2024~2025学年广东省清远市清新区高三上学期12月期末联考数学试卷（含解析）

/2024-2025学年广东省清远市清新区高三上学期12月期末联考数学检测试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.复数等于它共轭复数的倒数的充要条件是（）A. B. C. D.3.在等比数列中，，则（）A.4 B. C.8 D.54.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.5.已知F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，点P在双曲线上，，圆O：，直线PF1与圆O相交于A，B两点，直线PF2与圆O相交于M，N两点．若四边形AMBN的面积为，则C的离心率为（）A. B. C. D.6.过圆上一点作圆两条切线，切点分别为，，若，则实数（）A. B. C. D.7.甲、乙、丙等5名同学参加政史地三科知识竞赛，每人随机选择一科参加竞赛，则甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加概率为（）A. B. C. D.8.已知函数在区间上有且只有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、多选题（本题共4小题，每小题6分，共24分．每题至少两项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．）9.在正方体中，M，N，P分别是面，面，面的中心，则下列结论正确的是（）A. B.平面C.平面 D.与所成角是10.下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则的最小值为2C.若，则的最大值为2D.若，则11.已知圆，圆分别是圆与圆上的点，则（）A若圆与圆无公共点，则B.当时，两圆公共弦所在直线方程为C.当时，则斜率的最大值为D.当时，过点作圆两条切线，切点分别为，则不可能等于12.已知函数，，其中且．若函数，则下列结论正确的是（）A.当时，有且只有一个零点B.当时，有两个零点C.当时，曲线与曲线有且只有两条公切线D.若为单调函数，则三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13.第二届广东自由贸易试验区一联动发展区合作交流活动于2023年12月13日—14日在湛江举行，某区共有4名代表参加，每名代表是否被抽到发言相互独立，且概率均为，记为该区代表中被抽到发言的人数，则______.14.函数是奇函数，则__________.15.已知向量，，则使成立的一个充分不必要条件是______________．16.如图，在四棱柱中，底面ABCD为正方形，，，，且二面角的正切值为．若点P在底面ABCD上运动，点Q在四棱柱内运动，，则的最小值为______．四、解答题（本题共6小题，共70分）17.在中，角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，求的最小值.18.设是等比数列且公比大于0，其前项和为是等差数列，已知，．（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求满足的最大整数的值．19.在四棱锥中，底面是正方形，若，，，（1）求四棱锥的体积；（2）求直线与平面夹角正弦值．20.甲､乙两队进行篮球比赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立．（1）在比赛进行4场结束的条件下，求甲队获胜的概率；（2）赛事主办方需要预支球队费用万元．假设主办方在前3场比赛每场收入100万元，之后的比赛每场收入200万元．主办方该如何确定的值，才能使其获利（获利=总收入预支球队费用）的期望高于万元？21.抛物线：，双曲线：且离心率，过曲线下支上的一点作的切线，其斜率为.（1）求的标准方程；（2）直线与交于不同的两点，，以PQ为直径的圆过点，过点N作直线的垂线，垂足为H，则平面内是否存在定点D，使得DH为定值，若存在，求出定值和定点D的坐标；若不存在，请说明理由.22.已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，渐近线的斜率为2．（1）求双曲线的方程；（2）设过点的直线与曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．2024-2025学年广东省清远市清新区高三上学期12月期末联考数学检测试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【详解】∵，，∴，故选：D.2.复数等于它共轭复数的倒数的充要条件是（）A. B. C. D.【正确答案】B【详解】令则．由得，故选B．3.在等比数列中，，则（）A.4 B. C.8 D.5【正确答案】A【详解】由题意，所以，即等比数列公比为，所以，解得，所以.故选：A.4.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【正确答案】B【详解】抛物线C的标准方程为，所以其准线方程为，故选：B5.已知F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，点P在双曲线上，，圆O：，直线PF1与圆O相交于A，B两点，直线PF2与圆O相交于M，N两点．若四边形AMBN的面积为，则C的离心率为（）A. B. C. D.【正确答案】D【详解】根据对称性不妨设点P在第一象限，如图所示，圆O：，圆心为，半径为，设，，点P在双曲线上，，则有，，可得，过O作MN的垂线，垂足为D，O为的中点，则，，同理，，由，四边形AMBN的面积为，，化简得，则有，则C的离心率.故选：D6.过圆上一点作圆的两条切线，切点分别为，，若，则实数（）A. B. C. D.【正确答案】C【详解】取圆上任意一点P，过P作圆的两条切线，，当时，且，；则，所以实数.故选：C7.甲、乙、丙等5名同学参加政史地三科知识竞赛，每人随机选择一科参加竞赛，则甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为（）A. B. C. D.【正确答案】C【详解】因为甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，若每个同学可以自由选择，所以3科的选择数有2，2，1和3，1，1两种分配方案，当分配方案为2，2，1时，共有种不同的选择方案；当分配方案为3，1，1时，共有种不同的选择方案；所以满足要求的不同选择种数为；所以甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为.故选：C.8.