4.3多边形和圆的初步认识+讲义+2024-2025学年北师大版（2024）数学七年级上册

方法总比困难多学科讲义·七年级数学多边形和圆的初步认识基础知识讲解知识点一多边形及其相关概念1.多边形的概念：由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫作多边形。2.多边形必须具备三个要素：(1)组成多边形的线段在同一平面内；(2)线段不在同一直线上，且条数不少于3；(3)首尾顺次相连。3.与多边形有关的概念：多边形的构成概念n边形图例边组成多边形的各条线段有n条边线段AB,BC,CD,DE,AE顶点多边形相邻两条边的公共端点有n个顶点点A,B,C,D,E内角多边形相邻两条边所组成的角有n个内角∠BAE,∠ABC,∠BCD,∠CDE,∠DEA对角线多边形中连接不相邻两个顶点的线段从1个顶点可以引出(n-3)条对角线；共有n(n−3)2线段AC,AD,BD,BE,CE特别提醒：(1)我们平常所说的多边形都是指凸多边形，即多边形总在其任意一条边所在直线的同一侧。(2)表示多边形时，先写出多边形的名称，然后写出它的各个顶点的大写字母，要按顺时针(或逆时针)顺序书写。拓展：(1)经过n边形(n>3)的一个顶点的所有对角线把n边形分成(n-2)个三角形；（2)n边形的边数n每增加1，对角线就增加(n-1)条。例1、(1)过七边形的一个顶点引对角线，可以将这个七边形分割成个三角形；(2)若一个多边形从一个顶点出发最多可连9条对角线，则这个多边形是边形。【变式1-1】下列图形中，属于多边形的有()A.3个B.4个C.5个D.6个【变式1-2】从六边形的一个顶点出发，可连出的对角线条数为()A.3B.4C.5D.6【变式1-3】过多边形的一个顶点共有6条对角线，则这个多边形是()A.七边形B.八边形C.九边形D.十边形【变式1-4】过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形一共有条对角线。知识点二正多边形1.正多边形的概念：各边相等、各角也相等（*二者缺一不可）的多边形叫作正多边形。2.一个正多边形有n条边，这个多边形就叫作正n边形。下图中的多边形分别为正三角形、正四边形(正方形)、正五边形、正六边形。特别提醒：各边相等或各角相等的多边形不一定是正多边形。(1)如图，各边相等的平行四边形ABCD，不满足各角相等，它不是正四边形。(2)长方形中，各角都是90°，但各边却不一定相等，所以长方形不一定是正四边形。例2、下列图形为正多边形的是()【变式2-1】下列图形一定是正多边形的是()A.三角形B.正方形C.长方形D.八边形【变式2-2】下列说法不正确的是()A.正多边形的各边都相等B.各边都相等的多边形是正多边形C.正三角形的三条边都相等D.正六边形的六个内角都相等【变式2-3】一个正五边形的边长为4，则这个正五边形的周长为。知识点三圆及其相关概念1.圆的概念：如图，平面上，一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O称为圆心，线段OA称为半径。特别提醒：1.圆心和半径是确定一个圆的两个条件，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，两者缺一不可。2.圆上任意两点将圆分成两条弧，每条弧都对应一个扇形。2.圆的相关概念及表示：相关概念定义及表示圆弧圆上任意两点A,B间的部分叫作圆弧，简称弧，记作AB,读作“圆弧AB”或“弧AB”。如上图中的AB扇形由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫作扇形。如上图中的扇形AOB圆心角顶点在圆心的角叫作圆心角。如上图中的∠AOB拓展:(1)将一个圆分割成若干个扇形，这些扇形的面积之和等于圆的面积，圆心角的度数之和等于360°，每一个扇形圆心角的度数=360°×这个扇形的圆心角占周角的百分比。(2)半径为R的圆，其面积S=πR²，将圆等分为360个小扇形，则每个圆心角为1°的小扇形的面积是πR2360,所以圆心角为n°的扇形的面积是nπ例3、将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为2：3：4，则这三个扇形的圆心角的度数分别为()A.30°,60°,90°B.60°,120°,180°C.50°,100°,150°D.80°,120°,160°【变式3-1】下面四个图中的角，为圆心角的是()【变式3-2】将一个圆分割成四个扇形，它们的圆心角的度数比为4∶4∶5∶7,则这四个扇形中，最大的圆心角的度数是()A.54°B.72°C.90°D.126°【变式3-3】一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为。(结果保留π)题型专练例4、如图,把一个圆分成A,B,C,D,E五个扇形，若圆的半径为2cm，则扇形C的面积是cm²。【变式4-1】如图,将一个圆分割成三个扇形，若甲、丙两个扇形面积之比为3∶2，圆心角∠BOC=120°,则∠AOC的度数为()A.48°B.72°C.96°D.120°【变式4-2】如果一个时钟钟面上的分针长为2cm，那么从8时到8时20分，该时钟的分针在钟面上扫过的面积是cm²。易错易混专项讲练1、给出下列语句：①线段AB就是A，B两点之间的距离；②线段AB的一半就是线段AB的中点；③两点之间的所有连线中，直线最短；④若AC=BC,则C是线段AB的中点。其中错误的个数是()A.0B.2C.3D.42、已知点B在直线AC上,AB=6,AC=10,P,Q分别是AB,AC的中点,则PQ的长为。3、已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB和OC,使∠AOB=80°,∠BOC=40°,则∠AOC等于。4、如图,已知三点A,B,C,画直线AB,画射线AC，连接BC，按照上述语句画图正确的是()5、如图，下列说法中一定正确的是()A.∠1与∠BOC表示同一个角B.∠1=∠2C.∠2与∠AOB表示同一个角D.图中只有两个角，即∠1和∠26、下列关于角的说法中正确的是()A.角是由两条射线组成的图形B.角的边越长，角越大C.在角一边延长线上取一点D.角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形7、下列说法中，正确的是()A.若AP=PB,则P是线段AB的中点B.射线比直线短C.连接两点的线段叫作两点之间的距离D.过六边形的一个顶点作对角线，可以将这个六边形分成4个三角形8、如图，在一个圆中任意画4条半径，则这个圆中共有个扇形。9、过平面上A,B,C三点中的任意两点作直线，可作()A.1条