大学数学分析辅导讲义合集

大学数学分析辅导讲义合集引言数学分析是大学数学的基石，也是现代数学的起点。它以极限为核心工具，研究函数的连续性、可导性、可积性及级数收敛性，其严谨的逻辑体系与深刻的思想方法，不仅为后续课程（如高等代数、微分几何、概率论）奠定基础，更培养了学生抽象思维与严格论证的能力。本讲义合集遵循“基础铺垫—核心定理—应用拓展”的逻辑，覆盖数学分析的核心内容（实数理论、极限、微分、积分、级数、多元分析），注重概念的直观理解与定理的严谨推导，同时通过典型例题与解题技巧提升实战能力。适合本科低年级学生巩固课堂知识，也可作为考研/竞赛的基础复习资料。第一章实数理论：数学分析的逻辑起点实数是数学分析的研究对象，其完备性（即没有“空隙”）是极限理论的前提。本节从实数的构造出发，介绍实数的基本性质与完备性定理。1.1实数的构造1.1.1戴德金分割定义：将有理数集$\mathbb{Q}$划分为两个非空子集$A$与$A'$，满足：$A\cupA'=\mathbb{Q}$，$A\capA'=\emptyset$；对任意$a\inA$，$a'\inA'$，有$a<a'$。这样的划分称为戴德金分割，记为$(A,A')$。戴德金定理：每个戴德金分割对应唯一的实数。若$A$有最大元或$A'$有最小元，则对应有理数；否则对应无理数（如$\sqrt{2}$）。1.1.2柯西序列与完备性柯西序列：若有理数序列$\{a_n\}$满足“对任意$\varepsilon>0$，存在$N$，当$m,n>N$时，$|a_m-a_n|<\varepsilon$”，则称$\{a_n\}$为柯西序列。实数的完备性：有理数集$\mathbb{Q}$中的柯西序列不一定收敛于有理数（如$\{1+1/1!+1/2!+\cdots+1/n!\}$收敛于无理数$e$），而实数集$\mathbb{R}$中的每一个柯西序列都收敛于实数，这是实数与有理数的本质区别。1.2实数的基本性质1.2.1有序性与阿基米德原理有序性：对任意$a,b\in\mathbb{R}$，必有$a<b$、$a=b$、$a>b$之一成立。阿基米德原理：对任意$a,b>0$，存在自然数$n$，使得$na>b$。应用：证明“没有最大的实数”“没有最小的正实数”。1.2.2确界原理（完备性核心）定义：设$S\subset\mathbb{R}$非空，若存在$M\in\mathbb{R}$，使得对所有$x\inS$，$x\leqM$，则称$S$有上界，$M$为$S$的一个上界；同理定义下界。确界：上界中的最小值称为上确界（记为$\supS$），下界中的最大值称为下确界（记为$\infS$）。确界原理：非空有上界的实数集必有上确界；非空有下界的实数集必有下确界。例1：证明$\sup\{1-1/n\midn\in\mathbb{N}^*\}=1$。证明：1.对任意$n$，$1-1/n<1$，故1是上界；2.对任意$\varepsilon>0$，取$n_0=\lceil1/\varepsilon\rceil+1$，则$1-1/n_0>1-\varepsilon$，故1是最小上界。注：确界原理是实数完备性的等价描述（其他等价定理：单调有界定理、柯西收敛准则、区间套定理、有限覆盖定理），后续极限理论的推导均依赖于此。第二章极限论：数学分析的核心工具极限是研究函数变化趋势的工具，分为数列极限与函数极限，其本质是“无限逼近”。2.1数列极限2.1.1定义（$\varepsilon-N$语言）设$\{a_n\}$为数列，$a\in\mathbb{R}$，若对任意$\varepsilon>0$，存在自然数$N$，当$n>N$时，$|a_n-a|<\varepsilon$，则称$\{a_n\}$收敛于$a$，记为$\lim_{n\to\infty}a_n=a$。几何意义：当$n$足够大时，$a_n$全部落在$a$的$\varepsilon$邻域$(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$内。例2：证明$\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+1}{2n^2-n}=\frac{1}{2}$。证明：计算$|a_n-a|=\left|\frac{n^2+1}{2n^2-n}-\frac{1}{2}\right|=\left|\frac{2(n^2+1)-(2n^2-n)}{2(2n^2-n)}\right|=\frac{n+2}{2(2n^2-n)}$。为简化不等式，当$n\geq2$时，$n+2\leq2n$，$2n^2-n\geqn^2$，故$|a_n-a|\leq\frac{2n}{2n^2}=\frac{1}{n}$。对任意$\varepsilon>0$，取$N=\max\{2,\lceil1/\varepsilon\rceil\}$，当$n>N$时，$|a_n-a|<\varepsilon$。