难点解析-北师大版9年级数学上册期中试卷附答案详解【综合卷】

北师大版9年级数学上册期中试卷考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（7小题，每小题2分，共计14分）1、如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（

）A． B．且 C．且 D．2、某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等，某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（

）A． B． C． D．3、已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有2个，黑球有个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．64、一元二次方程x2-3x+1＝0的根的情况是（

）．A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根5、小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（

）A． B． C． D．6、若实数满足，则的值是（）A．1 B．-3或1 C．-3 D．-1或37、若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则的值是（

）A．4 B．5 C．6 D．12二、多选题（3小题，每小题2分，共计6分）1、如图，分别以点A、B为圆心，同样长度为半径作圆弧，两弧相交于点C、D．连结AC、BC、AD、BD，则四边形ADBC一定是（

）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形2、用配方法解下列方程，配方错误的是（

）A．化为 B．化为C．化为 D．化为3、如图所示，在一边靠墙（墙足够长）空地上，修建一个面积为672m2的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为76米的栅栏围成，若设栅栏AB的长为xm，则下列各方程中，不符合题意的是（

）A．x(76－x)＝672 B．x(76－2x)＝672C．x(76－2x)＝672 D．x(76－x)＝672第Ⅱ卷（非选择题80分）三、填空题（10小题，每小题2分，共计20分）1、一元二次方程的解为__________．2、对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为________．3、从2、6、9三个数字中任选两个，用这两个数字分别作为十位数和个位数组成一个两位数，在所有得到的两位数中随机抽取一个两位数，这个两位数是4的倍数的概率是____．4、“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x3－x＝0，它的解是_____________．5、有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，，为的中点，点到，的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为_________．6、一个正方形的面积为，则它的对角线长为________．7、如图，将边长为4的正方形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为3，则它移动的距离AA′等于___；移动的距离AA′等于___时，两个三角形重叠部分面积最大．8、如图，点E为矩形ABCD的边BC长上的一点，作DF⊥AE于点F，且满足DF＝AB．下面结论：①△DEF≌△DEC；②S△ABE＝S△ADF；③AF＝AB；④BE＝AF．其中正确的结论是_____．9、如图，在矩形中，点分别在上，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是______________（写出一个即可）．10、如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OA在x轴上，OC在y轴上，OA=1，OC=2，对角线AC的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D．若y轴上有一点P（不与点C重合），能使△AEP是以为AE为腰的等腰三角形，则点P的坐标为____．四、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、如图，在四边形中，，分别是，的中点，，分别是对角线，的中点，依次连接，，，，连接，．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当时，与有怎样的位置关系？请说明理由；2、如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF，求证：四边形AECF是菱形．3、解方程：2(x-3)=3x(x-3)．4、解关于y的方程：by2﹣1＝y2+2．5、如图，平行四边形的对角线、相较于点O，且，，．求证：四边形是矩形．6、已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】根据关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得．【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解得k≤且k≠0，故选：C．【考点】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．2、C【解析】【分析】用树状图表示所有等可能的结果，再求得甲和乙从同一节车厢上车的概率．【详解】解：将3节车厢分别记为1号车厢，2号车厢，3号车厢，用树状图表示所有等可能的结果，共有9种等可能的结果，其中，甲和乙从同一节车厢上车的有3可能，即甲和乙从同一节车厢上车的概率是，故选：C．【考点】本题考查概率，涉及画树状图求概率，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．