难点详解京改版数学9年级上册期中试卷【典优】附答案详解

京改版数学9年级上册期中试卷考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题26分）一、单选题（6小题，每小题2分，共计12分）1、如图，点D、E分别在△ABC的边BA、CA的延长线上，且DE∥BC，已知AE＝3，AC＝6，AD＝2，则BD的长为（）A．4 B．6 C．7 D．82、锐角α满足，且，则α的取值范围为（）A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°3、二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A． B．C． D．4、下列各式中表示二次函数的是（）A．y＝x2+ B．y＝2﹣x2C．y＝ D．y＝（x﹣1）2﹣x25、将抛物线C1：y＝（x－3）2＋2向左平移3个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（）．A．y＝x2－2 B．y＝－x2＋2 C．y＝x2＋2 D．y＝－x2－26、如图，在RtABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，D从A出发沿AC方向以1cm/s向终点C匀速运动，过点D作DEAB交BC于点E，过点E作EF⊥BC交AB于点F，当四边形ADEF为菱形时，点D运动的时间为（）sA． B． C． D．二、多选题（7小题，每小题2分，共计14分）1、如图，在菱形中，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，；②作直线，且恰好经过点，与交于点，连接．则下列说法正确的是（

）A． B．C．若，则 D．2、△ABC和△A′B′C′符合下列条件，其中使△ABC和△A′B′C′相似的是（

）A．∠A=∠A′=45°，∠B=26°，∠B′=109°B．AB=1，AC=1.5，BC=2，A′B′=4，A′C′=2，B′C′=3C．∠A=∠B′，AB=2，AC=2.4，A′B′=3.6，B′C′=3D．AB=3，AC=5，BC=7，A′B′=，A′C′=，B′C′=3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论不正确的是（）A．sinA= B．tanA= C．cosB= D．tanB=4、已知二次函数y=x2-4x+a，下列说法正确的是（）A．当x＜1时，y随x的增大而减小B．若图象与x轴有交点，则a≥-4C．当a=3时，不等式x2-4x+a＜0的解集是1＜x＜3D．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，-2），则a=-35、若二次函数（a是不为0的常数）的图象与x轴交于A、B两点．则以下结论正确的有（

）A．B．当时，y随x的增大而增大C．无论a取任何不为0的数，该函数的图象必经过定点D．若线段AB上有且只有5个横坐标为整数的点，则a的取值范围是6、如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，AD：DB＝2：1，下列结论中正确的是（）A． B．C． D．AD•AB＝AE•AC7、如图所示，AB为斜坡，D是斜坡AB上一点，斜坡AB的坡度为i，坡角为，于点C，下面正确的有（

）A． B．C． D．第Ⅱ卷（非选择题74分）三、填空题（7小题，每小题2分，共计14分）1、如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，抛物线y＝a（x﹣2）2＋1（a＞0）的顶点为A，过点A作y轴的平行线交抛物线于点B，连接AO、BO，则△AOB的面积为________．2、如图是二次函数和一次函数y2＝kx+t的图象，当y1≥y2时，x的取值范围是_____．3、一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，，已知木箱高，斜面坡角为，则木箱端点距地面的高度为_________．4、若某二次函数图象的形状与抛物线y＝3x2相同，且顶点坐标为(0，－2)，则它的表达式为________．5、抛物线的开口方向向______．6、已知关于的一元二次方程，有下列结论：①当时，方程有两个不相等的实根；②当时，方程不可能有两个异号的实根；③当时，方程的两个实根不可能都小于1；④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为_________．7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=，BC的中点为D，将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，连接DG，在旋转过程中，DG的最大值是________四、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．抛物线交轴于、两点，交轴于点，直线经过、两点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点作直线轴交抛物线于另一点，过点作轴于点，连接，求的值．2、定义：若一个三角形最长边是最短边的2倍，我们把这样的三角形叫做“和谐三角形”．在△ABC中，点F在边AC上，D是边BC上的一点，AB＝BD，点A，D关于直线l对称，且直线l经过点F．（1）如图1，求作点F；（用直尺和圆规作图保留作图痕迹，不写作法）（2）如图2，△ABC是“和谐三角形”，三边长BC，AC，AB分别a，b，c，且满足下列两个条件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．①求a，b之间的等量关系；②若AE是△ABD的中线．