2026年高考数学一轮复习三维设计创新-微突破 几何法求空间角与距离

微突破几何法求空间角与距离高中总复习·数学几何法求空间角与距离主要是转化构造三角形，即把空间角转化为平

面角，空间距离转化为平面距离，进而转化为求解三角形的边、角问题.一、几何法求空间角1.

直线和平面所成的角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直

线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°，一

条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°；（2）范围：[0°，90°].2.

二面角的有关概念（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；（2）二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两

个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面

角的平面角；（3）范围：[0°，180°].角度1

求线面角

（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝AA1，D，

E分别为AC，BC的中点，则异面直线C1D与B1E所成角的余弦值为

（

D

）A.

B.

C.

D.

D

（2）如图，已知正四棱锥P-ABCD底面边长为2，侧棱长为4，M为侧棱

PC的中点，则直线BM与底面ABCD所成角的正弦值为（

D

）DA.

B.

C.

D.

规律方法

几何法求空间角主要分为3个步骤：（1）作（找）角；（2）证明这

个角就是要求的角；（3）计算.其中作（找）角是关键，对于异面直线所

成的角，一般是通过平移一条直线直至与另一条直线相交，从而得到所求

角的平面角；对于线面所成的角，一般是在直线上找一点，作平面的垂

线，连接斜足与垂足得到直线在平面上的射影，直线与它在该平面上的射

影所成的角就是所求角的平面角.角度2

求二面角

A.30°B.45°C.60°D.75°C

（2）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱

柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”中，AC＝CB＝CC1，则二面角

C1-AB-C的正切值为（

D

）A.1B.2C.

D.

D

规律方法

作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面

内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂

线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.二、几何法求距离空间距离（1）点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足

间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该

平面的距离；（2）直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意

一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离；（3）两个平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的

任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面

间的距离.

（1）如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝

2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为（

A

）A.

2

B.

2

C.

D.4A

（2）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，

点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（

B

）

​

A.1B.

C.

D.

B

规律方法1.

求点线距一般要作出这个距离，然后利用直角三角形求解，或利用等面

积法求解.2.

求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即作出这个距离，可

根据条件求解，若不易作出点面距，可借助于等体积法求解.

A.3πB.2πC.πD.

√

2.

如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD∥BC，则AD到平面PBC的距离为（

）A.

B.

C.1D.2√

A.

B.1C.2D.3√

4.

〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运

动，则下列说法正确的是（

）A.

直线BD1⊥平面A1C1DB.

三棱锥P-A1C1D的体积为定值C.

异面直线AP与A1D所成角的取值范围是

D.

直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为

√√√解析：

A项，如图，连接B1D1，由正方体可得A1C1⊥B1D1，且BB1⊥平面A1B1C1D1，又A1C1⊂平面A1B1C1D1，则BB1⊥A1C1，因为B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1⊂平面BD1B1，所以A1C1⊥平面BD1B1，又BD1⊂平面BD1B1，所以A1C1⊥BD1.同理，连接AD1，易证得A1D⊥BD1，因为A1D∩A1C1＝A1，A1D，A1C1⊂平面A1C1D，所以BD1⊥平面A1C1D，故A正确；B项