14.2.2 三角形全等的判定(二)(“ASA”“AAS”)教案【人教新版八上数学授课典案+备课素材】

三角形全等的判定(二)(“ASA”“AAS”)创设学习场景实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣悬念激趣创设情境:图14-2-34一天,小明不小心把一块三角形玻璃打碎成了三块,为了换一块完全一样的玻璃,他从打碎的三块玻璃中选一块带到玻璃店,小明的想法可行吗?若可行,你认为小明应该带哪块玻璃去玻璃店呢?为什么?请同学们讨论一下.(思考后请同学们回答)[教学提示]创设学生所熟悉的、鲜活的生活情境,从学生已有的生活经验和知识体验开始导入新课,使学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程,激发学生强烈的好奇心和求知欲.学生回答后,教师应给予鼓励,对回答的正确与否不做解释与评价,留一个悬念而后展开新课.教材母题模型教材母题——第45页习题14.2第15题如图14-2-35,点B,F,C,E在一条直线上,FB=CE,AB∥DE,AC∥DF.求证:AB=DE,AC=DF.【模型建立】(1)证明两条线段相等,可证它们所在的两个三角形全等;(2)由两直线平行可得同位角相等或者内错角相等或者同旁内角互补;(3)若能证明两个三角形的两组角分别相等,则证明两个三角形全等时,应选择判定方法“ASA”或“AAS”. 图14-2-35 图14-2-36【变式变形】1.如图14-2-36,已知AE=CF,∠A=∠C,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ADF≌△CBE的是 (C)A.∠D=∠B B.AD=CB C.BE=DF D.∠AFD=∠CEB2.如图14-2-37,点B,F,C,E在一条直线上,AB=DE,AB∥DE,AC∥DF.求证:FB=CE.[提示:利用“AAS”证明△ABC≌△DEF]3.如图14-2-37,点B,F,C,E在一条直线上,AB=DE,FB=CE,AB∥DE.求证:AC∥DF.[提示:利用“SAS”证明△ABC≌△DEF] 图14-2-37 图14-2-384.如图14-2-38,已知点E,C在线段BF上,BE=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F.求证:△ABC≌△DEF.[提示:利用“ASA”证明△ABC≌△DEF]5.如图14-2-39,已知点A,F,E,C在同一直线上,AB∥CD,∠1=∠2,AF=CE.(1)写出图中所有全等的三角形;(2)选择其中一对进行证明.图14-2-39[答案:(1)△AFD≌△CEB,△ABC≌△CDA,△ABE≌△CDF(2)略]质量评价角度【评价角度1】利用“角边角”或“角角边”证明两个三角形全等方法指引:(1)已知两个三角形的两组角分别相等,要证明这两个三角形全等,应选择判定方法“ASA”或“AAS”;(2)在利用“ASA”或“AAS”判定两个三角形全等时,要注意题目的隐含条件,如公共边、公共角、对顶角等;(3)在利用“ASA”或“AAS”判定两个三角形全等时,经常与平行线结合,利用平行线的性质得到两角相等或互补,再证明全等.例如图14-2-40,在四边形ABCD中,点E在AD上,其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°,且BC=CE.求证:△ABC≌△DEC.图14-2-40证明:如图14-2-41,∵∠BCE=∠ACD=90°,∴∠3+∠4=∠4+∠5.∴∠3=∠5.在△ACD中,∵∠ACD=90°,∴∠2+∠D=90°.图14-2-41∵∠BAE=∠1+∠2=90°,∴∠1=∠D.在△ABC和△DEC中,∠1=∠∴△ABC≌△DEC(AAS).【评价角度2】利用三角形全等证明线段(或角)相等方法指引:证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题,常常通过证明这两个三角形全等来解决.证三角形全等时,缺少的条件有时需要另一对全等三角形来提供.证线段(或角)相等往往转化为证线段(或角)所在的两个三角形全等,当需要证的两个三角形不满足全等的条件时,还需要添加辅助线,构造出全等三角形.