2024-2025学年广东省深圳市南山外国语学校高一（上）期中数学试题含答案

试题试题深圳市南山外国语学校（集团）高级中学2024－2025学年第一学期期中考试高一数学试卷说明：1、本试卷满分150分，考试时间为120分钟；2、本试卷分试题卷、答题卷两部分．考试结束，只交答题卷．一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.若（且），则（）A. B.C. D.2.命题“”的否定（）A. B.C. D.3.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.（）A. B.5 C. D.255.若函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D.6.设，若，则（）A. B. C. D.7.如果函数对于任意实数t都有，那么（）Af(2)<f(1)<f(4) B.f(1)<f(2)<f(4)C.f(4)<f(2)<f(1) D.f(2)<f(4)<f(1)8.函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（）A. B.C. D.二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.若，则B.若，，则C.若，则D若，则10.下列各组函数是同一个函数的是（）A与 B.与C与 D.与11.已知函数．设命题：“关于的不等式解集为空集”，则命题的必要条件可以是（）A. B.C. D.三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知幂函数的图象过点，则___________.13.已知函数的单调递增区间为______.14.已知a，b为正实数，则的最小值为________．四、解答题（本大题共5个大题，共77分．解答应写出相应的文字说明、证明过程和演算步骤）15.已知集合.（1）当时，求；（2）若，求实数m的取值范围.16.已知是定义在上的奇函数．（1）求；（2）求函数在上的值域．17.国庆黄金周期间，旅游潮、探亲潮必将形成高交通压力现象已知某火车站候车厅，候车人数与时间相关，时间单位：小时满足，经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数为人，当，候车人数相对于满厅人数会减少，减少人数与成正比，且时间为点时，候车人数为人，记候车厅候车人数为．（1）求的表达式，并求当天中午点时，候车厅候车人数（2）铁路系统为了体现“人性化”管理，每整点时会给旅客提供的免费面包数量为，则当为何值时需要提供的免费面包数量最少.18.已知函数.（1）若，求a的取值范围；（2）解关于x的不等式.19.函数定义域为，对，，都有；且当时，．已知．（1）求，；（2）判断并证明的单调性；（3）解不等式：．深圳市南山外国语学校（集团）高级中学2024－2025学年第一学期期中考试高一数学试卷说明：1、本试卷满分150分，考试时间为120分钟；2、本试卷分试题卷、答题卷两部分．考试结束，只交答题卷．一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.若（且），则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据对数的定义将指数化为对数.【详解】因为（且），所以.故选：A.2.命题“”否定（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】全称命题的否定为特称命题，具体的否定方法：改量词，否结论.【详解】因为原命题“”，所以其否定为“”，故选：D.3.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】化简不等式，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.详解】由，得，显然，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B4.（）A. B.5 C. D.25【答案】C【解析】【分析】利用指数幂的运算性质求解即可【详解】故选：C5.若函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复合函数的定义及给定函数式列出不等式组，求出其解集即可作答.【详解】因函数的定义域为，则在函数中，必有，解得，所以的定义域为.故选：A6.设，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分和两种情况讨论，结合函数的解析式解方程，可求得实数的值.【详解】若，由，得，即，解得；若，由，得，该方程无解.综上，.故选：C.【点睛】本题考查分段函数方程的求解，考查计算能力，属于基础题.7.如果函数对于任意实数t都有，那么（）A.f(2)<f(1)<f(4) B.f(1)<f(2)<f(4)C.f(4)<f(2)<f(1) D.f(2)<f(4)<f(1)【答案】A【解析】【分析】根据给定条件可得函数图象对称轴为，再借助对称性、单调性即可比较判断作答.【详解】因函数对于任意实数t都有，则其图象对称轴为，且在上递增，于是得，而，所以.故选：A8.