2026年高考数学一轮复习周测卷及答案解析：第12周 立体几何与空间向量

第12周立体几何与空间向量一、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知且，则（

）．A．4 B．6 C．8 D．102．如图，在平行六面体中，为的交点.若，则向量（

）A． B． C．D．3．已知向量，若，则实数（

）A． B． C． D．4．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（

）A． B． C．2 D．10二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.5．如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，则以为原点，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（

）A．平面B．C．是平面的一个法向量D．点到平面的距离为6．已知正方体的棱长为分别是棱的中点，下列结论正确的是（

）A．B．C．棱的中点在平面内D．四面体的体积为1三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分.7．在空间直角坐标系中，已知点，向量，平面，则点到平面的距离为.8．如图，在六面体中，平面平面，四边形与四边形是两个全等的矩形.，，平面.，，，则.该六面体的任意两个顶点间距离的最大值为.四、解答题：本题共2小题,共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9．（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，过棱的中点E作于点，连接．

(1)证明：；(2)若，求平面与平面所成角的正弦值．10．（本小题满分15分）如图，在三棱柱中，，，侧面是正方形，为的中点，二面角的大小是．(1)求证：平面平面；(2)线段上是否存在一个点，使直线与平面所成角的正弦值为．若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．参考答案及解析1．C【解析】因为，所以存在实数，使得，又,所以，所以，解得，所以.故选C.2．C【解析】由图知，，即.故选C.3．A【解析】，，因为，所以，解得.故选A.4．B【解析】由于，所以，所以，所以.故选B.5．ACD【解析】对于A，由于，分别是的中点，所以平面平面，所以平面，故A正确；对于B，，故，，故与不垂直，进而可得与不垂直，故B错误；对于C，由，所以，设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量，故C正确；对于D，，点到平面的距离为，故D正确.故选ACD．6．BD【解析】如图所示建立空间直角坐标系，则，所以，由空间向量共线的充要条件知若，则有，显然上述方程无解，故A错误；又，所以B正确；延长交于H点，连接交于G点，由平行线分线段成比例可知G为靠近B点的线段的一个三等分点，故C错误；设平面的一个法向量为，易知，则，令，即，则N到平面的距离为，而，所以，故D正确.故选BD.7．【解析】因为，且为平面的一个法向量，则点到平面的距离为：.8．6【解析】因为平面，且平面，则，且，即两两垂直，如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，则；要求六面体的任意两个顶点间距离的最大值，只需考虑各体对角线的距离，则，所以该六面体的任意两个顶点间距离的最大值为.9．【解析】（1）∵四边形为矩形，∴，∵平面，平面，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴．∵，点E是的中点，∴．又，平面，∴平面．平面，∴．又，,平面，∴平面，平面，∴．（2）如图，因两两垂直，故可以A为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，∴，．由（1）可知，可看成平面的一个法向量，可看成平面的一个法向量．设平面与平面的所成角为，∴，∴，∴平面与平面所成角的正弦值为．10．【解析】（1）因是正方形，则,因,故.由,则.因,则平面，又平面,故平面平面.（2）如图，取的中点，连接,易得,因，故即二面角的平面角，即，易得,取中点，连接,过点作,交于，因,故得正三角形，则,由（1）得平面平面，且平面平面，平面，故得平面.因此可分别以为轴的正方向建立