3.1圆的对称性第1课时垂径定理导学案数学青岛版九年级上册

第3章对圆的进一步认识学习目标课题3.1圆的对称性课时第1课时垂径定理学习目标1.经历探索圆的对称性及垂径定理和推论的过程.2.理解圆的对称性及有关性质.3.会用垂径定理解决有关问题.学习重难点重点:垂径定理.难点:运用垂径定理进行有关的计算.学习活动[课前小测]1.圆是平面内到的距离等于的点的集合.

2.弦:圆上任意两点之间所连接的线段叫做,圆中最长的弦是.

3.弧:圆上任意两点间的部分叫做,简称弧.用符号“QUOTE”表示.

弧的分类半圆:如图,以A,B为端点的弧有条,分别是和.

[合作探究]探究一:圆是轴对称图形吗？思考下面的问题,动手操作并与同学交流:(1)在一张半透明的纸片上画一个圆,标出它的圆心O,再任意作出一条直径AB.将☉O沿直径AB折叠,你发现了什么?(2)再任意作一条直径,重复(1)中的操作,还有同样的结论吗?归纳小结:圆是轴对称图形,每一条直径所在的直线都是它的对称轴.探究二:垂径定理和推论1.垂径定理如图,CD是☉O的弦,AB是与CD垂直的直径,垂足为点E.将☉O沿直径AB折叠.(1)你发现线段CE与DE有什么关系?AC与AD有什么关系?BC与BD有什么关系?(2)能不能通过推理得到结论呢?归纳小结:垂径定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.已知:①AB是直径;②AB⊥CD.结论:③CE=DE;④AC=AD,⑤BC=BD.符号语言:∵AB是直径,AB⊥CD,∴CE=DE,AC=AD,BC=BD.“垂直于弦的直径”可以是直径,也可以是半径(如图),甚至还可以是过圆心的直线或线段.2.垂径定理的推论由折叠或垂径定理的证明可知,下列推论成立.推论1:平分弦(不是直径)的直径,垂直这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.几何语言:如图①,∵CE=DE,AB是直径,∴AB⊥CD,AD=AC,BC=BD.①如图②,两条直径一定互相平分,但不一定垂直,所以被平分的弦如果是直径,结论不一定成立.②推论2:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.推论3:平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧.归纳小结:一条线知二推三:①过圆心,②垂直于弦,③平分弦(不是直径),④平分优弧,⑤平分劣弧.典例分析:【例1】如图,以△OAB的顶点O为圆心的☉O交AB于点C,D,且AC=BD.求证:OA=OB.圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距.例如:OE是CD的弦心距.归纳小结:在圆中,作弦心距是常用的辅助线,可以利用垂径定理得到的结论来推理.【例2】1400多年前,我国隋朝时期建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱近似于圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.02m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形的高)为7.23m.求桥拱所在圆的半径(精确到0.1m).归纳小结:作弦心距和连半径是圆中常见的辅助线,构造直角三角形,应用垂径定理,结合勾股定理来解决问题.拓展:设半径OC=r,弦心距OE=d,弦CD的一半CE(半弦)为a,拱高AE为m,在这四个量r,d,a,m中,知二推二.[随堂检测]1.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,若AB=10,CD=8,则线段OE的长为()A.5 B.4 C.3 D.22.如图,在☉O中,CD是直径,AB是弦,且CD⊥AB,已知AB=16,CM=4,求OA.[课堂