3充分必要条件-解析

第3讲充分条件与必要条件一、充分条件与必要条件充要条件的基本概念②充分条件、必要条件与充要条件二、充分条件、必要条件与充要条件的判断①从逻辑推理关系看②从集合与集合间的关系看若p：x∈A，q：x∈B，则1.若AB，则是的充分条件，是的必要条件；2.若A是B的真子集，则是的充分不必要条件；3.若A=B，则、互为充要条件；4.若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件.三、充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A故选：A【练习】C．x∈CRA是x∈CR【答案】AD【解析】【分析】根据题意得到，且，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】可得，且，故选：AD.2、设甲：x>1，乙：x>1，则（

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解题思路】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可【解答过程】由题x>1，可得x>1；但由x>1，可得x>1或故甲是乙的充分条件但不是必要条件，故选：A．【例题2】集合M=x−2<x<4，N=x−3<x<a，若x∈N的充分条件是x∈M，则实数A．−2,4 B．4,+∞ C．−3,4 D．【解题思路】根据充分条件的定义可得M⊆N，结合集合间的关系即可求解.【解答过程】由题意，因为“x∈N”的充分条件是“x∈M”，所以M⊆N，即(−2,4)⊆(−3,a)，解得a≥4，即实数a的取值范围为[4,+∞故选：B.【练习】1、设p:12≤x≤1；q:a≤x≤a+1，若p是q的充分不必要条件，则aA．0,12 C．−∞,0∪【解题思路】根据充分不必要条件可确定两个集合的真包含关系，从而通过解不等式组即得.【解答过程】若p是q的充分不必要条件，a≤12a+1≥1故选：A.【答案】C【解析】【分析】【详解】故选：C【例题3】求证：a2+b2+c2=ab+ac+bc是△ABC是等边三角形的充要条件.（这里【解题思路】根据充分性与必要性定义证明即可.【解答过程】先证明充分性：由a2得2a整理得，a−b2所以a=b=c，即△ABC是等边三角形.然后证明必要性：由△ABC是等边三角形，则a=b=c，所以a2综上所述，a2+b【练习】1、设a，b，c∈R，求证：关于x的方程ax2+bx+c=0【解题思路】根据充分条件、必要条件的定义结合一元二次方程的性质证明即可.【解答过程】充分性：∵a+b+c=0，∴c=−a−b，代入方程ax2+bx+c=0得a∴关于x的方程ax2+bx+c=0必要性：∵方程ax2+bx+c=0∴x=1满足方程ax∴a×12+b×1+c=0故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根是12、△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证：a2−b【解题思路】先利用等腰三角形中等角对等边即可证得，再结合因式分解即可证得必要性.【解答过程】（1）先证充分性：若A=B，则a=b，∴a2−（2）再证必要性：若a2∵a2∴(a−b)(a+b−c)=0，又因为△ABC中，a+b−c>0，∴a−b=0，∴a=b，∴A=B．综上可知，a2−b【例题4】“∀x∈R，x2+2x+1>0”的否定是（A．∃x0∈R，使得x02C．∃x0∈R，使得x02【解题思路】根据含有一个量词的否定判断即可.【解答过程】“∀x∈R，x2+2x+1>0”的否定是“∃x故选：A.【练习】1、已知命题p:∃x>1，x3−xA．p为真命题，且p的否定是“∀x>1，x3B．p为真命题，且p的否定是“∀x>1，x3C．p为假命题，且p的否定是“∀x>1，x3D．p为假命题，且p的否定是“∀x>1，x3【解题思路】根据x=2时，23【解答过程】因为当x=2时，23−2而p的否定是“∀x>1,x故选：A.【答案】B【解析】【分析】由根的判别式列出不等关系，求出实数a的取值范围.【详解】故选：B【练习】1、已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根；命题q：方程（1）若命题¬p为真，求实数m的取值范围；（2）若命题p，q中有且仅有一个为真一个为假，求实数m的取值范围.【解题思路】（1）由二次函数的性质得出命题p为真时，实数m的取值范围，进而由命题¬p为真求解；（2）由判别式得出q为真时，实数m的取值范围，再讨论p真q假或p假q真，得出实数m的取值范围.【解答过程】（1）若方程x2+mx+1=0有两个不等的负根，则Δ=因为命题¬p为真，所以实数m的取值范围为−∞（2）若方程4x2+4m−2x+1=0若p真q假时，m>2m≤1或m≥3若p假q真时，m≤21<m<3，解得1<m≤2综上，得m∈1,2课堂检测A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】BA．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分必要条件的定义，即可判断选项.【详解】故选：A【答案】D【解析】【分析】【详解】故选：D.4、关于x的方程x2+ax+1=0有两个不相等的实数根的充要条件是（A．a>2或a<−2 B．a≥2或a≤−2C．a<1 D．a>2【解题思路】根据题意，结合一元二次方程的的性质，列出不等式，即可求解.【解答过程】由方程关于x的方程x2+ax+1=0有两个不相等的实数根，则满足解得a>2或a<−2，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是a>2或a<−2.故选：A.【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的概念可得集合A与B的包含关系，画出数轴即可得不等式组从而求出a的范围．【详解】当时，根据题意作出如图所示的数轴，6、设p:12≤x≤1;q:a≤x≤a+1，若q是p的必要不充分条件，则实数aA．0,12 B．0,12 C．【解题思路】根据充分条件和必要条件的定义转化为对应关系即可求解.【解答过程】因为p:12≤x≤1，q:a≤x≤a+1，又q所以a≤12a+1≥1故选：D.7、下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是（）【答案】B【解析】选项A，C中的命题是全称命题,选项D中的命题是特称命题，但是假命题．只有B既是特称命题又是真命题,选B.【答案】D故选：D.9、已知命题p：存在一个无理数，它的平方是有理数，则为（

）A．任意一个无理数，它的平方不是有理数B．存在一个无理数，它的平方不是有理数C．任意一个无理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方是无理数【答案】A【详解】因为存在命题的否定是全称量词命题，所以为：任意一个无理数，它的平方不是有理数，故选：A10、已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}．（1）当m＝－1时，求A∪B；【解析】【详解】课后作业A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】故选：AA．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由充分条件和必要条件的定义分析判断即可【详解】故选：A【答案】BC4、若p:x<−1，则p的一个必要不充分条件为（

）A．x<−1 B．x<2 C．−8<x<2 D．−10<x<−3【解题思路】p的一个必要不充分条件是指由p能推出的条件，但反之不能推出.【解答过程】设p的一个必要不充分条件为q，则p⇒q且q⇒故只有B选项成立.故选：B.5、已知x∈R，条件p:0<x<1，条件q:1x≥aa>0，若p是qA．a>0 B．a≤1 C．a≥1 【解题思路】根据不等式性质，由x的取值范围，可得1x【解答过程】由0<x<1，则1x>1，由p是q的充分不必要条件，则所以0<a≤1.故选：D.6、已知p:{x|x+2≥0且x−10≤0}，q:{x|4−m≤x≤4+m,m>0}，若p是q的充要条件，则实数m的值是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【解题思路】由两个集合相等可求得参数m．【解答过程】由已知，p:{x|−2≤x≤10}，由p是q充要条件得{x|−2≤x≤10}={x|4−m≤x≤4+m,m>0}，因此4−m=−2,4+m=10,解得m=6故选：C.【答案】A【分析】将是的必要不充分条件转