2025年春季部编版初中数学教学设计八年级下册第1课时 一次函数的概念

19.2.2一次函数教学设计课题一次函数的概念授课人素养目标1.结合具体情境理解一次函数的意义，能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式．2．能辨别一次函数与正比例函数的区别与联系，感悟一般与特殊之间的关系．3．会从实际问题中建立一次函数模型解决简单的问题.教学重点一次函数概念的理解和根据已知信息写出一次函数的解析式．教学难点从实际生活问题中建立一次函数模型.教学活动教学步骤师生活动活动一：设置情境，导入新课设计意图结合实例，吸引学生注意力，为学习新知识做好铺垫.【情境导入】(教材P89问题2)某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在位置的气温是y℃.试用函数解析式表示y与x的关系．这个函数是正比例函数吗？它与正比例函数有什么不同？答：y随x变化的规律是：从大本营向上，当海拔增加xkm时，气温从5℃减少6x℃.因此y与x的函数解析式为y＝5－6x.这个函数也可以写为y＝－6x＋5.这个函数不是正比例函数．它与正比例函数形式不同．这节课我们将学习探究这种函数.【教学建议】教师带领学生共同探讨得到的实际问题的函数解析式，比较该函数与正比例函数的异同.活动二：问题引入，自主探究设计意图从大量生动有趣的实际问题情境出发，通过对一般规律的探索，从实际问题中抽象出一次函数的概念.探究点一次函数的概念阅读教材P90思考，回答其问题．答：4个问题中，变量之间的对应关系都是函数关系．这些问题的函数解析式分别为：(1)c＝7t－35(20≤t≤25)；(2)m＝h－105；(3)y＝0.1x＋22;(4)y＝－5x＋50(0≤x＜10)．正如活动一中的函数y＝－6x＋5一样，上面这些函数都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式．概念引入：一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数．提问：当b＝0时，y＝kx＋b是我们之前学习过的哪种函数？答：当b＝0时，y＝kx＋b即y＝kx，是正比例函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．【教学建议】学生分组讨论写出函数解析式，找出此类函数解析式的共同特征，由教师总结出一次函数的概念．要特别强调：①自变量系数不为0(k≠0)；②变量y与x的次数均为1.第1课时一次函数的概念教学步骤师生活动归纳总结：正比例函数与一次函数的区别与联系可用图表表示如下：【对应训练】教材P90练习第1题．(等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积)，再引导学生得到命题；(3)可以让学生拿一张长方活动三：重点突破，提升探究设计意图引导学生利用一次函数的两组对应值或结合实际问题中的相等关系，求出一次函数的解析式.已知一次函数y＝kx＋b，当x＝1时，y＝2；当x＝2时，y＝1.(1)求该一次函数的解析式；(2)当x＝3时，求y的值.解：(1)将x＝1，y＝2和x＝2，y＝1分别代入y＝kx＋b，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋b＝2，,2k＋b＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝3.))所以该一次函数的解析式为y＝－x＋3.(2)当x＝3时，y＝－3＋3＝0.例2根据市卫生部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放，在换水时需要经历“排水－清洗－注水”的过程．某个蓄水2500m3的游泳池在打开排水阀后，以20m3/min的速度排水.(1)写出该游泳池中剩余水量y(单位：m3)关于排水时间x(单位：min)的函数解析式，这个函数是一次函数吗？(不要求写出自变量的取值范围)(2)排水1h时，游泳池中剩余水量是多少？(3)游泳池完全排空需要多久？解：(1)根据题意，得y＝－20x＋2500.这个函数是一次函数.(2)1h＝60min，当x＝60时，y＝－20×60＋2500＝1300.故排水1h时，游泳池中剩余水量是1300m3.(3)令y＝0，得－20x＋2500＝0，解得x＝125.故游泳池完全排空需要125min.【对应训练】1～2.教材P90练习第2～3题.3.已知y＝(m＋1)x＋n＋4.(1)当m，n取何值时，y是x的一次函数？(2)当m，n取何值时，y是x的正比例函数？解：(1)m≠－1，n为任意实数．(2)m≠－1，n＝－4.【教学建议】学生独立思考完成，教师统一答案，告诉学生以下两点：(1)利用一次函数的两组对应值求函数解析式的过程，其实质就是列方程组求解的过程；(2)对于实际问题，要先理解题意，找出两个变量之间的关系，然后根据题中等量关系列出等式，再用含自变量的式子表示函数..活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《》“随堂小练”册子相应课时训练．【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：什么是一次函数？一次函数与正比例函数之间有什么区别和联系？知道两组变量间的对应值时，怎么确定一次函数的解析式？教学步骤师生活动【知识结构】【作业布置】1．教材P28习题17.1第1，3，7，13，14题．2．《》主体本部分相应课时训练．板书设计19.2.2一次函数第1课时一次函数的概念1.一次函数2.一次函数的解析式教学反思本节课是对正比例函数的进一步学习，通过由特殊到一般的思维方式将正比例函数扩展到一次函数，整节课以“问题情境—分析探究—总结升华”为主线，使学生亲身体验一次函数特征的探索，深化了对一次函数与正比例函数的关系的理解．同时，由两组变量间的对应值结合方程组求一次函数的解析式，也为后续待定系数法的引入打下了基础.解题方法：(1)要正确理解一次函数成立的条件：①自变量的次数是1；②一次项系数k≠0.根据这两个条件列方程或不等式进行解题．(2)明确一次函数与正比例函数的关系：正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数．(3)一次函数的自变量的取值范围是任意实数，但在实际问题中需根据实际意义确定．例1如果y＝(m－2)xm2－3＋2是关于x的一次函数，那么常数m的值是(B)A．2B．－2C．±2D．±1解析：由题意得m－2≠0，m2－3＝1，所以m＝－2.故选B.例2某校九年级学生制作毕业相册，某设计公司收设计费950元，另外收取每册材料费5元．(1)求制作相册总费用y(单位：元)与册数x的函数关系式．它是一次函数吗？试写出自变量x的取值范围．(2)当制作相册400册时，需要付费多少元？解：(1)y＝5x＋950，它是一次函数，自变量x的取值范围为x≥0且x为整数．(2)当x＝400时，y＝5×400＋950＝2950.故当制作相册400册时，需要付费2950元．例如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝4cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点D运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设四边形APQD的面积为ycm2，运动时间为x