难点详解人教版8年级数学下册《平行四边形》综合练习试题

人教版8年级数学下册《平行四边形》综合练习考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，BN、CM为高，P为BC的中点，连接MN、MP、NP，则结论：①NP＝MP；②AN：AB＝AM：AC；③BN＝2AN；④当∠ABC＝60°时，MN∥BC，一定正确的有（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①④2、如图，在△ABC中，点E，F分别是AB，AC的中点．已知∠B＝55°，则∠AEF的度数是（）A．75° B．60° C．55° D．40°3、如图所示，公路AC、BC互相垂直，点M为公路AB的中点，为测量湖泊两侧C、M两点间的距离，若测得AB的长为6km，则M、C两点间的距离为（）A．2.5km B．4.5km C．5km D．3km4、如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（）A．7 B． C．8 D．95、在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是（）A．（7，3） B．（8，2） C．（3，7） D．（5，3）第Ⅱ卷（非选择题80分）二、填空题（5小题，每小题6分，共计30分）1、如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，∠B＝50°．现将△ADE沿DE折叠点A落在三角形所在平面内的点为A1，则∠BDA1的度数为_____．2、如图，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点M在对角线BD上，点N为射线BC上一动点，连接MN，DN，且∠DNM＝∠DBC，当DMN是等腰三角形时，线段BN的长为___．3、如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则cos∠EFG的值为________．4、能使平行四边形ABCD为正方形的条件是___________(填上一个符合题目要求的条件即可)．5、如图，在等腰△OAB中，OA＝OB＝2，∠OAB＝90°，以AB为边向右侧作等腰Rt△ABC，则OC的长为__________________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，点F在线段BD上，且DE＝BF．求证：AE∥CF．2、如图，已知四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一点（不与点A，D重合），连接CE，以CE为一边作正方形CEFG，使点F，G与点A，B在CE的两侧，连接BE并延长，交GD延长线于点H．（1）如图1，请判断线段BE与GD的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，连接BG，若AB＝2，CE＝，请你直接写出的值．3、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上一点，过点D作DE⊥AB，交BC于点E，连接AE，取AE的中点P，连接DP，CP．（1）观察猜想：如图（1），DP与CP之间的数量关系是，DP与CP之间的位置关系是．（2）类比探究：将图（1）中的△BDE绕点B逆时针旋转45°，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明；若不成立，请说明理由．（3）问题解决：若BC＝3BD＝3，将图（1）中的△BDE绕点B在平面内自由旋转，当BE⊥AB时，请直接写出线段CP的长．4、D、分别是不等边三角形即的边、的中点．是平面上的一动点，连接、，、分别是、的中点，顺次连接点、、、．（1）如图，当点在内时，求证：四边形是平行四边形；（2）若四边形是菱形，点所在位置应满足什么条件？（直接写出答案，不需说明理由．）5、阅读探究小明遇到这样一个问题：在中，已知，，的长分别为，，，求的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即的3个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法，（1）图1中的面积为________．实践应用参考小明解决问题的方法，回答下列问题：（2）图2是一个的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．①利用构图法在答题卡的图2中画出三边长分别为，，的格点．②的面积为________（写出计算过程）．拓展延伸（3）如图3，已知，以，为边向外作正方形和正方形，连接．若，，，则六边形的面积为________（在图4中构图并填空）．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】利用直角三角形斜边上的中线的性质即可判定①正确；利用含30度角的直角三角形的性质即可判定②正确，由勾股定理即可判定③错误；由等边三角形的判定及性质、三角形中位线定理即可判定④正确．