函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】将不等式转化成或，结合图象即可求解.【详解】由图象可知当时，可得：或也即：或，当时，可得：或，也即：或，所以可转化成：解得：或，或解得：，综上可知：原不等式的解集为：.故选：B二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.若，则B.若，，则C.若，则D.若，则【答案】BD【解析】【分析】举例说明判断AC；利用不等式性质推理判断BD.【详解】对于AC，取，满足，而，，AC错误；对于B，由，得，而，则，B正确；对于D，由，得，则，D正确.故选：BD10.下列各组函数是同一个函数的是（）A.与 B.与C.与 D.与【答案】BD【解析】【分析】当且仅当两个函数的定义域和对应关系相同，两函数是同一个函数，所以分别求各选项中两函数的定义域，若定义域相同，再判断对应关系是否相同即可.【详解】对于A：与的定义域都是R,对应关系不同，因此不是同一函数；对于B：与,定义域都是R，对应关系也相同，是同一函数；对于C：的定义域为R,与的定义域为，定义域不同，因此不是同一函数；对于D：与，定义域和对应关系都相同，因此是同一函数.故选：BD.11.已知函数．设命题：“关于的不等式解集为空集”，则命题的必要条件可以是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】求出，令，解得，然后得无解，结合的值域可得结论．【详解】，设，则化为，，，，由题意此不等式无解，则，∴．结合选项命题的必要条件可以是或，故选：ABC三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知幂函数的图象过点，则___________.【答案】【解析】【分析】由幂函数的解析式的形式可求出和的值，再将点代入可求的值，即可求解.【详解】因为是幂函数，所以，，又的图象过点，所以，解得，所以.故答案为：.13.已知函数单调递增区间为______.【答案】【解析】【分析】先求出定义域，再根据复合函数单调性求出答案.【详解】令，解得，故函数定义域为，其中，故在上单调递增，在上单调递减，其中在上单调递增，由复合函数单调性可知，的单调递增区间为.故答案为：14.已知a，b为正实数，则的最小值为________．【答案】【解析】分析】先将两个分母看做两个整体，然后化简利用基本不等式求解即可.【详解】令得所以当且仅当时，即时，等号成立，故答案为：四、解答题（本大题共5个大题，共77分．解答应写出相应的文字说明、证明过程和演算步骤）15.已知集合.（1）当时，求；（2）若，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）化简集合，，根据集合的补集和交集运算可得结果；（2）分类讨论集合，根据交集运算的结果列式可得解.【详解】（1）时，，∴或；.（2）或，且，∴①时，，解得；②时，，解得，综上得，实数m的取值范围为或.16.已知是定义在上的奇函数．（1）求；（2）求函数在上的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用奇函数定义及性质，列式计算求出即可得到结果.（2）由（1）的结论，求出函数的解析式，利用换元法结合二次函数求出值域..【小问1详解】由题意得，，解得，即，由得，，∴，经检验得时，是奇函数,∴.【小问2详解】由（1）得，，令，由得，，函数可化为，对称轴为直线，当时，，当时，，∴函数值域为.17.国庆黄金周期间，旅游潮、探亲潮必将形成高交通压力现象已知某火车站候车厅，候车人数与时间相关，时间单位：小时满足，经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数为人，当，候车人数相对于满厅人数会减少，减少人数与成正比，且时间为点时，候车人数为人，记候车厅候车人数为．（1）求的表达式，并求当天中午点时，候车厅候车人数（2）铁路系统为了体现“人性化”管理，每整点时会给旅客提供的免费面包数量为，则当为何值时需要提供的免费面包数量最少.【答案】（1），人（2）【解析】【分析】（1）由题意，设出函数，建立方程，解得函数解析式，则求得函数值，可得答案；（2）由（1）的函数解析式，分段整理函数解析式，求得最值，比较可得答案.【小问1详解】当时，设，，则，，故当天中午点时，候车厅候车人数为人.【小问2详解】当，，当且仅当时等号成立；当时，．又，所以当时，需要提供的面包数量最少．18.已知函数.（1）若，求a的取值范围；（2）解关于x的不等式.【答案】（1）的取值范围是；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由条件可得不等式在上恒成立，根据抛物线的开口方向和判别式可得所求范围；（2）原不等式化为，根据的不同取值结合一元二次不打算的解法解不等式即可．【小问1详解】可变形为，由已知在上恒成立，下面分两种情况讨论1.当时，不等式可化为，不等式不恒成立，与已知矛盾；2.当时，由已知可得，即，解得综上两种情况，的取值范围是；【小问2详解】不等式化为，1､当时，解集为；2､当时，解集为；3､当时，解集为；4､当时，解集为；5.当时，解集为.19.函数的定义域为，对，，都有；且当时，．已知．（1）求，；（2）判断并证明的单调性；（3）解不等式：．【答案】（1）；（2