2026年高考数学一轮复习三维设计创新-微突破 抽象函数求解模型化

抽象函数求解模型化所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数.抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的，我们所遇到的抽象函数都是以中学阶段所学的基本初等函数为背景抽象而得，解决此类问题，若能从研究抽象函数的“模型”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本初等函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，常可猜测出抽象函数所蕴含的重要性质，并以此作为解题的突破口，必能为我们的解题提供思路和方法.常见的抽象函数对应的基本初等函数模型如下：基本初等函数模型抽象函数性质一次函数f（x）＝kx＋b（k≠0）f（x±y）＝f（x）±f（y）∓b幂函数f（x）＝xnf（xy）＝f（x）f（y）或f（xy）＝二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2axy－c指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）f（x＋y）＝f（x）f（y）或f（x－y）＝f对数函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）f（xy）＝f（x）＋f（y）或f（xy）＝f（x）－f（y）或f（xm）＝mf（x余弦函数f（x）＝Acosωx（Aω≠0）f（x）＋f（y）＝2Af（x＋y2）·f（x－y2）或f（x＋y）＋f（x－y）＝2Af正切函数f（x）＝tanxf（x＋y）＝f一、以一次函数为模型的抽象函数已知函数f（x）对任意x，y∈R，满足条件f（x）＋f（y）＝2＋f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，则不等式f（a2－2a－2）＜3的解集为{a｜－1＜a＜3}.解析：法一（常规解法）设x1＜x2，则x2－x1＞0，∵当x＞0时，f（x）＞2，∴f（x2－x1）＞2，则f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1）－2＞2＋f（x1）－2＝f（x1），即f（x2）＞f（x1），∴f（x）为增函数.∵f（3）＝f（2＋1）＝f（2）＋f（1）－2＝[f（1）＋f（1）－2]＋f（1）－2＝3f（1）－4，又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3.∴f（a2－2a－2）＜f（1），∴a2－2a－2＜1，即a2－2a－3＜0，解得不等式的解集为{a｜－1＜a＜3}.法二（模型解法）由f（x）＋f（y）＝2＋f（x＋y），即f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－2，可设函数f（x）＝kx＋2（k≠0），由f（3）＝5，得3k＋2＝5，k＝1，即f（x）＝x＋2，满足当x＞0时，f（x）＞2，则不等式f（a2－2a－2）＜3可化为a2－2a－2＋2＜3，即a2－2a－3＜0，解得－1＜a＜3，故不等式的解集为{a｜－1＜a＜3}.二、以幂函数为模型的抽象函数已知函数f（x）对任意实数x，y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1）.若a≥0且f（a＋1）≤39，则a的取值范围为[0，2].解析：法一（常规解法）设0≤x1＜x2，∴0≤x1x2＜1，f（x1）＝f（x1x2·x2）＝f（x1x2）·f（x2），∵0≤x＜1时，f（x）∈[0，1），∴0≤f（x1x2）＜1，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在[0，＋∞）上单调递增.∵f（27）＝9，又f（3×9）＝f（3）×f（9）＝f（3）×f（3）×f（3）＝[f（3）]3，∴9＝[f（3）]3，∴f（3）＝39，∵f（a＋1）≤39，∴f（a＋1）≤f（3），∴a＋1≤3，即a≤2，法二（模型解法）由f（xy）＝f（x）f（y），可设函数f（x）＝xn，由f（－1）＝1，f（27）＝9，得n＝23，即f（x）＝x23，满足当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1）.