高二数学期末考试样卷

高二数学期末考试样卷命题说明：本样卷依据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》，覆盖高二核心知识点（圆锥曲线、导数及其应用、空间向量与立体几何、统计与概率、复数、逻辑命题等）。难度分布为基础题（40%）、中等题（45%）、难题（15%），旨在考查学生的基础知识掌握、逻辑推理能力及综合应用水平，符合期末考试的测评要求。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数的运算若复数\(z=1+2i\)（\(i\)为虚数单位），则\(z\cdot\overline{z}=\)（）A.\(-3\)B.\(3\)C.\(5\)D.\(-5\)考点：复数的共轭与乘法运算。解析：\(\overline{z}=1-2i\)，故\(z\cdot\overline{z}=(1+2i)(1-2i)=1^2-(2i)^2=1+4=5\)。选C。2.椭圆的定义平面内到两个定点\(F_1(-3,0)\)、\(F_2(3,0)\)的距离之和为8的点的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线考点：椭圆的定义（\(2a>2c\)）。解析：两定点距离\(|F_1F_2|=6\)，动点距离之和\(2a=8\)，满足\(2a>2c\)，故轨迹为椭圆。选B。3.导数的几何意义函数\(f(x)=x^3-2x\)在\(x=1\)处的切线方程为（）A.\(y=x-2\)B.\(y=x-1\)C.\(y=2x-3\)D.\(y=2x-2\)考点：导数的几何意义（切线斜率）。解析：\(f'(x)=3x^2-2\)，则\(f'(1)=1\)（斜率）。\(f(1)=1-2=-1\)，故切线方程为\(y+1=1\cdot(x-1)\)，即\(y=x-2\)。选A。4.统计中的样本均值某班10名学生的数学成绩（单位：分）为：85,90,92,88,95,87,90,91,89,93，则样本均值为（）A.90B.91C.92D.89考点：样本均值的计算。解析：均值\(=\frac{85+90+92+88+95+87+90+91+89+93}{10}=\frac{900}{10}=90\)。选A。5.空间向量的夹角已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2,3)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,-1,1)\)，则\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的夹角余弦值为（）A.\(\frac{1}{7}\)B.\(\frac{2}{7}\)C.\(\frac{3}{7}\)D.\(\frac{4}{7}\)考点：空间向量的点积公式。解析：\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\times2+2\times(-1)+3\times1=2-2+3=3\)；\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}\)，\(|\overrightarrow{b}|=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}\)。故\(\cos\theta=\frac{3}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{6}}=\frac{3}{\sqrt{84}}=\frac{3}{2\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{21}}{14}\)？等等，等一下，计算错了，\(\sqrt{14}\times\sqrt{6}=\sqrt{84}=2\sqrt{21}\)，分子是3，所以化简后是\(\frac{3}{2\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{21}}{14}\)，但选项里没有？不对，可能我算错了点积。再算一遍：\(1×2=2\)，\(2×(-1)=-2\)，\(3×1=3\)，加起来是2-2+3=3，没错。那选项是不是有问题？或者我哪里错了？等一下，选项里有没有\(\frac{\sqrt{21}}{14}\)？没有，那可能题目中的向量坐标写错了？比如\(\overrightarrow{b}=(2,1,1)\)，那点积是2+2+3=7，\(|\overrightarrow{b}|=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}\)，不对，或者\(\overrightarrow{b}=(1,-1,1)\)，点积是1-2+3=2，\(|\overrightarrow{b}|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}\)，\(\cos\theta=\frac{2}{\sqrt{14}×\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{42}}=\frac{\sqrt{42}}{21}\)，也不对。或者题目中的选项是不是应该有\(\frac{3}{\sqrt{84}}=\frac{3}{2\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{21}}{14}\)，但选项里没有，可能我哪里错了？或者题目中的向量是\(\overrightarrow{a}=(1,2,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,-1,1)\)，点积是2-2+2=2，\(|\overrightarrow{a}|=3\)，\(|\overrightarrow{b}|=\sqrt{6}\)，\(\cos\theta=\frac{2}{3\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{9}\)，也不对。或者题目中的选项是不是打错了？比如选项A是\(\frac{\sqrt{21}}{14}\)，但写成了\(\frac{1}{7}\)？\(\frac{\sqrt{21}}{14}≈0.327\)，\(\frac{1}{7}≈0.142\)，不对。可能我刚才的计算有误，再检查一遍：\(\overrightarrow{a}=(1,2,3)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,-1,1)\)，点积是1×2+2×(-1)+3×1=2-2+3=3，没错。\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}\)，\(|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{6}\)，所以\(\cos\theta=\frac{3}{\sqrt{14}×\sqrt{6}}=\frac{3}{\sqrt{84}}=\frac{3}{2\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{21}}{14}\)，约等于0.327，而选项中没有这个答案，可能题目中的向量坐标有误，比如把\(\overrightarrow{b}\)改成(1,1,1)，点积是1+2+3=6，\(|\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}\)，\(\cos\theta=\frac{6}{\sqrt{14}×\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{42}}=\frac{\sqrt{42}}{7}≈0.925\)，也不对。或者把\(\overrightarrow{a}\)改成(1,1,1)，\(\overrightarrow{b}=(2,-1,1)\)，点积是2-1+1=2，\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}\)，\(|\overrightarrow{b}|=\sqrt{6}\)，\(\cos\theta=\frac{2}{\sqrt{18}}=\frac{2}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}≈0.471\)，也不对。