高三试卷：广东省珠海市2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题（解析版）

第1页/共24页*启用前注意保密珠海市2025届高三第一次摸底考试A.C.【答案】B【解析】【分析】由条件，结合补集的运算法则求解即可.故选：B.2.复数为虚数单位z的共轭复数为()A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i【答案】B【解析】【分析】先将该复数化简为复数标准形式，再写出共轭复数即可.所以z的共轭复数为-3+i.故选:B第2页/共24页【答案】C【解析】【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可.【详解】由题可知→→所以有所以得.故选：C4.已知点A(-1,0)，B(0,3)，点P是圆(x-3)2+y2=1上任意一点，则△PAB面积的最小值为()A.6B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出直线AB的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点P到直线AB距离的最小值即可求得最小值.【详解】两点A(-1,0)，B0,3，则直线AB方程为y=3x+3，因此点P到直线AB距离的最小值为，所以△PAB面积的最小值是故选：D5.一个内角为30°的直角三角形，分别以该三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周第3页/共24页形成的曲面围成3个几何体．这3个几何体的体积从小到大之比为()A.D.【答案】C【解析】【分析】设该直角三角形的三条边长分别为，求出三角形斜边上的高，再根据圆锥的体积公式即可求解.【详解】设该直角三角形的三条边长分别为，设三角形斜边上的高为h，,所以这3个几何体的体积从小到大之比为.故选：C.第4页/共24页6.已知函数在R上没有零点，则实数a的取值范围是()A.【答案】A【解析】【分析】将问题转化为与函数y=-a的图象没有交点，利用数形结合法求解.设的图象如图所示，问题转化为g(x)与函数y=-a的图象没有交点，,故选：A.7.函数其中w>0，其最小正周期为π,则下列说法错误的是B.函数f(x)图象关于点对称第5页/共24页C.函数f(x)图象向右移φ(φ>0)个单位后，图象关于y轴对称，则φ的最小值为则函数f(x)的最大值为【答案】D【解析】【分析】化简函数解析式，根据正弦型函数的周期公式可求判断A，验证是否为函数f(x)的对称中心判断B，结合函数图象平移变换结论判断C，结合不等式性质及正弦函数性质判断D.【详解】由已知又>0，所以函数f(x)的最小正周期为π,所以因为所以函数f(x)图象关于点对称，B正确，将函数图象向右移φ(φ>0)个单位后可得函数的图象，因为的图象关于y轴对称，所以φ的最小值为C正确，所以故第6页/共24页所以当时，函数f(x)取最大值，最大值为错误.故选：D.8.若不等式bx+1≤e-x-ax2对一切x∈R恒成立，其中a,b∈R，e为自然对数的底数，则a+b的取值A.D.【答案】A【解析】可转化为f(x)≤f(0)恒成立即f(0)为函数的极大值，故可求参数的范围或取值，故可得正确的选项，或者将原不等式转化为ax2+bx+1≤e-x，根据左右两侧对应的函数的图象位置关系可求参数的范围.【详解】法一：不等式bx+1≤e-x-ax2对一切x∈R恒成立即为故不等式bx+1≤e-x-ax2对一切x∈R恒成立等价于f(x)≤f(0)恒成立，所以f(0)为f(x)的最大值点.f,(0)=b+1若b+1>0，存在区间(s,t)，是否0∈(s,t)且x∈(s,t)，总有f′x)>0，这与f(0)为f(x)的最大值点矛盾，故b+1>0不成立，同理b+1<0也不成立，故b+1=0，则b=-1，)时，f′x>0，当x∈0,+∞时，f′x<0，故f(x)在(-∞,0)上递增，0,+∞上递减，f(x)≤f(0)符合题意；第7页/共24页当时，f′故在上递减上递增，0,+∞,上递减，故ax2-x+1<0即f(x)<0，故f(x)≤f(0)恒成立，故a<0符合题意.