求证：△ACE是“和谐三角形”．3、已知，且，求x，y的值．4、某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．(1)求这一函数的解析式．(2)当气体的体积为时，气压是多少?(3)当气球内的气压大于时，气球会将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少?5、某化工材料经售公司购进了一种化工原料，进货价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元．市场调查发现：单价每千克70元时日均销售；单价每千克降低一元，日均多售．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按一天计算）．（1）如果日均获利1950元，求销售单价；（2）销售单价为多少时，可获得最大利润？最大利润为多少．6、（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，．求证：；（2）类比探究：如图（2），在矩形中，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，若，，求的长．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】只需要证明△AED∽△ACB即可求解.【详解】解∵DE∥BC，∴∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED∴△AED∽△ACB∴∴∴BD＝AD+AB＝2+4＝6．故选B．【考点】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.2、B【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值和正弦函数随锐角的增大而增大、正切函数随锐角的增大而增大即可解答．【详解】解：∵，且，∴45°﹤α﹤90°∵，且∴0°＜α＜60°∴45°＜α＜60°．故选：B．【考点】本题考查特殊角的三角函数值、锐角三角函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值，掌握锐角三角函数的增减性是解答的关键．3、A【解析】【分析】先分析二次函数的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数的图像恒过定点，即可得出正确选项．【详解】二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意．故选A．【考点】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数的图像恒过定点，本题蕴含了数形结合的思想方法等．4、B【解析】【分析】利用二次函数的定义逐项判断即可．【详解】解：A、y＝x2+，含有分式，不是二次函数，故此选项错误；B、y＝2﹣x2，是二次函数，故此选项正确；C、y＝，含有分式，不是二次函数，故此选项错误；D、y＝（x﹣1）2﹣x2＝﹣2x+1，是一次函数，故此选项错误．故选：B．【考点】本题考查了二次函数的概念，属于应知应会题型，熟知二次函数的定义是解题关键．5、D【解析】【分析】根据抛物线C1的解析式得到顶点坐标，利用二次函数平移的规律：左加右减，上加下减，并根据平移前后二次项的系数不变可得抛物线C2的顶点坐标，再根据关于x轴对称的两条抛物线的顶点横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得到抛物线C3所对应的解析式．【详解】解：∵抛物线C1：y＝（x－3）2＋2，其顶点坐标为（3，2）∵向左平移3个单位长度，得到抛物线C2∴抛物线C2的顶点坐标为（0，2）∵抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称∴抛物线C3的横坐标不变，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数∴抛物线C3的顶点坐标为（0，－2），二次项系数为－1∴抛物线C3的解析式为y＝－x2－2故选：D．【考点】本题主要考查了二次函数图象的平移、对称问题，熟练掌握平移的规律以及关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数是解题的关键．6、D【解析】【分析】由勾股定理可求AB的长，由锐角三角函数可得，即可求解．【详解】解：设经过t秒后，四边形ADEF是菱形，∴AD=DE=t，DE∥AB，∴CD=（3-t）（cm），∠ABC=∠DEC，∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，∴（cm），∵sin∠DEC=sin∠ABC=，∴，∴，故选：D．【考点】本题考查了菱形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．二、多选题1、ABD【解析】【分析】A选项：由作法可得AE是CD的垂直平分线，然后结合菱形的性质得出AD=2CE=2DE，得出∠D＝60°，即可求出∠ABC的度数；B选项：由题意可得AB是DE的两倍，然后结合三角形面积的求法即可判断出；C选项：由题意求出DE的长度，然后根据30°角直角三角形的性质求出AE的长度，然后在△ABE中利用勾股定理即可求出BE的长度；D选项：作EH⊥BC交BC的延长线于H，设AB的长度为4a，然后根据题意表示出EH和BH的长度，即可求出的值．