2026年高考数学一轮复习周测卷及答案解析：第20周 导数的综合应用

第20周导数的综合应用一、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．32．若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（

）A． B． C． D．3．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．4．某公司生产一种产品，固定成本为元，每生产一单位的产品，成本增加元，若总收入与年产量的关系是，，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.5．已知函数，则（

）A．在单调递增B．有两个零点C．曲线在点处切线的斜率为0D．是偶函数6．若，则下列结论正确的有（

）A． B．C． D．三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分.7．若关于的方程有解，则实数m的最大值为.8．已知函数的导函数为，定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”设，则在区间上的“新驻点”为．四、解答题：本题共2小题,共32分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9．（本小题满分15分）已知函数．(1)求的极值；(2)证明：．10．（本小题满分17分）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处n（）阶导数都存在时，.注：表示的2阶导数，即为的导数，（）表示的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式.(1)写出泰勒展开式（只需写出前4项）；(2)根据泰勒公式估算的值，精确到小数点后两位；(3)证明：当时，.参考答案及解析1．B【解析】记，函数的定义域为，，故函数在上单调递增.又，所以函数的零点个数为.故选B.2．B【解析】,因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立.因为在上单调递减，所以当时，，所以，则的取值范围为.故选B.3．A【解析】由，可得函数的减区间为，增区间为，当时，，可得选项为A．故选A.4．D【解析】设总利润为（），（），令，可得，当时，,当时，，故当时，取得最大值.故选D.5．AC【解析】由题意，，在中，，∴当时，，∴曲线在点处切线的斜率为，C正确；A项，当时，，故在单调递增，A正确；B项，当时，，当时，，所以只有0一个零点，B错误；D项，函数的定义域为，不关于原点对称，∴不是偶函数，D错误.故选AC.6．BCD【解析】令，则，，．∵，故A错误；∵，当且仅当时取等号，故B正确；令，则，所以当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，因此，∴，当且仅当时取等号，∴，即，所以，故，故C正确；∵，所以，即，所以，故D正确．故选BCD．7．【解析】由题意得，，令，则，易知单调递增，所以.令，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，得.所以的最大值为.8．【解析】因为，所以，令，即，得，因为，解得，所以，函数在上的“新驻点”为．9．【解析】（1）由题意得的定义域为，则，当时，，在上单调递增，无极值；当时，令，则，令，则，即在上单调递增，在上单调递减，故为函数的极大值点，函数极大值为，无极小值；（2）证明：设，，令，则，即在上单调递增，，故，使得，即，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，