2.1.2性质唯一性：收敛数列的极限唯一；有界性：收敛数列必有界（反之不成立，如$\{(-1)^n\}$）；保号性：若$\lim_{n\to\infty}a_n=a>0$，则存在$N$，当$n>N$时，$a_n>0$；四则运算：若$\lima_n=a$，$\limb_n=b$，则$\lim(a_n\pmb_n)=a\pmb$，$\lim(a_nb_n)=ab$，$\lim(a_n/b_n)=a/b$（$b\neq0$）。2.1.3收敛准则夹逼定理：若$a_n\leqb_n\leqc_n$，且$\lima_n=\limc_n=a$，则$\limb_n=a$；单调有界定理：单调递增有上界的数列必收敛；单调递减有下界的数列必收敛（由确界原理证明）；柯西收敛准则：数列$\{a_n\}$收敛当且仅当对任意$\varepsilon>0$，存在$N$，当$m,n>N$时，$|a_m-a_n|<\varepsilon$（完备性的数列形式）。例3：用单调有界定理证明$\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n=e$。证明：1.单调性：设$a_n=(1+1/n)^n$，由二项式定理展开：$a_n=1+\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}=1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\cdot\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}<1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}<1+\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k!}=e$（有上界）；又$a_{n+1}=(1+1/(n+1))^{n+1}>(1+1/(n+1))^n\cdot(1+1/(n+1))>(1+1/n)^n=a_n$（单调递增）。2.由单调有界定理，$\{a_n\}$收敛，记极限为$e$（$e\approx2.____$）。2.2函数极限2.2.1定义（$\varepsilon-\delta$语言）设函数$f(x)$在$x_0$的某去心邻域内有定义，$A\in\mathbb{R}$，若对任意$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$，当$0<|x-x_0|<\delta$时，$|f(x)-A|<\varepsilon$，则称$f(x)$在$x\tox_0$时收敛于$A$，记为$\lim_{x\tox_0}f(x)=A$。推广：左极限：$x\tox_0^-$，即$x<x_0$且$x\tox_0$；右极限：$x\tox_0^+$，即$x>x_0$且$x\tox_0$；无穷远处极限：$\lim_{x\to+\infty}f(x)=A$（类似$\varepsilon-N$语言，将$0<|x-x_0|<\delta$改为$x>M$）。例4：证明$\lim_{x\to2}(3x+1)=7$。证明：$|f(x)-A|=|3x+1-7|=3|x-2|$，对任意$\varepsilon>0$，取$\delta=\varepsilon/3$，当$0<|x-2|<\delta$时，$|f(x)-7|<\varepsilon$。2.2.2重要极限第一重要极限：$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$（几何意义：单位圆中扇形面积与三角形面积的逼近）；第二重要极限：$\lim_{x\to\infty}(1+1/x)^x=e$（数列极限的推广）。例5：计算$\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}$。解：利用三角恒等式$1-\cosx=2\sin^2(x/2)$，则$\lim_{x\to0}\frac{2\sin^2(x/2)}{x^2}=2\cdot\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2\cdot\frac{1}{4}=2\cdot1^2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$。2.2.3无穷小量与无穷大量无穷小量：极限为0的函数（如$x\to0$时，$\sinx$、$x^2$）；无穷大量：绝对值无限增大的函数（如$x\to0$时，$1/x$；$x\to+\infty$时，$x^2$）；阶的比较：设$\alpha(x),\beta(x)$为无穷小量，若$\lim\alpha/\beta=0$，则$\alpha$是$\beta$的高阶无穷小（记为$\alpha=o(\beta)$）；若$\lim\alpha/\beta=c\neq0$，则$\alpha$与$\beta$同阶无穷小；若$\lim\alpha/\beta=1$，则$\alpha$与$\beta$等价无穷小（记为$\alpha\sim\beta$）。