【详解】解：由作法得AE垂直平分CD，即CE＝DE，AE⊥CD，∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝CD＝2DE，AB∥DE，在Rt△ADE中，cosD＝，∴∠D＝60°，∴∠ABC＝60°，∴A选项的结论正确，符合题意；∵S△ABE＝AB•AE，S△ADE＝DE•AE，而AB＝2DE，∴S△ABE＝2S△ADE，∴B选项的结论正确，符合题意；若AB＝4，则DE＝2，∴AE＝2，在Rt△ABE中，BE=，∴C选项的结论错误，不符合题意；作EH⊥BC交BC的延长线于H，如图，设AB＝4a，则CE＝2a，BC＝4a，BE＝a，在△CHE中，∠ECH＝∠D＝60°，∴CH＝a，EH＝a，∴sin∠CBE＝，∴D选项的结论正确，符合题意．故选：ABD．【考点】此题考查了菱形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质等知识．2、ABC【解析】【分析】根据三角形相似的判定定理逐项排查即可．【详解】解：A：∵∠A=∠A′=45°，∠B=26°，∠B′=109°，∴∠C=109°，∠C′=26°，∴∠B=∠C，∴△ABC∽△A′C′B′，B：∵AB=1，AC=1.5，BC=2，A′B′=4，A′C′=2，B′C′=3，∴，∴△ABC∽△C′A′B′；C：∵∠A=∠B′，AB=2，AC=2.4，A′B′=3.6，B′C′=3，∴AB：B′C′=AC：A′B′=2：3，∴△ABC∽△B′C′A′；D：∵AB=3，AC=5，BC=7，A′B′=，A′C′=

B′C′=，∴，∴不相似．故选ABC．【考点】本题主要考查了相似三角形的判定，相似三角形的判定方法主要有：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．3、ABC【解析】【分析】先根据勾股定理求出AC=，再根据三角函数的定义分别求解可得．【详解】解：A、sinA=，故该选项符合题意；B、tanA=，故该选项符合题意；C、cosB=，故该选项符合题意；D、tanB==，故该选项不符合题意；故选：ABC．【考点】本题主要考查了锐角三角函数，正确记忆相关比例关系是解题关键．4、ACD【解析】【分析】A、此函数在对称轴的左边是随着x的增大而减小，在右边是随x增大而增大，据此作答；B、和x轴有交点，就说明△≥0，易求a的取值；C、解一元二次不等式即可；D、根据左加右减，上加下减作答即可．【详解】解：∵y＝x2−4x＋a，∴对称轴：直线x＝2，A、当x＜1时，y随x的增大而减小，故该选项正确；B、当Δ＝b2−4ac＝16−4a≥0，即a≤4时，二次函数和x轴有交点，该选项错误；C、当a＝3时，则不等式x2−4x＋3＜0，即（x-3）（x-1）＜0，∴不等式的解集是1＜x＜3，故该选项正确；D、y＝x2−4x＋a配方后是y＝（x−2）2＋a−4，向上平移1个单位，再向左平移3个单位后，函数解析式是y＝（x-1）2＋a−3，把（1，−2）代入函数解析式，易求a＝−3，故该选项正确．故选：ACD．【考点】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握有关二次函数的增减性、与x轴交点的条件、与一元二次不等式的关系、上下左右平移的规律．5、ACD【解析】【分析】求得顶点坐标，根据题意即可判断①正确；根据二次函数的性质即可判断②错误；二次函数是不为0的常数）的顶点，即可判断③错误；根据题意时，时，即可判断④正确．【详解】解：二次函数，顶点为，在轴的下方，∵函数的图象与轴交于、两点，抛物线开口向上，，故①正确；时，随的增大而增大，故②错误；由题意可知当，二次函数是不为0的常数）的图象一定经过点，故③正确；线段上有且只有5个横坐标为整数的点，且对称轴为直线，∴当时，，当时，，，解得，故④正确；故选：ACD．【考点】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意，利用二次函数的性质解答是解题的关键．6、ABC【解析】【分析】由DE∥BC，AD：DB=2：1，可得△ADE∽△ABC，推出，，推出，由此即可判断；【详解】解：∵DE∥BC，AD：DB=2：1，∴△ADE∽△ABC，∴，，∴，∴选项A、B、C正确，∵DE∥BC，∴，选项D错误，故选：ABC．【考点】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．7、BCD【解析】【分析】根据坡度的定义解答即可．【详解】交于点，交于点，，，，，，∴BCD正确．故选：BCD．【考点】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度的定义是解题的关键．三、填空题1、【解析】【分析】先求得顶点A的坐标，然后根据题意得出B的横坐标，把横坐标代入抛物线，得出B点坐标，从而求得A、B间的距离，最后计算面积即可．【详解】设AB交x轴于C∵抛物线线y＝a（x﹣2）2＋1（a＞0）的顶点为A，∴A（2，1），∵过点A作y轴的平行线交抛物线于点B，∴B的横坐标为2，OC=2把x=2代入得y=-3，∴B（2，-3），∴AB=1+3=4，．故答案为：4．【考点】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求得A、B的坐标是解题的关键．2、﹣1≤x≤2【解析】【分析】根据图象可以直接回答，使得y1≥y2的自变量x的取值范围就是直线y1=kx+m落在二次函数y2=ax2+bx+c的图象上方的部分对应的自变量x的取值范围．【详解】根据图象可得出：当y1≥y2时，x的取值范围是：﹣1≤x≤2．故答案为：﹣1≤x≤2．【考点】本题考查了二次函数的性质．本题采用了“数形结合”的数学思想，使问题变得更形象、直观，降低了题的难度．3、3【解析】【分析】连接AE，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得AE的长，利用三角函数即可求得，然后在Rt△AEF中，利用三角函数求得的长．【详解】解：连接AE，在Rt△ABE中，已知AB=3ｍ，BE=，∴根据勾股定理得．又∵，∴．在Rt△AEF中，，∴．故答案为：3．