例已知:如图14-2-42所示,∠ACB=∠CBD=90°,点E在BC边上,过点C作CF⊥AE于点F,延长CF交BD于点D,且CD=AE.图14-2-42求证:AC=BC.[答案:略]【评价角度3】利用全等三角形的判定与性质求线段长或角度方法指引:通常先判定两个三角形全等,再利用全等三角形的性质确定线段(或角)之间的相等关系,最后将所求线段(或角)转化为已知量进行计算,解题步骤中体现了转化思想的具体应用.例如图14-2-43,已知AB∥CF,E为DF的中点,若AB=8,CF=5,求BD的长.图14-2-43[答案:3]【评价角度4】利用全等三角形证明线段的和差问题方法指引:当一个图形中有多个垂直关系时,常用“同角或等角的余角相等”来证明两角相等.证明线段的和差问题通常采用的方法有等量代换法和截长补短法.例如图14-2-44所示,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,过点A任作一条直线AN,分别过点B,C作BD⊥AN于点D,CE⊥AN于点E.求证:DE=BD-CE.图14-2-44证明:∵∠BAC=90°,BD⊥AN,∴∠BAD+∠CAE=90°,∠ABD+∠BAD=90°.∴∠CAE=∠ABD.∵BD⊥AN,CE⊥AN,∴∠BDA=∠AEC=90°.在△ABD和△CAE中,∠∴△ABD≌△CAE(AAS).∴BD=AE,AD=CE(全等三角形的对应边相等).∵DE=AE-AD,∴DE=BD-CE.

三角形全等的判定(二)(“ASA”“AAS”)教学过程设计课题第2课时三角形全等的判定(二)(“ASA”“AAS”)授课人学习目标1.理解“角边角”“角角边”条件的内容;能利用“角边角”“角角边”判定两个三角形全等.2.使学生经历探究三角形全等的条件的过程;体验用操作、归纳得出数学结论的过程.3.会用“角边角”“角角边”解决具体问题;能利用全等解决角相等和线段相等的问题.4.培养学生严谨的推理能力,感悟三角形全等的应用价值.学习重点应用“角边角”“角角边”判定两个三角形全等.学习难点把握综合分析法的思想,寻找问题的切入点.授课类型新授课课时教具三角板、圆规(多媒体课件及几何画板)教学活动教学步骤师生活动设计意图活动一:创设情境导入新课【课堂引入】如图14-2-45,一个教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了,你能制作一张和原来一样的三角形硬纸板吗?图14-2-451.创造性的问题设计使学生快速集中精力,调整听课状态.2.知识的呈现过程与学生的生活密切联系起来,学有用的数学,激发学生的学习兴趣.(续表)活动二:探究与应用【探究1】利用“ASA”判定两个三角形全等思考:1.在△ABC中,如果AB,∠A,∠B的大小确定了,那么△ABC的形状、大小确定了吗?(确定了)2.如图14-2-46,在△A'B'C'和△ABC中,如果A'B'=AB,∠A'=∠A,∠B'=∠B,那么△A'B'C'≌△ABC,这个判断正确吗?图14-2-46学生活动:动手操作,感知问题的规律.作法:(1)如图14-2-47,由A'B'=AB可知,如果使点A与点A'重合,点B'在射线AB上,那么点B'与点B重合.图14-2-47(2)由∠A'=∠A,∠B'=∠B,可知射线A'C'与射线AC,射线B'C'与射线BC重合.(3)射线A'C',B'C'的交点C'与射线AC,BC的交点C重合.结论:△A'B'C'≌△ABC成立.3.再换两个三角形试一下,结论是否仍然成立呢?4.你能用语言描述上面的基本事实吗?探究规律:两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).几何语言:如图14-2-48,在△ABC和△A'B'C'中,图14-2-48∠A=∠A',∴△ABC≌△A'B'C'(ASA).【探究2】利用“AAS”判定两个三角形全等思考:如果两个三角形的两角分别相等且其中一组等角的对边相等,那么这两个三角形全等吗?我们发现:已知两个三角形的两角分别相等,那么它们的第三个角也相等.如图14-2-49,在△A'B'C'和△ABC中,如果∠A'=∠A,∠B'=∠B,那么∠C'=∠C,你知道为什么吗?