3、A【解析】【分析】根据题意可得，然后进行求解即可．【详解】解：由题意得：，解得：，经检验是原方程的解；故选A．【考点】本题主要考查分式方程的解法及概率，熟练掌握分式方程的解法及概率是解题的关键．4、D【解析】【分析】根据一元二次方程判别式的性质分析，即可得到答案．【详解】∵∴x2-3x+1＝0有两个不相等的实数根故选：D．【考点】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程判别式的性质，从而完成求解．5、C【解析】【分析】利用列表法或树状图即可解决．【详解】分别用r、b代表红色帽子、黑色帽子，用R、B、W分别代表红色围巾、黑色围巾、白色围巾，列表如下：RBWrrRrBrWbbRbBbW则所有可能的结果数为6种，其中恰好为红色帽子和红色围巾的结果数为1种，根据概率公式，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是．故选：C．【考点】本题考查了简单事件的概率，常用列表法或画树状图来求解．6、A【解析】【分析】设x2-3x=y．将y代入原方程得到关于y的一元二次方程y2+2y-3=0即可，解这个方程求出y的值，然后利用根的判别式检验即可.【详解】设x2-3x=y．将y代入原方程，得y2+2y-3=0，解之得，y=1或y=-3．当y=1时，x2-3x=1，△=b2-4ac=（-3）2-4×1×（-1）=9+4=13＞0，有两个不相等的实数根，当y=-3时，x2-3x=-3，△=b2-4ac=（-3）2-4×1×3=9=12＜0，无解．故y=1，即x2-3x=1．故选A．【考点】本题考查了换元法解一元二次方程及一元二次方程根的判别式，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它,从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理.7、C【解析】【分析】由于m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m＋n=−3，mn=−9，而m是方程的一个根，可得m2＋3m−9=0，即m2＋3m=9，那么m2＋4m＋n=m2＋3m＋m＋n，再把m2＋3m、m＋n的值整体代入计算即可．【详解】解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，∴m＋n＝−3，mn＝−9，∵m是x2＋3x−9＝0的一个根，∴m2＋3m−9＝0，∴m2＋3m＝9，∴m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9−3＝6．故选：C．【考点】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两根x1、x2之间的关系：x1＋x2=−，x1•x2=．二、多选题1、BD【解析】【分析】根据四边相等的四边形是菱形即可判断．【详解】解：由作图可知：AC=AD=BC=BD，∴四边形ADBC是菱形且为平行四边形，故选：BD．【考点】本题考查基本作图，平行四边形的判定，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．2、BD【解析】【分析】根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1，(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方即可得到结论．【详解】A.化为，正确，不符合题意；B.化为，错误，符合题意；C.化为，正确，不符合题意；D.化为，错误，符合题意．故选：BD．【考点】此题考查了配方法解一元二次方程，属于基础题，熟练掌握配方法的一般步骤是解题关键．3、BCD【解析】【分析】本题可根据题意分别用x表示BC或AD的长，再根据面积公式列出方程即可．【详解】解：设栅栏AB的长为xm，依题意得：，而矩形面积，∴，不符合题意的方程有BCD．故选:BCD．【考点】考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题目，找到题目中的等量关系，列方程即可．三、填空题1、x=或x=2【解析】【分析】根据一元二次方程的解法解出答案即可．【详解】当x－2=0时,x=2,当x－2≠0时,4x=1,x=,故答案为:x=或x=2．【考点】本题考查解一元二次方程,本题关键在于分情况讨论．2、或2【解析】【分析】根据新定义的运算得到，整理并求解一元二次方程即可．【详解】解：根据新定义内容可得：，整理可得，解得，，故答案为：或2．【考点】本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键．3、【解析】【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，在所有得到的两位数中随机抽取一个两位数，这个两位数是4的倍数的结果有2种，再由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如图：共有6种等可能的结果，在所有得到的两位数中随机抽取一个两位数，这个两位数是4的倍数的结果有2种，∴在所有得到的两位数中随机抽取一个两位数，这个两位数是4的倍数的概率为=，故答案为：．【考点】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4、【解析】【分析】先把方程的左边分解因式，再化为三个一次方程进行降次，再解一次方程即可.【详解】解：则或或解得：故答案为：【考点】本题考查的是利用因式分解的方法把高次方程转化为一次方程，掌握“因式分解的方法与应用”是解本题的关键.5、【解析】【分析】根据当、、三点共线，距离最小，求出BE和BD即可得出答案．【详解】如图当、、三点共线，距离最小，∵，为的中点，∴，，，故答案为：．【考点】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，两点间的距离线段最短，判断出距离最短的情况是解题关键．6、【解析】【分析】根据正方形的面积求得正方形的边长，再由勾股定理求得正方形的对角线长即可.【详解】∵正方形的面积为，∴正方形的边长为9cm，∴正方形对角线的长为.故答案为.【考点】本题考查了正方形的性质，熟知正方形的性质是解决问题的关键.7、