由f（a＋1）≤39，即（a＋1）23≤39，即（a＋1）23≤323，即a＋1≤3，得a≤2，又a≥三、以二次函数为模型的抽象函数定义在R上的函数f（x）满足f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy，f（1）＝2，则f（－3）＝（C）A.2 B.3C.6 D.9解析：法一（常规解法）f（－3）＝f（－1）＋f（－2）＋4＝3f（－1）＋6，f（0）＝f（0）＋f（0）＋0，f（0）＝0，又f（0）＝f（1－1）＝f（1）＋f（－1）－2＝f（－1），所以f（－3）＝6.法二（模型解法）由f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy，设函数f（x）＝x2＋bx，又由f（1）＝2，得b＝1，所以f（x）＝x2＋x，f（－3）＝6.四、以指数函数为模型的抽象函数已知函数f（x）对于一切实数x，y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当x＜0时，f（x）＞1.则当x＞0时，f（x）的取值范围为（0，1）.解析：法一（常规解法）∵对于一切x，y∈R，f（x＋y）＝f（x）f（y）且f（0）≠0，令x＝y＝0，则f（0）＝1，设x＞0，则－x＜0，∴f（－x）＞1，又f（0）＝f（x－x）＝f（x）f（－x）＝1，∴f（－x）＝1f（x）＞1，∴0＜f（法二（模型解法）由f（x＋y）＝f（x）f（y），可设函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1），由当x＜0时，f（x）＞1，结合指数函数的图象特征知0＜a＜1，取a＝12，则f（x）＝（12）x满足题意，故当x＞0时，f（x）的取值范围为（0，五、以对数函数为模型的抽象函数已知函数f（x）是定义域为（0，＋∞）的增函数，满足f（4）＝1，f（xy）＝f（x）＋f（y），若f（x）＋f（x－3）≤1，则x的取值范围为（3，4].解析：法一（常规解法）f（x）＋f（x－3）＝f[x（x－3）]≤1＝f（4），又f（x）是定义域为（0，＋∞）的增函数，∴0<x（x－3）≤4，x－3>0，x>0⇒法二（模型解法）由f（xy）＝f（x）＋f（y），可设函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）.由f（4）＝1，得a＝4，则f（x）＝log4x，由f（x）＋f（x－3）≤1，得log4x＋log4（x－3）≤1，即log4[x（x－3）]≤1，故x（x－3）≤4，x－3>0，x>0，解得3六、以余弦函数为模型的抽象函数（2022·新高考Ⅱ卷8题）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，则∑k=122f（k）＝（AA.－3 B.－2C.0 D.1解析：法一（常规解法）因为f（1）＝1，所以在f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）f（y）中，令y＝1，得f（x＋1）＋f（x－1）＝f（x）·f（1），所以f（x＋1）＋f（x－1）＝f（x）①，所以f（x＋2）＋f（x）＝f（x＋1）②.由①②相加，得f（x＋2）＋f（x－1）＝0，故f（x＋3）＋f（x）＝0，所以f（x＋3）＝－f（x），所以f（x＋6）＝－f（x＋3）＝f（x），所以函数f（x）的一个周期为6.在f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）f（y）中，令x＝1，y＝0，得f（1）＋f（1）＝f（1）f（0），所以f（0）＝2.令x＝1，y＝1，得f（2）＋f（0）＝f（1）·f（1），所以f（2）＝－1.