图14-2-49学生回答:根据三角形的内角和定理,得∠C'=180°-∠A'-∠B',∠C=180°-∠A-∠B.又∵∠A'=∠A,∠B'=∠B,∴∠C'=∠C.教师提问:如图14-2-50,在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B',BC=B'C',△ABC与△A'B'C'全等吗?图14-2-50让学生在合作学习中共同解决问题,使学生主动探究三角形全等的条件,培养学生分析问题、探究问题的能力,合作和竞争的意识,体会合作交流的重要性.(续表)活动二:探究与应用学生活动:运用三角形的内角和定理以及“ASA”便能证出△ABC≌△A'B'C',并且归纳如下:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).几何语言:如图14-2-51,在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',∴△ABC≌△A'B'C'(AAS).图14-2-51【应用举例】例1如图14-2-52,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C.求证:AD=AE.[答案:略]图14-2-52教师活动:引导学生,分析例题.关键是寻找和已知条件有关的△ACD和△ABE,再证它们全等,从而得出AD=AE.师生互动:先让学生独立思考,再互相讨论、交流,然后引导学生分析已知条件,以及判定两个三角形全等还需要的条件,写出判定两个三角形全等的过程.例2如图14-2-53,AB⊥BC,AD⊥DC,垂足分别为B,D,且∠1=∠2.求证:AB=AD.图14-2-53证明:∵AB⊥BC,AD⊥DC,∴∠B=∠D=90°.在△ABC和△ADC中,∠1=∠2(已知),∴△ABC≌△ADC(AAS).∴AB=AD.变式如图14-2-54,AB=AC,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE与CD相交于点O.求证:△BOD≌△COE.图14-2-54[答案:略]教师点拨:由已知条件容易得到:∠BOD=∠COE,∠BDO=∠CEO,因此,要证明△BOD≌△COE还差一组边相等,由于AB=AC,所以可考虑证明BD=CE.学生活动:在教师的点拨和引导下,学生自主探究答案.1.培养学生的逻辑推理能力和独立思考的能力,会利用“ASA”“AAS”判定两个三角形全等,规范书写证明过程.2.培养学生的符号感,体会数学知识的严谨性.【拓展提升】例3如图14-2-55,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,AD=2.5cm,DE=1.7cm,求BE的长.图14-2-55[答案:BE=0.8cm]注意事项:在合作探究环节中,教师要关注学生在展示过程中出现的问题,并及时予以点拨.巩固本节课所学知识,提升学生综合应用所学知识解决问题的能力.(续表)活动三:课堂总结反思【当堂训练】1.如图14-2-56,甲、乙、丙三个三角形中与△ABC全等的是(D)图14-2-56A.只有乙B.只有丙C.甲和乙D.乙和丙2.如图14-2-57,已知∠1=∠2,BE=CD,根据“AAS”可知△ABE≌△ACD.若AB=5,AE=2,则CE=3.

图14-2-57图14-2-583.如图14-2-58,已知∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC,求证:△ABC≌△DCB.证明:在△ABC和△DCB中,∠ABC=∠DCB(已知),∴△ABC≌△DCB(ASA).图14-2-594.如图14-2-59,要测量池塘两岸相对的两点A,B的距离,可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C,D,使CD=BC,再画出BF的垂线DE,使点E与点A,C在一条直线上,这时测得DE的长度就是AB的长.为什么?[提示:证明△EDC≌△ABC]当堂训练,及时反馈学习效果.【知识网络】框架图式总结,更容易形成知识网络.【教学反思】①[授课流程反思]新课导入要注意培养学生的逻辑推理能力、语言表达能力,规范书写证明过程.课堂总结中,对学过的全等三角形的判定方法进行总结,形成