【详解】∵CM、BN分别是高∴△CMB、△BNC均是直角三角形∵点P是BC的中点∴PM、PN分别是两个直角三角形斜边BC上的中线∴故①正确∵∠BAC=60゜∴∠ABN=∠ACM=90゜−∠BAC=30゜∴AB=2AN，AC=2AM∴AN：AB=AM：AC=1：2即②正确在Rt△ABN中，由勾股定理得：故③错误当∠ABC=60゜时，△ABC是等边三角形∵CM⊥AB，BN⊥AC∴M、N分别是AB、AC的中点∴MN是△ABC的中位线∴MN∥BC故④正确即正确的结论有①②④故选：C【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，掌握这些知识并正确运用是解题的关键．2、C【解析】【分析】证EF是△ABC的中位线，得EF∥BC，再由平行线的性质即可求解．【详解】解：∵点E，F分别是AB，AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B=55°，故选：C．【点睛】本题考查了三角形中位线定理以及平行线的性质；熟练掌握三角形中位线定理，证出EF∥BC是解题的关键．3、D【解析】【详解】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM＝AB，即可求出CM．【解答】解：∵公路AC，BC互相垂直，∴∠ACB＝90°，∵M为AB的中点，∴CM＝AB，∵AB＝6km，∴CM＝3km，即M，C两点间的距离为3km，故选：D．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．4、C【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出DE，由EF=1，得到DF，再根据三角形中位线定理即可求出线段AC的长．【详解】解：∵∠AEB＝90，D是边AB的中点，AB＝6，∴DE＝AB＝3，∵EF＝1，∴DF＝DE+EF＝3+1＝4．∵D是边AB的中点，点F是边BC的中点，∴DF是ABC的中位线，∴AC＝2DF＝8．故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形中位线定理，求出DF的长是解题的关键．5、A【解析】【分析】利用平行四边形的对边平行且相等的性质，先利用对边平行，得到D点和C点的纵坐标相等，再求出CD=AB=5，得到C点横坐标，最后得到C点的坐标．【详解】解：四边形ABCD为平行四边形。且。C点和D的纵坐标相等，都为3．A点坐标为（0，0），B点坐标为（5，0），．D点坐标为（2，3），C点横坐标为，点坐标为（7，3）．故选：A．【点睛】本题主要是考察了平行四边形的性质、利用线段长求点坐标，其中，熟练应用平行四边形对边平行且相等的性质，是解决与平行四边形有关的坐标题的关键．二、填空题1、80°【解析】【分析】由翻折的性质得∠ADE＝∠A1DE，由中位线的性质得DE//BC，由平行线的性质得∠ADE＝∠B＝50°，即可解决问题．【详解】解：由题意得：∠ADE＝∠A1DE；∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE//BC，∴∠ADE＝∠B＝∠A1DE＝50°，∴∠A1DA＝100°，∴∠BDA1＝180°−100°＝80°．故答案为：80°．【点睛】本题主要考查了翻折变换及其应用问题；同时还考查了三角形的中位线定理等几何知识点．熟练掌握各性质是解题的关键．2、15或24或【解析】【分析】分三种情形讨论求解即可．【详解】解：①如图1中，当NM=ND时，∴∠NDM=∠NMD，∵∠MND=∠CBD，∴∠BDN=∠BND，∴BD=BN==15；②如图2中，当DM=DN时，此时M与B重合，∴BC=CN=12，∴BN=24；③如图3中，当MN=MD时，∴∠NDM=∠MND，∵∠MND=∠CBD，∴∠NDM=∠MND=∠CBD，∴BN=DN，设BN=DN=x，在Rt△DNC中，∵DN2=CN2+CD2，∴x2=（12-x）2+92，∴x=，综上，当DMN是等腰三角形时，线段BN的长为15或24或．故答案为：15或24或．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解．3、【解析】【分析】根据题意连接BE，连接AE交FG于O，如图，利用菱形的性质得△BDC为等边三角形，∠ADC=120°，再在在Rt△BCE中计算出BE=CE=，然后证明BE⊥AB，利用勾股定理计算出AE，从而得到OA的长；设AF=x，根据折叠的性质得到FE=FA=x，在Rt△BEF中利用勾股定理得到（2-x）2+（）2=x2，解得x，然后在Rt△AOF中利用勾股定理计算出OF，再利用余弦的定义求解即可．【详解】解：连接BE，连接AE交FG于O，如图，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴△BDC为等边三角形，∠ADC=120°，∵E点为CD的中点，∴CE=DE=1，BE⊥CD，在Rt△BCE中，BE=CE=，∵AB∥CD，∴BE⊥AB，∴．∴，设AF=x，∵菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，∴FE=FA=x，∴BF=2-x，在Rt△BEF中，（2-x）2+（）2=x2，解得:，在Rt△AOF中，，∴．故答案为:．【点睛】本题考查了折叠的性质以及菱形的性质，注意掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．4、AC=BD且AC⊥BD（答案不唯一）【解析】【分析】根据正方形的判定定理，即可求解．