1cm或3cm##3cm或1cm

2cm【解析】【分析】如图，设交于交于证明四边形是平行四边形，证明是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，设cm，则再利用面积公式建立方程，解方程即可，同时利用配方法求解面积最大值时的平移距离.【详解】解：如图，设交于交于由平移的性质可得：四边形是平行四边形，由正方形可得：是等腰直角三角形，同理：也是等腰直角三角形，设cm，则解得：cm或cm重叠部分的面积为：当时，重叠部分的面积最大，最大面积为4cm2所以当cm时，重叠部分的面积最大.故答案为：1cm或3cm；2cm【考点】本题考查的是正方形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，配方法的应用，平移的性质，熟悉以上基础知识是解题的关键.8、①②④．【解析】【分析】证明Rt△DEF≌Rt△DEC得出①正确；在证明△ABE≌△DFA得出S△ABE＝S△ADF；②正确；得出BE＝AF，④正确，③不正确；即可得出结论．【详解】解：四边形是矩形，，在和中，，①正确在和中，；②正确，④正确，③不正确故答案为：①②④．【考点】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．9、（答案不唯一）【解析】【分析】由题意易得四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定定理可进行求解．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵，∴四边形是平行四边形，若要添加一个条件使其为菱形，则可添加或AE=CE或CE=CF或AF=CF，理由：一组邻边相等的平行四边形是菱形；故答案为（答案不唯一）．【考点】本题主要考查菱形的判定定理、矩形的性质及平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定定理、矩形的性质及平行四边形的判定是解题的关键．10、，或【解析】【分析】设AE=m，根据勾股定理求出m的值，得到点E（1，），设点P坐标为（0，y），根据勾股定理列出方程，即可得到答案．【详解】∵对角线AC的垂直平分线交AB于点E，∴AE=CE，∵OA=1，OC=2，∴AB=OC=2，BC=OA=1，∴设AE=m，则BE=2-m，CE=m，∴在Rt∆BCE中，BE2+BC2=CE2，即：（2-m）2+12=m2，解得：m=，∴E（1，），设点P坐标为（0，y），∵△AEP是以为AE为腰的等腰三角形，当AP=AE，则(1-0)2+(0-y)2=(1-1)2+(0-)2，解得：y=，当EP=AE，则(1-0)2+(-y)2=(1-1)2+(0-)2，解得：y=，∴点P的坐标为，，，故答案是：，，．【考点】本题主要考查等腰三角形的定义，勾股定理，矩形的性质，垂直平分线的性质，掌握勾股定理，列出方程，是解题的关键．四、解答题1、（1）见解析；（2）当AB=CD时，EF⊥GH，理由见解析【解析】【分析】（1）利用三角形的中位线定理可以证得四边形EGFH的一组对边平行且相等，即可证得；（2）根据菱形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，∴FG=CD，FG∥CD．HE=CD，HE∥CD．∴FG=EH，FG∥EH，∴四边形EGFH是平行四边形；（2）解：当AB=CD时，EF⊥GH，理由：由（1）知四边形EGFH是平行四边形，当AB=CD时，EH=CD，EG=AB，∴EG=EH，∴四边形EGFH是菱形，∴EF⊥GH．【考点】本题考查的是三角形中位线定理的应用，平行四边形和菱形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半和菱形的对角线互相垂直是解题的关键．2、见解析【解析】【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明【详解】证明：四边形是平行四边形，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形．【考点】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3、若斜边为2m+3，则(2m+3)2＝(2m-3)2+解得m＝．综上所述，m＝或m＝．【考点】本题主要考查了根的判别式与根与系数的关系的知识，解答本题的关键是熟练掌握根与系数关系以及根的判别式的知识，此题难度一般.72．.【解析】【分析】先进行移项，在利用因式分解法即可求出答案.【详解】，移项得：，整理得：，或，解得：或．【考点】本题考查了解一元一次方程-因式分解，熟练掌握因式分解的技巧是本题解题的关键.4、当b＞1时，原方程的解为y＝±；当b≤1时，原方程无实数解．【解析】【分析】