指数运算及指数函数（精讲）（原卷版）

3.3指数运算及指数函数（精讲）一.根式1.如果xn＝a，那么eq\a\vs4\al(x)叫做a的n次方根；2.式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数；3.(eq\r(n,a))n＝eq\a\vs4\al(a)．当n为奇数时，eq\r(n,an)＝eq\a\vs4\al(a)；当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))二.分数指数幂的意义1.分数指数幂①正分数指数幂：aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)．②负分数指数幂：a－eq\s\up6(\f(m,n))＝eq\f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)．③0的分数指数幂：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．2.实数指数幂的运算性质①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．三．指数函数的概念、图象与性质1．指数函数的概念函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数．易错点：形如y＝kax，y＝ax＋kk∈R且k≠0，a>0且a≠1的函数叫做指数型函数，不是指数函数.2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质底数a>10<a<1图象性质定义域为eq\a\vs4\al(R)，值域为(0，＋∞)图象过定点(0,1)当x>0时，恒有y>1；当x<0时，恒有0<y<1当x>0时，恒有0<y<1；当x<0时，恒有y>1在定义域R上为增函数在定义域R上为减函数注意指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质与a的取值有关，应分a>1与0<a<1来研究指数幂运算原则（1）指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．二．指数函数图象的画法画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).三．指数函数的图象与底数大小的比较1.如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．2.有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除；(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论；(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解；(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．3.比较指数式的大小的方法是(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．4.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化．考法一指数幂运算【例1】（2023·贵州）化简求值（2）．(3)；(4)（5）已知：，求的值．【一隅三反】1.（2023·安徽）计算或化简下列各式：(1)；(2)．(3)；(4)已知，求下列各式的值：①；②．2．（2023·云南）解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．考法二指数函数的三要素及定点【例21】（2023·广东）函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是指数函数的是_________．【例22】（2023广东湛江）函数的定义域为________．【例23】（2023·上海奉贤）点、都在同一个指数函数的图像上，则t=________．【例24】（1）（2023春·湖北咸宁）当时，函数的值域是（） B． C． D．（2）（2023·辽宁丹东）函数的值域为（

）A． B． C． D．【例25】（1）（2023云南）函数恒过定点（2）（2023·全国·高三专题练习）函数且的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则的最小值为__________.【一隅三反】1．（2023春·山东滨州）函数的定义域为2．（2023·上海）已知函数是指数函数，求实数a的值．3．（2023·江西）下列函数中，属于指数函数的是_________．（填序号）①﹔②；③；④（a为常数，，）；⑤；⑥﹔⑦．4．（2023春·北京顺义）函数的定义域为___．5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．求函数的解析式.6．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数，，则其值域为_______．7．（2023春·上海嘉定）已知函数的值域为，则实数的取值范围是______.8.（2023北京）函数且的图象恒过某定点，则此定点为考法三指数函数的单调性及综合运用【例31】（2023春·河南周口）函数的单调递增区间为______.【例32】（2023湖北）函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【例33】（1）（2023春·上海嘉定）不等式的解集为______．（2022·海南·校联考模拟预测）不等式的解集为【例34】（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（

）．A． B．C． D．【一隅三反】1.（2023新疆）已知函数|在区间上是增函数，则实数的取值范围是_____.2.（2022天津）求函数的单调区间.3．（2023·河北）已知函数，则不等式的解集是4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上单调，则a的取值范围是5．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则、、的大小关系为_____________6.．（2023·江苏宿迁）若，，且满足，那么（

）A． B． C． D．考法四指数函数的奇偶性【例41】（2023·全国·高三专题练习）若函数为奇函数，则_________【例42】2023·全国·高三专题练习）已知函数为偶函数，则（

）A．1 B．2 C．2 D．1【例43】（2023·四川绵阳·统考模拟预测）设函数在定义域上满足，若在上是减函数，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）若为奇函数，则实数______.2．（2023·山东潍坊·统考二模）已知函数，则（

）A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数3（2023·辽宁鞍山·校联考一模）函数是定义在R上的偶函数，且，若，，则（

）A．4 B．2 C．1 D．04．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（

）A． B． C． D．考法五指数函数的图像【例51】（2023春·内蒙古赤峰）若的图像如图，（，是常数），则（

）

A．， B．，C．， D．，【例52】（2023·北京·人大附中校考三模）已知函数，，则大致图象如图的函数可能是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023·云南）函数的图像大致为（

）A．B．C．D．2．（2023春·江苏南京）已知函数的图象如图所示，则可以为（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象大致是（

）A．B．C． D．4．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象大致是（

）A．B．C．D．考法六指数函数的综合运用【例61】（2023·贵州）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数．如果在前消除了的污染物，则10小时后还剩下百分之几的污染物？（

）A． B． C． D．【例62】（2023春·湖北襄阳）已知函数，则的图象（

）A．关于直线