等价无穷小替换定理：若$\alpha\sim\alpha'$，$\beta\sim\beta'$，则$\lim\alpha/\beta=\lim\alpha'/\beta'$（仅适用于乘除运算）。常用等价无穷小（$x\to0$）：$\sinx\simx$，$\tanx\simx$，$\ln(1+x)\simx$，$e^x-1\simx$，$1-\cosx\sim\frac{1}{2}x^2$，$\sqrt{1+x}-1\sim\frac{1}{2}x$。第三章一元函数微分学：变化率的精确描述微分学研究函数的局部变化性，核心概念是导数（瞬时变化率）与微分（线性逼近）。3.1导数的定义与几何意义3.1.1定义设函数$f(x)$在$x_0$的某邻域内有定义，若极限$\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}$存在，则称$f(x)$在$x_0$处可导，记为$f'(x_0)$或$\frac{dy}{dx}|_{x=x_0}$。左导数：$f'_-(x_0)=\lim_{\Deltax\to0^-}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}$；右导数：$f'_+(x_0)=\lim_{\Deltax\to0^+}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}$。可导的充要条件：$f'_-(x_0)=f'_+(x_0)$。3.1.2几何意义导数$f'(x_0)$是曲线$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处的切线斜率，切线方程为$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$。例6：求$f(x)=|x|$在$x=0$处的可导性。解：左导数：$f'_-(0)=\lim_{\Deltax\to0^-}\frac{|\Deltax|-0}{\Deltax}=\lim_{\Deltax\to0^-}\frac{-\Deltax}{\Deltax}=-1$；右导数：$f'_+(0)=\lim_{\Deltax\to0^+}\frac{|\Deltax|-0}{\Deltax}=1$；因左、右导数不等，故$f(x)$在$x=0$处不可导（几何意义：$y=|x|$在$x=0$处有“尖点”）。3.1.3可导与连续的关系定理：可导必连续，但连续不一定可导（如$y=|x|$在$x=0$处连续但不可导）。3.2导数的计算3.2.1基本初等函数导数公式常数：$(C)'=0$；幂函数：$(x^\alpha)'=\alphax^{\alpha-1}$（$\alpha\in\mathbb{R}$）；指数函数：$(a^x)'=a^x\lna$（特别地，$(e^x)'=e^x$）；对数函数：$(\log_ax)'=\frac{1}{x\lna}$（特别地，$(\lnx)'=\frac{1}{x}$）；三角函数：$(\sinx)'=\cosx$，$(\cosx)'=-\sinx$，$(\tanx)'=\sec^2x$；反三角函数：$(\arcsinx)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，$(\arctanx)'=\frac{1}{1+x^2}$。3.2.2求导法则四则运算：$(u\pmv)'=u'\pmv'$，$(uv)'=u'v+uv'$，$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$（$v\neq0$）；复合函数链式法则：设$y=f(u)$，$u=g(x)$，则$y'=f'(u)\cdotg'(x)$；隐函数求导：对$F(x,y)=0$两边关于$x$求导，解出$y'$（如$x^2+y^2=1$，求导得$2x+2yy'=0$，故$y'=-x/y$）；参数方程求导：设$\begin{cases}x=\phi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}$，则$\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}$，$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}\right)\cdot\frac{1}{\phi'(t)}$。例7：求$y=\ln(\sin2x)$的导数。解：由链式法则，$y'=\frac{1}{\sin2x}\cdot(\sin2x)'=\frac{1}{\sin2x}\cdot\cos2x\cdot2=2\cot2x$。3.3微分中值定理：导数与函数的联系微分中值定理是微分学的核心，建立了函数在区间上的整体性质与导数在区间内的局部性质之间的联系。3.3.1罗尔定理（Rolle）条件：1.$f(x)$在$[a,b]$上连续；2.$f(x)$在$(a,b)$内可导；3.