【详解】解：当AC=BD时，平行四边形ABCD为菱形，又由AC⊥BD，可得菱形ABCD为正方形，所以当AC=BD且AC⊥BD时，平行四边形ABCD为正方形．故答案为：AC=BD且AC⊥BD（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．5、2或2##或【解析】【分析】如图1，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，根据等腰直角三角形的性质得到∠OAB=∠ABO=45°，∠CAB=∠CBA=45°，∠ACB=90°，推出四边形AOBC是正方形，根据勾股定理得到OC=AB；如图2，以AB为直角边作等腰Rt△ABC，求得∠ABC=45°，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABO=45°，根据勾股定理得到BC，于是得到结论．【详解】解：如图1，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，∵OA＝OB＝2，∠OAB＝90°，∴∠OAB＝∠ABO＝45°，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠ACB＝90°，∴∠AOB＝∠OAC＝∠ACB＝∠CBO＝90°，∴四边形AOBC是正方形，∴OC＝AB＝＝2；如图2，以AB为直角边作等腰Rt△ABC，∴∠ABC＝45°，∵OA＝OB＝2，∠OAB＝90°，∴∠ABO＝45°，AB＝2，∴∠CBO＝90°，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝＝4，∴OC＝，当以AB、BC为直角边作等腰直角三角形时，与图2的解法相同；综上所述，OC的长为2或2，故答案为：2或2．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形以及正方形的判定，正确的作出图形，进行分类讨论是解题的关键．三、解答题1、见解析【分析】首先根据平行四边形的性质推出AD＝CB，AD∥BC，得到∠ADE＝∠CBF，从而证明△ADE≌△CBF，得到∠AED＝∠CFB，即可证明结论．【详解】证：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴∠AED＝∠CFB，∴AE∥CF．【点睛】本题考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定与性质等，掌握平行四边形的基本性质，准确证明全等三角形并利用其性质是解题关键．2、（1）BE=DG，BE⊥DG，理由见解析；（2）．【分析】（1）由“SAS”证得△GCD≌△ECB；再由全等三角形的性质和平行线的性质可得∠EBC=∠HED=∠GDC，由余角的性质可得答案；（2）连接BD，EG，由①知∠BHD=∠EHG=90°，根据勾股定理可得出答案．【详解】证明：（1）BE=DG，BE⊥DG，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，四边形FGCE是正方形，∴CD=CB，CG=CE，∠GCE=∠DCB=90°，∴∠GCD=∠ECB，且CD=CB，CG=CE，∴△GCD≌△ECB（SAS），∴BE=DG，∠GDC=∠EBC，∵AD∥BC，∴∠EBC=∠HED=∠GDC，∵∠GDC+∠HDE=90°，∴∠HED+∠HDE=90°，∴∠DHE=90°，∴BE⊥DG；（2）连接BD，EG，如图所示，由（1）知∠BHD=∠EHG=90°，∴DH2+BH2=BD2=AB2+AD2=22+22=8，EH2+HG2=EG2=CG2+CE2=()2+()2=5+5=10，在Rt△BGH中，BH2+HG2=BG2，在Rt△EDH中，EH2+DH2=DE2，∴BG2+DE2=BH2+HG2+EH2+DH2=8+10=18．∴．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质解决问题，灵活运用条件解决问题．3、（1）PD＝PC，PD⊥PC；（2）成立，见解析；（3）2或4【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质，可得，根据角之间的关系即可，即可求解；（2）过点P作PT⊥AB交BC的延长线于T，交AC于点O，根据全等三角形的判定与性质求解即可；（3）分两种情况，当点E在BC的上方时和当点E在BC的下方时，过点P作PQ⊥BC于Q，利用等腰直角三角形的性质求得，即可求解．【详解】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴，∵，∴，∵点P为AE的中点，∴，∴，，∴，∴故答案为：，．（2）结论成立．理由如下：过点P作PT⊥AB交BC的延长线于T，交AC于点O．则∴，∴，，由勾股定理可得：∴∴∴∵点P为AE的中点，∴∴在中，，∴，∴∴∴，∴∴，∴．（3）如图3﹣1中，当点E在BC的上方时，过点P作PQ⊥BC于Q．则，∴∵∴由（2）可得，，，∴为等腰直角三角形∴∴由勾股定理得，如图3﹣2中，当点E在BC的下方时，同法可得PC＝PD＝2．综上所述，PC的长为4或2．【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是