由f（x＋3）＝－f（x），得f（3）＝－f（0）＝－2，f（4）＝－f（1）＝－1，f（5）＝－f（2）＝1，f（6）＝－f（3）＝2，所以f（1）＋f（2）＋…＋f（6）＝1－1－2－1＋1＋2＝0，根据函数的周期性知，∑k=122f（k）＝f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＝1－1－2－1＝－3，法二（模型解法）由f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）·f（y），可设函数f（x）＝2cosωx，由f（1）＝1，得2cosω＝1，取ω＝π3＋2kπ，k∈Z，令k＝0，得ω＝π3，则f（x）＝2cosπx3满足题意，可得f（x）的周期T＝2ππ3＝6，且f（1）＋f（2）＋…＋f（6）＝0.由于22除以6余4，所以∑k=122f（k）＝f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＝1－11.已知函数f（x）的定义域为R，且对任意x1，x2∈R都有f（x1＋x2）＝100f（x1）f（x2），则下列结论一定正确的是（）A.f（x）是偶函数B.f（x）是周期函数C.存在常数k，对任意x∈R，都有f（x＋1）＝kf（x）D.对任意m∈R，存在x0∈R，使得f（x0）＝m解析：C令f（x）＝10x－2，因为f（x1＋x2）＝10x1＋x2－2，100f（x1）f（x2）＝100×10x1＋x2－4＝10x1＋x2－2，所以f（x）＝10x－2满足f（x1＋x2）＝100f（x1）f（x2）.对于A，因为f（x）＝10x－2不是偶函数，故A错误；对于B，因为f（x）＝10x－2不是周期函数，故B错误；对于C，令x1＝x，x2＝1，则f（x＋1）＝100f（x）f（1），令k＝100f（1），所以存在常数k，对任意x∈R，都有f（x＋1）＝kf（x），故C正确；对于D，因为f（x）＝10x－2＞0，故m＜2.已知对于每一对正实数x，y，函数f（x）满足：f（x）＋f（y）＝f（x＋y）－xy－1，若f（1）＝1，则满足f（n）＝n（n∈N*）的n的个数是（）A.1 B.2C.3 D.4解析：A法一（常规解法）令y＝1，则f（x＋1）＝f（x）＋x＋2，即f（x＋1）－f（x）＝x＋2，所以f（x）－f（x－1）＝x＋1，f（x－1）－f（x－2）＝x，…，f（2）－f（1）＝3，累加得f（x）－f（1）＝x2+3x－42，则f（x）＝x（x+3）2－1，所以f（n）＝n（n+3）2－1，又f（n）＝n，解得n＝－2或n＝法二（模型解法）由f（x）＋f（y）＝f（x＋y）－xy－1，可设函数f（x）＝12x2＋bx－1，由f（1）＝1，得b＝32，故f（x）＝12x2＋32x－1，由f（n）＝n，即12n2＋32n－1＝n，解得n＝－2或n＝1，又n∈N*，所以n3.〔多选〕已知函数f（x）的定义域为R，且f（x＋y）＝f（x）＋f（y），当x＞0时，f（x）＞0，且满足f（2）＝1，则下列说法正确的是（）A.f（x）为奇函数B.f（－2）＝－1C.不等式f（2x）－f（x－3）＞－2的解集为（－5，＋∞）D.f（－2026）＋f（－2025）＋…＋f（0）＋…＋f（2025）＋f（2026）＝2025解析：AB法一（常规解法）对于A，令x＝y＝0，可得f（0）＝f（0）＋f（0）＝2f（0），所以f（0）＝0，令y＝－x，得到f（－x）＋f（x）＝f（0）＝0，即f（－x）＝－f（x），所以f（x）为奇函数，故A正确；对于B，因为f（x）为奇函数，所以f（－2）＝－f（2）＝－1，故B正确；对于C，设x1＞x2，x＝x1，y＝－x2，可得f（x1－x2）＝f（x1）＋f（－x2），所以f（x1）－f（x2）＝f（x1）＋f（－x2）＝f（x1－x2），又因为x1＞x2，所以x1－x2＞0，所以f（x1－x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）在R上是增函数，因为f（－2）＝－1，所以f（－4）＝f（－2－2）＝2f（－2）＝－2，由f（2x）－f（x－3）＞－2，可得f（2x）＞f（x－3）＋f（－4），所以f（2x）＞f（x－3－4）＝f（x－7），所以2x＞x－7，得到x＞－7，所以f（2x）－f（x－3）＞－2的解集为（－7，＋∞），故C错误；对于D，因为f（x）为奇函数，所以f（－x）＋f（x）＝0，所以f（－2026）＋f（2026）＝f（－2025）＋f（2025）＝…＝f（－1）＋f（1）＝0，又f（0）＝0，