$f(a)=f(b)$。结论：存在$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。几何意义：连续可导且端点函数值相等的曲线，必存在水平切线。3.3.2拉格朗日中值定理（Lagrange）条件：1.$f(x)$在$[a,b]$上连续；2.$f(x)$在$(a,b)$内可导。结论：存在$\xi\in(a,b)$，使得$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$。几何意义：连续可导曲线必存在一点，其切线与端点连线平行。推论：若$f'(x)=0$在$(a,b)$内恒成立，则$f(x)$在$(a,b)$内为常数。3.3.3柯西中值定理（Cauchy）条件：1.$f(x),g(x)$在$[a,b]$上连续；2.$f(x),g(x)$在$(a,b)$内可导；3.$g'(x)\neq0$在$(a,b)$内恒成立。结论：存在$\xi\in(a,b)$，使得$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$。注：罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例（$g(x)=x$），柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广（$g(x)$为任意满足条件的函数）。例8：证明当$x>0$时，$\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x$。证明：设$f(t)=\ln(1+t)$，则$f(t)$在$[0,x]$上连续，在$(0,x)$内可导。由拉格朗日中值定理，存在$\xi\in(0,x)$，使得$\ln(1+x)-\ln1=\frac{1}{1+\xi}(x-0)$，即$\ln(1+x)=\frac{x}{1+\xi}$。因$0<\xi<x$，故$\frac{x}{1+x}<\frac{x}{1+\xi}<x$，得证。3.4导数的应用3.4.1单调性与极值单调性判别：若$f'(x)>0$在$(a,b)$内恒成立，则$f(x)$在$(a,b)$内严格递增；若$f'(x)<0$，则严格递减。极值定义：设$f(x)$在$x_0$的某邻域内有定义，若对该邻域内所有$x\neqx_0$，有$f(x)<f(x_0)$（或$f(x)>f(x_0)$），则称$f(x_0)$为极大值（或极小值），$x_0$为极值点。极值必要条件：若$f(x)$在$x_0$处可导且取得极值，则$f'(x_0)=0$（驻点）。极值充分条件：1.（第一充分条件）：若$x_0$左侧$f'(x)>0$、右侧$f'(x)<0$，则$x_0$为极大值点；反之则为极小值点；2.（第二充分条件）：若$f'(x_0)=0$且$f''(x_0)<0$，则$x_0$为极大值点；若$f''(x_0)>0$，则为极小值点。3.4.2凹凸性与拐点凹凸性定义：若曲线$y=f(x)$在区间$(a,b)$内位于其任意切线上方，则称$f(x)$在$(a,b)$内凹（或上凸）；若位于切线下方，则称凸（或下凸）。凹凸性判别：若$f''(x)>0$在$(a,b)$内恒成立，则$f(x)$在$(a,b)$内凹；若$f''(x)<0$，则凸。拐点：曲线凹凸性改变的点（$f''(x)$由正变负或由负变正的点）。3.4.3洛必达法则（L’Hospital）条件：1.$\lim_{x\toa}f(x)=\lim_{x\toa}g(x)=0$（或$\infty$）；2.$f(x),g(x)$在$a$的某去心邻域内可导，且$g'(x)\neq0$；3.$\lim_{x\toa}\frac{f'(x)}{g'(x)}$存在（或$\infty$）。结论：$\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\toa}\frac{f'(x)}{g'(x)}$。适用类型：$\frac{0}{0}$型、$\frac{\infty}{\infty}$型（可通过变形转化为其他类型，如$0\cdot\infty$、$\infty-\infty$、$1^\infty$、$0^0$、$\infty^0$）。例9：计算$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$（$\frac{0}{0}$型）。解：应用洛必达法则，$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{e^x}{2}=\frac{1}{2}$。3.4.4泰勒公式（Taylor）定义：设$f(x)$在$x_0$的某邻域内有$n+1$阶导数，则对该邻域内任意$x$，有$$f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x),$$其中$R_n(x)$为余项，常见形式：皮亚诺余项：$R_n(x)=o((x-x_0)^n)$（用于求极限、近似计算）；拉格朗日余项：$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$（$\xi$介于$x_0$与$x$之间，用于证明不等式、估计误差）。