(-∞,-1].+1=bx+1，此时，直线f(x)恒过点0,1，故只需直线f(x)=bx+1为g(x)=e-x在点0,1处的切线即可，当a≠0时，f(x)亦恒过点0,1，为使ax2-x对一切x∈R恒成立，需f(x)=ax2+bx+1开口向下，且在点0,1处与g(x)=e-x有公切线即可，(-∞,-1].故选：A.【点睛】思路点睛：多变量不等式恒成立问题，可将原不等式作适当变形，从而将恒成立问题转化为图象的位置关系，或者根据不等式的特征将不等式恒成立问题转化为函数的极值问题.9.设A，B为随机事件，且P(A)，P(B)是A，B发生的概率．P(A),P(B)∈(0,1)，则下列说法正确的第8页/共24页A.若A，B互斥，则P(AUB)=P(A)+P(B)B.若P(AB)=P(A)P(B)，则A，B相互独立C.若A，B互斥，则A，B相互独立与相等【答案】ABD【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A选项；由相互独立事件的概念可判断B选项；由互斥事件和相互独立事件的概念可判断C选项；由条件概率公式化简，可判断D选项.【详解】对于A：若A，B互斥，根据互斥事件的概率公式，则P(AUB)=P(A)+P(B)，故A正确；对于B：由相互独立事件的概念知，若P(AB)=P(A)P(B)，则事件A，B是相互独立事件，故B正确；对于C：若A，B互斥，则A，B不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件A=“正面朝上”，事件B=“反面朝上”，事件A与事件B互斥，但，所以不满足相互独立事件的定义，故C错误；所以与相等，故D正确.故选：ABD.10.设f(x)=x3-3x，则下列说法正确的是()A.函数y=f(x)的图象与圆x2+y2=1有且只有两个公共点B.存在无数个等腰三角形ABD，其三个顶点都在函数y=f(x)的图象上C.存在无数个菱形ABCD，其四个顶点都在函数y=f(x)的图象上第9页/共24页D.存在唯一的正方形ABCD，其四个顶点都在函数y=f(x)的图象上【答案】ABC【解析】【分析】对于A，结合函数的性质与图象判断即可；对于B、C，利用函数y=fx关于原点对称，结合等腰三角形三线合一，以及菱形的对角线互相垂直判断即可；对于D，由曲线的对称性，可知要使得正方形存在，则△AOB为等腰直角三角形，利用极限思想可得至少存在两个正方形.【详解】对于选项A，令f,(x)=3x2-3=3(x+1)当x∈一1,1时，f,x)<0，则函数f(x)在(-∞,-1)、1,+∞上单调递增，在一1,1上单调递减，又f(-1)=-1+3=2，f(1)=1-3=-2，函数y=f(x)的图象与圆x2+y2=1得图象如图所示：故函数y=fx的图象与圆x2+y2=1有且只有两个公共点，故A正确；对于选项B、C，由于函数y=fx的图象关于坐标原点O成中心对称，过点O作直线交f(x)的图象于B、D两点，过点O作BD的垂线交f(x)的图象于A、C两点，则△ABD为等腰三角形，四边形ABCD为菱形，当线段BD绕点O转动时，△ABD仍为等腰三角形，四边形ABCD仍为菱形，故选项B、C均正确；对于选项D：由于f(-x)=-x3+3x=-f(x)，故要使得正方形存在，则△AOB为等腰直角三角形，显然，当B(-1,2)时点P(2,1)在函数图象外侧，则，第10页/共24页如图所示，故至少存在两个正方形，故D错误.故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题解题的关键是，熟练掌握函数的对称性，注意使用极限思想，从而得到至少两个正方形.11.中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.已知在平面直角坐标系xOy中，到两定点F1(-a,0)，F2(a,0)距离之积为常数a2的点的轨迹C是双纽线.若M(3,0)是曲线C上一点，则下列结论A.曲线C的图象关于原点对称B.曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）C.曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3D.曲线C上有且仅有3个点P满足PF1=PF2【答案】AC【解析】【分析】根据题意求出轨迹C的方程，把(-x,-y)代入C的方程可判断A；令y=y的范围可判断B；由曲线C的方程可得根据可判断C；由题意得xP=0，设P(0,yp)，结合题意计算yp可判断D.【详解】对于选项第11页/共24页将M(3,0)代入可得2a2=9，x2-y2).把所以，曲线C的图象关于原点对称，故A正确；结合图象，得-3≤x≤3.因此，结合图象曲线C只能经过3个整点(0,0),(3,0),(-3,0).故B错误；对于选项可得所以曲线C上任意一点到坐标原点O的距离，即：都不超过3，故C正确；对于选项D：点P满足PF1=PF2，则P在FF2垂直平分线上，则xP=0，:yp=0，故只有原点满足，故D错误.【点睛】方法点睛：相关点代入法求轨迹方程的方法：一般情况下，所求点的运动，依赖于另外一个或多个点的运动，可以通过对这些点设坐标来寻找代换关系.（1）求谁设谁，设所求点的坐标为(x,y)；（2）所依赖的点称之为“参数点”，设为(xi,yi)(i=0,1,2…)等；（3）“参数点”满足某个（些）方程，可供代入；第12页/共24页（4）寻找所求点与“参数点”之间的坐标关系，反解参数值；（5）代入方程，消去参数值.12.直线y=ax-e与曲线C:y=xlnx相切，则a= ．【答案】2【解析】【分析】设切点坐标为(t,tlnt)，由导数的几何意义求解即可.【详解】设切点坐标为(t,tlnt)，由于y¢=lnx+1，所以曲线在(t,tlnt)处的切线方程为：y=(lnt+1)(x-t)+tlnt，即y=(lnt+1)x-t，故答案为：2.13.已知点P在双曲线上，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为45，【答案】25【解析】【分析】设P在双曲线右支上，由双曲线定义得到PF1-PF2=16，由余弦定理和面积公式，得到求出答案.【详解】设P在双曲线右支上，则PF1-P第13页/共24页又PFPF2又PF故答案为：2514.甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为72分，方差为90分2；乙班的平均成绩为90分，方差为60分2．那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是______分，方差是______分2．【答案】①.80②.【解析】【分析】利用平均数的定义求出90名学生的平均成绩，根据局部方差和整体方差的公式进行求解.【详解】甲、乙两班全部90名学生的平均成绩为分，故答案为：80，15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c其中且（1）求sinA的值；（2）若△ABC的外接圆半径为5，求△ABC面积的最大值．第14页/共24页（2）32【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定理可得根据sin=sinC可变（2）由正弦定理可得a=8，根据余弦定理结合基本不等式可得bc≤80，根据面积公式即可求解面积的最大值.【小问1详解】由题意得由正弦定理可知所以【小问2详解】由正弦定理因为所以，222bccosA，得由基本不等式可知所以bc≤80，当且仅当时等号成立，所以S△所以△ABC面积的最大值为32.第15页/共24页。，点D是棱A1B1的中点．（2）求面ABC与面A1BC夹角的正切值．【答案】（1）证明见解析【解析】（2）向量法求面与面的夹角.【小问1详解】又侧面ABB1A1丄底面ABC，侧面ABB1A1∩底面ABC=AB，AD侧面ABB1A1，所以AD丄底面ABC，又BC底面ABC，故AD丄BC.【小问2详解】因故△ABC为直角三角形，如图分别以AB，AC，AD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，第16页/共24页由题意平面ABC的一个法向量为设平面A1BC的一个法向量为=(x,y,Z)，面ABC与面A1BC夹角的正切值为.