等式f（x）＞0的解集是（0，1），故

选B.

123456789101112131415166.

已知函数y＝f（x）的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是

（

）A.

y＝x2f（x）B.

y＝

C.

y＝xf（x）D.

y＝xf2（x）√12345678910111213141516

123456789101112131415167.

（2025·天津模拟）定义：设不等式F（x）＜0的解集为M，若M中

只有唯一整数，则称M是最优解.若关于x的不等式｜x2－2x－3｜－mx＋

2＜0有最优解，则实数m的取值范围是（

）A.

（

，

］B.

［－

，－2）C.

［－

，－2］∪［

，

］D.

［－

，－2）∪（

，

］√12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

√√√12345678910111213141516

123456789101112131415169.

（2025·沈阳一模）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1＋

x）＝f（1－x）.当0＜x＜1时，f（x）＝3x－1，则（

）A.

f（x）是周期为2的周期函数B.

f（x）的值域为[－2，2]C.

x＝3是f（x）图象的一条对称轴D.

f（x）的图象关于点（－2，0）对称√√√12345678910111213141516解析：

因为f（x）是定义在R上的奇函

数，所以f（－x）＝－f（x），又f（1＋x）＝

f（1－x），所以f（1＋x）＝f（1－x）＝－f

（x－1），所以f（x）＝－f（x＋2），故f

（x）＝f（x＋4），所以f（x）是周期为4的周

期函数，故选项A错误；由f（1＋x）＝f（1－x）可知f（x）关于直线x＝1对称，则可作出f（x）的图象如图所示，由f（x）的图象可得f

（x）的值域为[－2，2]，其中x＝3是函数f（x）图象的一条对称轴，f（x）的图象关于点（－2，0）对称，故选项B、C、D正确.故选B、C、D.

12345678910111213141516三、填空题10.

（2025·济南一模）已知偶函数y＝f（x＋1）在区间[0，＋∞）上单

调递减，则函数y＝f（x－1）的单调递增区间是

⁠.解析：因为偶函数y＝f（x＋1）在区间[0，＋∞）上单调递减，所以y＝

f（x＋1）在区间（－∞，0]上单调递增，又因为f（x－1）＝f（（x－

2）＋1），则函数f（x－1）的图象是由函数f（x＋1）的图象向右平移2

个单位长度得到的，所以函数f（x－1）的单调递增区间是（－∞，2].（－∞，2]

12345678910111213141516

2

1234567891011121314151612.

（2025·扬州一模）已知函数f（x）＝｜x－2｜＋1，g（x）＝kx.

若方程f（x）＝g（x）有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围

是

⁠.

12345678910111213141516四、解答题

（1）若a＝0，作出f（x）的函数图象并求f（x）的单调递减区间；

12345678910111213141516（2）讨论关于x的方程f（x）＝0的解的个数.

12345678910111213141516作出g（x）的图象如图所示，结合图象可知，当a∈（－∞，0]∪{1}时，g（x）与y＝a有两个不同的交点；当a∈（0，1）时，g（x）与y＝a有四个不同的交点；当a∈（1，＋∞）时，g（x）与y＝a无交点；综上所述：当a∈（－∞，0]∪{1}时，方程f（x）＝0

有三个解；当a∈（0，1）时，方程f（x）＝0有五个

解；当a∈（1，＋∞）时，方程f（x）＝0有唯一解.

1234567891011121314151614.

（2025·临川一中期末）已知函数f（x）＝2x－ax＋1（a∈R）.（1）若a∈Z，且f（4）＞0，求a的最大值；

12345678910111213141516（2）当a＝3时，直接写出函数f（x）的零点；解：当a＝3时，f（x）＝2x－3x＋1，由f（x）＝2x－3x＋1＝0，可得2x＝3x－1，作出函数y＝2x与y＝3x－1的图象，由图可知y＝2x与y＝3x－1有两个交点，即函数f（x）

有两个零点，又因为f（1）＝2－3＋1＝0，f（3）＝23－3×3＋1＝0，故函数的零点为1，3.12345678910111213141516（3）若对任意x∈（－∞，1）都有f（x）＞0，求a的取值范围.解：因为对任意x∈（－∞，1）都有f（x）＞0，所以2x＞ax－1在（－∞，1）上恒成立，即x∈（－∞，1）时，函数y＝2x的图象恒在直线y＝

ax－1的上方，作出函数y＝2x，x∈（－∞，1）与y＝ax－1的大致图象，则a≥0，且a－1≤2，所以0≤a≤3，即a的取值范围为[0，3].1234567891011121314151615.

〔多选〕高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数

学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名