麦克劳林公式（$x_0=0$的特例）：$$f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+R_n(x).$$常用麦克劳林展开（$x\to0$）：$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$；$\sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+o(x^{2n})$；$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$。例10：用泰勒公式证明当$x>0$时，$e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$。证明：$e^x$的麦克劳林展开为$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{e^\xi}{6}x^3$（$\xi\in(0,x)$）。因$e^\xi>0$，$x^3>0$，故$e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$。第四章一元函数积分学：累积量的精确计算积分学研究函数的整体累积性，分为不定积分（导数的逆运算）与定积分（黎曼和的极限），二者通过牛顿-莱布尼茨公式联系。4.1不定积分4.1.1定义设$f(x)$在区间$I$上有定义，若存在函数$F(x)$，使得$F'(x)=f(x)$对所有$x\inI$成立，则称$F(x)$为$f(x)$在$I$上的原函数，$f(x)$的所有原函数称为不定积分，记为$\intf(x)dx=F(x)+C$（$C$为任意常数）。注：连续函数必有原函数（由牛顿-莱布尼茨公式保证）。4.1.2基本积分公式常数：$\intCdx=Cx+C$；幂函数：$\intx^\alphadx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C$（$\alpha\neq-1$）；指数函数：$\inta^xdx=\frac{a^x}{\lna}+C$（特别地，$\inte^xdx=e^x+C$）；对数函数：$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$；三角函数：$\int\sinxdx=-\cosx+C$，$\int\cosxdx=\sinx+C$，$\int\sec^2xdx=\tanx+C$；反三角函数：$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsinx+C$，$\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctanx+C$。4.1.3积分方法换元积分法：1.第一类换元法（凑微分）：设$u=\phi(x)$可导，且$\intf(u)du=F(u)+C$，则$\intf(\phi(x))\phi'(x)dx=F(\phi(x))+C$；例11：计算$\int\cos2xdx$。解：令$u=2x$，则$du=2dx$，故$\int\cos2xdx=\frac{1}{2}\int\cosudu=\frac{1}{2}\sin2x+C$。2.第二类换元法（变量替换）：设$x=\psi(t)$单调可导，且$\psi'(t)\neq0$，则$\intf(x)dx=\intf(\psi(t))\psi'(t)dt$；常用替换：根号替换（如$\sqrt{a^2-x^2}$令$x=a\sint$，$\sqrt{x^2+a^2}$令$x=a\tant$）、倒数替换（如$\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$令$x=\sect$）。例12：计算$\int\sqrt{1-x^2}dx$。解：令$x=\sint$（$t\in[-\pi/2,\pi/2]$），则$dx=\costdt$，$\sqrt{1-x^2}=\cost$，故$\int\cost\cdot\costdt=\int\frac{1+\cos2t}{2}dt=\frac{t}{2}+\frac{\sin2t}{4}+C=\frac{\arcsinx}{2}+\frac{x\sqrt{1-x^2}}{2}+C$。分部积分法：设$u=u(x)$，$v=v(x)$可导，则$\intudv=uv-\intvdu$（适用于乘积形式，如$xe^x$、$\lnx$、$\arcsinx$）；例13：计算$\intx\lnxdx$。