在椭圆C上，直线l:y=x+t．（1）若直线l与椭圆C有两个公共点，求实数t的取值范围；（2）当t=2时，记直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，P，Q为椭圆C上两动点，求四边形PAQB面积的最大值．【解析】【分析】（1）根据焦距可得a2—b2=8，再根据点在椭圆上联立直线方程和椭圆方程后结合判别式可求t的范围；（2）由题设可得当过P,Q且与直线l平行的直线与椭圆相切时面积之和最大，故求出切点坐标后可求面积和的最大值.第17页/共24页【小问1详解】而在椭圆上，故，故a22=4，故椭圆方程为：，【小问2详解】由题设可得P,Q为位于直线AB的两侧，不妨设Q在直线AB上方，P在直线AB的下方，当过Q的直线与直线AB平行且与椭圆相切时，Q到直线AB的距离最大及△QAB的面积最大，当过P的直线与直线AB平行且与椭圆相切时，Q到直线AB的距离最大及△QAB的面积最大，到AB的距离为，当t=4时，切点的横坐标为，切点坐标为(3,1)，在直线AB下方；第18页/共24页此时(3,1)到AB的距离为故四边形PAQB面积的最大值为8.18.设函数（1）试判断f′x的单调性；已知证明其中【答案】（1）f,(x)在(0,1)上单调递增.（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用二次求导即得；（2）令g(x)=f(x)—f,(x0)(x—x0)+f(x0)，则g,(x)=f,(x)—f,(x0)，由（1）得g(x)在(0,1上的单调性，进而g(x)≥g(x0)=0，即可证明；（3）将原不等式转化为令由得 可证明.【小问1详解】第19页/共24页:1x2>0，故f′x在0,1)上单调递增.【小问2详解】则g(x0)=f(x0)f,(x0)(xx0)+f(x0)=0,g,(x)=f,(x)f,(x0).又:f,(x)在0,1上单调递増，:当0<x<x0<1时，f,(x)<f,(x0)→g,(x)=f,(x)—f,(x0)<0；<x<1时，f,(x0)f(x)→g,(x)=f(x)f,(x0)0；所以函数g(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,1)上单调递增，故g(x)在x=x0处取最小值g(x0)，从而f(x)f,(x0)(xx0)+f(x0)≥0，即f(x)≥f,(x0)(x—x0)【小问3详解】要证只需证第20页/共24页即证（*）显然，当时，不等式（*）中等号成立.成立，从而成立.由f,(x)在(0,1)上单调递增，得到g(x)在x=x0处取最小值g(x0)，即g(x)≥g(x0)=0，命题得证；小问3，解决该小问的关键是利用分析法证明即可.19.对于数列{an}，若存在常数T，n0(T,n0∈N*)，使得对任意的正整数n≥n0，恒有an+T=an成立，则称数列{an}是从第n0项起的周期为T的周期数列．当n0=1时，称数列{an}为纯周期数列；当n0≥2时，称第21页/共24页数列{an}为混周期数列．记[x]为不超过x的最大整数，设各项均为正整数的数列{an}满足：an为偶数.an为奇数（1）若对任意正整数n都有an≠1，请写出三个满足条件的a1的值；（2）若数列{an}是纯周期数列，请写出满足条件的a1的表达式，并说明理由；（3）证明：不论a1为何值，总存在m,n∈N*使得an=2m-1．（3）证明见解析【解析】，6，根据已知条件逐一验证即可求解；，4，5，6，7，根据已知条件逐一验证得出猜想，并验证猜想；使得an=2m-1即可.【小问1详解】此时，数列{an}为常数列{3}；取不符合题意；2此时，数列{an}的通项公式为第22页/共24页a45n此时，数列{an}的通项公式为所以满足条件的三个a1的值为3,5,6；【小问2详解】此时数列{an}为常数列{1}，为纯周期数列；此时数列{an}的通项公式为为混周期数列；34n此时，数列{an}为常数列{3}，为纯周期数列；此时数列{an}的通项公式为为混周期数列；此时，数列{an}的通项公式为为混周期数列；a45n此时