已知函数在区间上有且只有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（）A. B.C. D.【正确答案】D【详解】因为得，则，所以由题意可得，，解得.故选：D二、多选题（本题共4小题，每小题6分，共24分．每题至少两项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．）9.在正方体中，M，N，P分别是面，面，面的中心，则下列结论正确的是（）A. B.平面C.平面 D.与所成的角是【正确答案】ABD【详解】连接，则是的中位线，∴，故A正确；连接，，则，平面，平面，∴平面，即平面，故B正确；连接，则平面即为平面，显然不垂直平面，故C错误；∵，∴或其补角为与所成的角，，故D正确．故选：ABD．10.下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则的最小值为2C.若，则的最大值为2D.若，则【正确答案】AD【详解】因为，所以，因为，所以，所以，故A正确；因为的等号成立条件不成立，所以B错误；因为，所以，故C错误；因为，当且仅当，即时，等号成立，所以D正确.故选：AD11.已知圆，圆分别是圆与圆上的点，则（）A.若圆与圆无公共点，则B.当时，两圆公共弦所在直线方程为C.当时，则斜率的最大值为D.当时，过点作圆两条切线，切点分别为，则不可能等于【正确答案】BC【详解】对于选项A，当两圆内含时，可以无穷大，所以A不正确；当时两圆相交，两圆的方程作差可以得公共弦的直线方程为，所以B为正确选项；对于选项B，当时如图，和为两条内公切线，且，由平面几何知识可知，所以可得，即斜率的最大值为，C选项正确；对于D选项，如图，点P在位置时，点在位置时，所以中间必然有位置使得，故D错误.故选：BC.12.已知函数，，其中且．若函数，则下列结论正确的是（）A.当时，有且只有一个零点B.当时，有两个零点C.当时，曲线与曲线有且只有两条公切线D.若为单调函数，则【正确答案】BCD【详解】对A，令，令或都成立，有两个零点，故A错误；对B，令，（）.考虑所以函数在单调递减，在单调递增，.考虑所以函数在单调递增，在单调递减，当时，,所以当时，有两个零点.此时，故B正确；对C，设，.设切点所以.①②,,设，所以，所以函数在单调递减，因为，所以所以有两解，所以当时，曲线与曲线有且只有两条公切线，所以该选项正确；对D，若单调递增，则..考虑不满足.若单调递减，则.所以考虑不满足.当时，不满足.当时，，∴.故D正确.故选：BCD三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13.第二届广东自由贸易试验区一联动发展区合作交流活动于2023年12月13日—14日在湛江举行，某区共有4名代表参加，每名代表是否被抽到发言相互独立，且概率均为，记为该区代表中被抽到发言的人数，则______.【正确答案】##【详解】由题意知随机变量为，所以，故答案.14.函数是奇函数，则__________.【正确答案】1【详解】因为，所以，因为是奇函数，所以，即，所以，解得，则.故115.已知向量，，则使成立的一个充分不必要条件是______________．【正确答案】（答案不唯一）【详解】因为，，所以，，所以，解得，所以使成立的一个充分不必要条件是.故（答案不唯一）16.如图，在四棱柱中，底面ABCD为正方形，，，，且二面角的正切值为．若点P在底面ABCD上运动，点Q在四棱柱内运动，，则的最小值为______．【正确答案】【详解】连接，交于，设是的中点，连接.由于，是的中点，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，，由于分别是的中点，所以，由于，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，所以是二面角的平面角，所以，所以，由于，所以，所以三角形是等腰直角三角形，所以，由于平面，所以平面，且.由于，所以点的轨迹是以为球心，半径为的球面在四棱柱内的部分，关于平面的对称点为，连接，交平面于，所以的最小值为.故求解二面角有关问题，关键是找到二面角的平面角，二面角的平面角的定义是：在二面角的交线上任取一点，然后在两个半平面内作交线的垂线，所得角也即是二面角的平面角.四、解答题（本题共6小题，共70分）17.在中，角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，求的最小值.【正确答案】（1）（2）.【小问1详解】由正弦定理得：，又，，，；【小问2详解】，，由余弦定理得：，当且仅当时等号成立，，即的最小值为.18.设是等比数列且公比大于0，其前项和为是等差数列，已知，．（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求满足的最大整数的值．【正确答案】（1），；（2）9.【小问1详解】设的公比为，因为，所以，即，解得或（舍），所以，设的公差为，因，所以，所以，解得，所以．故，.【小问2详解】，即.所以.，化简得，又，解得.所以满足的最大整数.19.在四棱锥中，底面是正方形，若，，，（1）求四棱锥的体积；（2）求直线与平面夹角正弦值．【正确答案】（1）（2）【小问1详解】取的中点，连接，，因为，所以，又，，所以，在正方形中，，所以，所以，又，所以，即，又，平面，平面，所以平面，所以四棱锥的体积为；【小问2详解】过作交于，则，结合（1）中平面，故可建如图空间直角坐标系：则，，，D0,1,0，故，，，设平面法向量为，则，故，取，则，，所以，设直线与平面夹角为，则，所以直线与平面夹角的正弦值为.20.甲､乙两队进行篮球比赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立．（1）在比赛进行4场结束的条件下，求甲队获胜的概率；（2）赛事主办方需要预支球队费用万元．假设主办方在前3场比赛每场收入100万元，之后的比赛每场收入200万元．主办方该如何确定的值，才能使其获利（获利=总收入预支球队费用）的期望高于万元？【正确答案】（1）（2）【小问1详解】记事件为“比赛进行4场结束”；事件为“甲最终获胜”，事件表示“第场甲获胜”，事件为“比赛进行4场结束甲获胜”；事件为“比赛进行4场结束乙获胜”．则，因为各场比赛结果相互独立，所以，，因为互斥，所以．又因为，所以由条件概率计算公式得.【小问2详解】设主办方本次比赛总收入为万元，由题意：的可能取值为：．，，，则随机变量的分布列为：3005007000.260.370.37所以．设主办方本次比赛获利为万元，则，所以，由题意：，所以预支球队的费用应小于261万元．21.抛物线：，双曲线：且离心率，过曲线下支上的一点作的切线，其斜率为.（1）求的标准方程；（2）直线与交于不同的两点，，以PQ为直径的圆过点，过点N作直线的垂线，垂足为H，则平面内是否存在定点D，使得DH为定值，若存在，求出定值和定点D的坐标；若不存在，请说明理由.【正确答案】（1）；