解：令$u=\lnx$，$dv=xdx$，则$du=\frac{1}{x}dx$，$v=\frac{x^2}{2}$，故$\intx\lnxdx=\frac{x^2}{2}\lnx-\int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}dx=\frac{x^2}{2}\lnx-\frac{x^2}{4}+C$。4.2定积分4.2.1定义（黎曼和）设$f(x)$在$[a,b]$上有界，将$[a,b]$划分为$n$个小区间$[x_0,x_1],[x_1,x_2],\dots,[x_{n-1},x_n]$（$x_0=a$，$x_n=b$），记$\Deltax_i=x_i-x_{i-1}$，$\lambda=\max\{\Deltax_i\}$，任取$\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$，若极限$\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Deltax_i$存在，且与划分及$\xi_i$的选取无关，则称$f(x)$在$[a,b]$上黎曼可积，记为$\int_a^bf(x)dx$。可积函数类：连续函数；单调函数；有有限个间断点的有界函数。4.2.2定积分的性质线性性：$\int_a^b[k_1f(x)+k_2g(x)]dx=k_1\int_a^bf(x)dx+k_2\int_a^bg(x)dx$；区间可加性：$\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx$（$c$为任意实数）；保号性：若$f(x)\geq0$在$[a,b]$上恒成立，则$\int_a^bf(x)dx\geq0$；估值定理：若$m\leqf(x)\leqM$在$[a,b]$上恒成立，则$m(b-a)\leq\int_a^bf(x)dx\leqM(b-a)$；积分中值定理：若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则存在$\xi\in[a,b]$，使得$\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)$（几何意义：曲边梯形面积等于某矩形面积）。4.3微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）定理：设$f(x)$在$[a,b]$上连续，$F(x)$为$f(x)$的一个原函数，则$$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)|_a^b.$$意义：将定积分的计算转化为原函数的增量，建立了不定积分与定积分的联系，是微积分的核心公式。例14：计算$\int_0^1x^2dx$。解：$x^2$的原函数为$\frac{x^3}{3}$，故$\int_0^1x^2dx=\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{1}{3}$。4.4定积分的应用4.4.1几何应用面积：曲线$y=f(x)$、$y=g(x)$与直线$x=a$、$x=b$围成的面积：$S=\int_a^b|f(x)-g(x)|dx$；极坐标曲线$r=r(\theta)$（$\alpha\leq\theta\leq\beta$）围成的面积：$S=\frac{1}{2}\int_\alpha^\betar^2(\theta)d\theta$。体积：旋转体体积（绕$x$轴）：$V=\pi\int_a^bf^2(x)dx$（圆盘法）；旋转体体积（绕$y$轴）：$V=2\pi\int_a^bxf(x)dx$（壳层法）；截面体体积（垂直于$x$轴的截面面积为$S(x)$）：$V=\int_a^bS(x)dx$。弧长：直角坐标：$s=\int_a^b\sqrt{1+f'^2(x)}dx$；参数方程：$s=\int_\alpha^\beta\sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^2(t)}dt$；极坐标：$s=\int_\alpha^\beta\sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)}d\theta$。例15：求曲线$y=x^2$从$x=0$到$x=1$绕$x$轴旋转的体积。解：由圆盘法，$V=\pi\int_0^1(x^2)^2dx=\pi\int_0^1x^4dx=\pi\cdot\frac{1}{5}=\frac{\pi}{5}$。4.4.2物理应用功：恒力做功$W=F\cdots$；变力$F(x)$沿$x$轴从$a$到$b$做功：$W=\int_a^bF(x)dx$；压力：液体压强$p=\rhogh$，平板一侧所受压力：$F=\int_a^b\rhogh(x)\cdotw(x)dx$（$w(x)$为平板在深度$h(x)$处的宽度）。4.5反常积分（广义积分）4.5.1定义无穷区间反常积分：$\int_a^{+\infty}f(x)dx=\