【考点】本题考查了坡度、坡脚的知识点，勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，熟练运用三角函数求线段的长度.4、y＝3x2－2或y＝－3x2－2【解析】【分析】根据二次函数的图象特点即可分类求解．【详解】二次函数的图象与抛物线y＝3x2的形状相同，说明它们的二次项系数的绝对值相等，故本题有两种可能，即y＝3x2－2或y＝－3x2－2．故答案为y＝3x2－2或y＝－3x2－2．【考点】此题主要考查二次函数的图象，解题的关键是熟知二次函数形状相同，二次项系数的绝对值相等．5、下【解析】【分析】根据二次函数二次项系数的大小判断即可；【详解】∵，∴抛物线开口向下；故答案是下．【考点】本题主要考查了判断抛物线的开口方向，准确分析判断是解题的关键．6、①③④【解析】【分析】由根的判别式，根与系数的关系进行判断，即可得到答案．【详解】解：根据题意，∵一元二次方程，∴；∴当，即时，方程有两个不相等的实根；故①正确；当，解得：，方程有两个同号的实数根，则当时，方程可能有两个异号的实根；故②错误；抛物线的对称轴为：，则当时，方程的两个实根不可能都小于1；故③正确；由，则，解得：或；故④正确；∴正确的结论有①③④；故答案为：①③④．【考点】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行解题．7、6【解析】【分析】解直角三角形求出AB、BC，再求出CD，连接CG，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CG，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出D、C、G三点共线时DG有最大值，再代入数据进行计算即可得解．【详解】连接CG，∵BC的中点为D∵△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G由三角形的三边关系得∴D、C、G三点共线时，DG有最大值故答案为：6．【考点】本题考查了旋转三角形的问题，掌握旋转的性质、解直角三角形、三角形的三边关系是解题的关键．四、解答题1、（1）；（2）【解析】【分析】（1）首先求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）如图，过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，连接BD，构造Rt△DEB，欲求锐角三角函数定义tan∠BDE＝，先求线段BE，DE的长度即可．【详解】（1）解：∵直线经过、两点，易得点，，代入抛物线中，得解之得∴抛物线的解析式为．（2）解：如图，过点作直线轴交抛物线于点，过点作轴于点，连接．∵抛物线的对称轴为，点为，∴点为，从而得，．∵点为∴，在中，，∴．【考点】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质以及三角函数等知识点，解题时，注意辅助线的作法．2、（1）见解析（2）①a=b+1②见解析【解析】【分析】（1）作AD的垂直平分线，交AC于F点即可；（2）①根据题意得到a=2c，联立a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1即可求解；②证明△ABE∽△CBA，得到，故可求解．【详解】（1）如图，点F为所求；（2）①∵△ABC是“和谐三角形”∴a=2c又a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．联立化简得到a=b+1；②∵E点是BD中点∴BE=由①得到AB=∴又∠ABE=∠CBA∴△ABE∽△CBA∴故△ACE是“和谐三角形”．【考点】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知垂直平分线的做法．3、x=6，y=10【解析】【分析】设，则x=3k，y=5k，z=6k，由可求得k的值，从而可求得x与y的值．【详解】设，则x=3k，y=5k，z=6k∵∴解得：k=2∴x=3×2=6，y=5×2=10即x、y的值分别为6、10【考点】本题考查了比例的性质，若几个比相等，即，常常设其比值为k，则有a=kb，c=kd，e=kf，再根据题目条件解答则更简便．4、（1）；（2）60KPa；（3）【解析】【分析】（1）设，A（0.5,120）在反比例函数上，即可求得反比例函数解析式；（2）把V=1代入（1）中的函数关系式求P即可；（3）依题意P≤150，即，解不等式即可．【详解】（1）设，∵A（0.5,120）在反比例函数上∴∴k＝60∴；故答案为：（2）当V＝1m3时，=60（KPa）；故答案为：60KPa（3）当P＞150KPa时，气球将爆炸，∴P≤150，∴，解得V0.4（m3）．故答案为：为了安全起见，气体的体积应不小于0.4（m3）．【考点】本题考查了反比例函数的应用，将实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．5、（1）65；（2）当单价为65时，日获利最大，最大利润为1950元．【解析】【分析】（1）若销售单价为x元，则每千克降低（70-x）元，日均多销售出2（70-x）千克，日均销售量为[60+2（70-x）]千克，每千克获利（x-30）元，根据题意可得等量关系：每千克利润×销售量-500元=总利润，根据等量关系列出方程即可；（2）运用配方法配成顶点式，得顶点坐标，结合x的取值范围即可求得结论．【详解】解：（1）设销售单价为x元，由题意得：（x-30）[60+2（70-x）]-500=1950，解得：x1=x2=65，∵销售单价不得高于每千克70元，也不得低于每千克30元，∴x=65符合题意，答：销售单价为65元时，日均获利为1950元；（2）设销售单价为x元，可获得利润为y，由题意得：y=（x-30）[60+2（70-x）]-500=-2x2+260x-6500（30≤x≤70），∴y=-2x2+260x-6