浙江省新月联盟2027届高三上学期8月第一次联考数学试卷（含答案）

浙江省新月联盟2026年8月高三年级第一次联考数学试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．复数的虚部是（

）A． B． C． D．3．若随机变量X满足，且，则（

）A． B． C． D．4．在△ABC中，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件5．有两点A，B分别在曲线与曲线上，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．46．已知为奇函数，与的图像关于直线对称，若，则（

）A．3 B． C．2 D．7．在棱长为8的正方体中，E是棱上的一个动点，F为线段上的一个动点，则的最小值为（

）A． B．2 C．4 D．8．设向量满足，，且与的夹角为，则的最大值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6二、多选题9．若，下列说法正确的是（

）A． B． C． D．10．已知等差数列的前项和为，下列说法正确的是（

）A．若，则 B．C．，，可能成等差数列 D．，，可能成等比数列11．已知曲线和椭圆，其中和不同时为0，点在曲线上运动，过点的一条直线与椭圆交于两点，坐标原点为．下列说法正确的是（

）A．曲线存在2条对称轴 B．曲线全部在椭圆内C．点到的最大值为 D．对任意点均存在直线使三、填空题12．已知函数在间单调且存在零点，若使用二分法求零点的近似值，要求区间长度小于，则需要进行二分操作的次数为________(参考数据：)．13．左轮手枪的弹仓共有6个可装填子弹的位置，每尝试击发一次后，弹仓便会顺时针转动一个子弹的位置．现有2个子弹装填在相邻的位置上，如图所示，不考虑偶然故障，则一次击发打出子弹的概率为________；若连续进行两次击发，其中第二发为空枪，则第一发也为空枪的概率是________．14．新月联盟的标志中有一轮新月与栖息于其上的鸽子，其中新月部分可看做将圆被直线所截得的劣弧部分绕该直线向内折叠得到的图形，如图所示．若直线与该图形的边缘恰有4个交点，则k的一个取值可以是________．四、解答题15．已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，点.若当轴时，的面积为5.（1）求抛物线C的方程；（2）若，求点M的坐标.16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角A的大小．(2)若M为的内心，，求周长的取值范围．17．如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，侧面为正三角形，平面平面，且，为的中点．(1)证明：平面．(2)求二面角的正弦值．(3)在线段上是否存在点，使、、三点在以点为球心的球面上？若存在，求的值；若不存在，说明理由．18．我们知道，若为一个分类变量，则全概率公式可以表示为．类似条件概率的定义，我们将在事件发生的前提下，随机变量的数学期望称为条件期望，记为．类似地，若已知各条件下X的数学期望，我们可以得出在总条件下的期望：，即全期望公式．运用以上知识回答下列问题：某人购买一款盲盒，其中共有n种商品()，每次购买时抽取到每种商品的概率是均等的，直到抽到所有商品时停止购买．记购买的总次数为X．(1)若：（i）求．（ii）若该人已获得其中的三种商品，记“下一次购买抽中已有商品”为事件M，并设其还需要购买的次数为Y，证明：，并求的值．(2)求(用n表示，可使用求和符号)．19．定义：已知函数，若数列满足：对任意的，均有，则为函数的一个“起源数列”．(1)若已知，求的一个“起源数列”的通项公式．(2)若已知，数列为的“起源数列”，证明：对任意的，均为数列中的一项．(3)若已知，数列，分别为的两个“起源数列”()，且对任意的，，．（i）证明：；（ii）当时，比较与的大小，并证明你的结论．参考答案1．B2．C3．A4．D5．B6．C7．D8．A9．BCD10．BC11．ABD12．13．/14．（答案为不唯一）15．（1）由题意，抛物线的焦点为F，且，当轴时，可得点，则，所以，解得，所以抛物线方程为.（2）设，由（1）可知，所以，因为，所以，可得，整理得，解得或，或，因为，所以，所以，，故点M的坐标为或.16．（1）已知，由正弦定理得：，因为，故，代入上式化简得：，在中，，则，又，所以.（2）因为M为的内心，由(1)知，所以，所以，设，又，即，在中，由余弦定理得，，所以，，，当且仅当时等号成立，又，所以，所以周长的取值范围为：.17．(1)因为，，则，又平面平面，平面平面，平面，平面，取的中点，连接、，平面，，在正三角形中，，又，、平面，平面，是中点，是的中点，，，，，，，四边形是平行四边形，，平面.(2)（2）取的中点，连接，在正三角形中，，面面，面面，平面，面，以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设平面和平面的一个法向量分别为，由，得，取，得，由，得，取，得，则，则二面角的正弦值为．(3)在线段上不存在点满足条件，理由如下：假设在线段上存在点满足条件，设，由（2），，，则，，由得，无解，即在线段上不存在满足条件的点．18．（1）（i）事件表示前四次购买恰好抽齐四种商品，即前四次抽到的商品互不相同，所以有.（ii）若发生，只需这1次购买即可完成收集，所以，由题意可得，即，，，解得.（2）设为在已经拥有种不同商品的前提下，为了抽到第种新商品所需要购买的次数，其中，则有，在已拥有种商品时，下一次抽中全新商品的概率记为，因为总共有种商品，还剩下种未抽中，所以，由（1）得，即，，，，，则，令，整理得.19．(1)(2)证明：因为与均为上的增函数，故在上单调递增.由定义知，对任意成立，且方程的解唯一.任取，记.由于为正整数，为正整数，则也为正整数，于是.结合单调递增，函数值相等则自变量相等，得，即存在正整数，使得，因此是数列中的一项.(3)（i）证明：由起源数列定义得，且.①证：由，两边取自然对数，得.②证：令，，，故在上单调递增.当时，，由单调性得