可能我刚才在命题的时候犯了错误，需要调整一下。比如把\(\overrightarrow{a}=(1,2,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,1,1)\)，点积是2+2+2=6，\(|\overrightarrow{a}|=3\)，\(|\overrightarrow{b}|=\sqrt{6}\)，\(\cos\theta=\frac{6}{3\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}≈0.816\)，选项里没有。或者把\(\overrightarrow{a}=(2,1,1)\)，\(\overrightarrow{b}=(1,2,1)\)，点积是2+2+1=5，\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{6}\)，\(|\overrightarrow{b}|=\sqrt{6}\)，\(\cos\theta=\frac{5}{6}≈0.833\)，选项里没有。或者换一个简单的，比如\(\overrightarrow{a}=(1,0,0)\)，\(\overrightarrow{b}=(0,1,0)\)，夹角余弦是0，选项里没有。或者回到原题，可能我算错了，比如\(\sqrt{14}×\sqrt{6}=\sqrt{84}=\sqrt{4×21}=2\sqrt{21}\)，没错，分子是3，所以\(\cos\theta=\frac{3}{2\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{21}}{14}\)，约等于0.327，而选项中没有，这说明我刚才的命题有误，需要修改题目。比如把\(\overrightarrow{b}=(1,-1,1)\)，那么\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1×1+2×(-1)+3×1=1-2+3=2\)，\(|\overrightarrow{b}|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}\)，\(\cos\theta=\frac{2}{\sqrt{14}×\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{42}}=\frac{\sqrt{42}}{21}≈0.436\)，选项里还是没有。或者把\(\overrightarrow{a}=(1,2,0)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,-1,0)\)，点积是2-2+0=0，夹角90度，余弦0，选项里没有。或者把\(\overrightarrow{a}=(1,1,0)\)，\(\overrightarrow{b}=(1,0,1)\)，点积是1+0+0=1，\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{2}\)，\(|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}\)，\(\cos\theta=\frac{1}{2}\)，选项里有吗？如果选项中有\(\frac{1}{2}\)，就选这个。比如修改题目：向量\(\overrightarrow{a}=(1,1,0)\)，\(\overrightarrow{b}=(1,0,1)\)，则夹角余弦值为（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)D.\(\frac{1}{3}\)，这样选A。可能我刚才在命题的时候犯了错误，现在纠正一下，把第5题改成：5.空间向量的夹角已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,1,0)\)，\(\overrightarrow{b}=(1,0,1)\)，则\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的夹角余弦值为（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)D.\(\frac{1}{3}\)解析：\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1×1+1×0+0×1=1\)；\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{1+1+0}=\sqrt{2}\)，\(|\overrightarrow{b}|=\sqrt{1+0+1}=\sqrt{2}\)。故\(\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\)。选A。6.逻辑命题命题“\(\forallx\in\mathbf{R},x^2+1\geq1\)”的否定是（）A.\(\existsx\in\mathbf{R},x^2+1<1\)B.\(\existsx\in\mathbf{R},x^2+1\geq1\)C.\(\forallx\in\mathbf{R},x^2+1<1\)D.\(\forallx\in\mathbf{R},x^2+1\leq1\)考点：全称命题的否定（换量词，否结论）。解析：全称命题“\(\forallx,P(x)\)”的否定是特称命题“\(\existsx,\negP(x)\)”，故原命题否定为“\(\existsx\in\mathbf{R},x^2+1<1\)”。选A。7.双曲线的渐近线方程双曲线\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1\)的渐近线方程为（）A.\(y=\pm\frac{3}{2}x\)B.\(y=\pm\frac{2}{3}x\)C.\(y=\pm\frac{9}{4}x\)D.\(y=\pm\frac{4}{9}x\)考点：双曲线的渐近线公式（\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)的渐近线为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)）。解析：\(a^2=4\Rightarrowa=2\)，\(b^2=9\Rightarrowb=3\)，故渐近线为\(y=\pm\frac{3}{2}x\)。选A。8.导数的单调性函数\(f(x)=x^2-2\lnx\)的单调递减区间是（）A.\((0,1)\)B.\((1,+\infty)\)C.\((-\infty,1)\)D.\((-1,1)\)考点：利用导数求单调区间（定义域内\(f'(x)<0\)的区间）。解析：定义域为\((0,+\infty)\)，\(f'(x)=2x-\frac{2}{x}=\frac{2(x^2-1)}{x}\)。令\(f'(x)<0\)，则\(x^2-1<0\Rightarrow0<x<1\)。选A。9.椭圆的离心率椭圆\(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{4}=1\)的离心率为\(\frac{1}{2}\)，则\(m=\)（）A.3B.5C.3或\(\frac{16}{3}\)D.5或\(\frac{16}{5}\)考点：椭圆的离心率（分焦点在x轴或y轴）。解析：当焦点在x轴时，\(a^2=m\)，\(b^2=4\)，\(c^2=m-4\)，离心率\(e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{m-4}{m}}=\frac{1}{2}\)，解得\(m=\frac{16}{3}\)；当焦点在y轴时，\(a^2=4\)，\(b^2=m\)，\(c^2=4-m\)，离心率\(e=\sqrt{\frac{4-m}{4}}=\frac{1}{2}\)，解得\(m=3\)。选C。10.排列组合从3名男生和2名女生中选出2人参加演讲比赛，至少有1名女生的选法有（）A.3种B.6种C.7种D.10种考点：组合数的应用（间接法或直接法）。解析：直接法：1女1男+2女=\(C_2^1C_3^1+C_2^2=2×3+1=7\)种；间接法：总选法\(C_5^2=10\)种，减去全男生的\(C_3^2=3\)种，得7种。选C。11.导数的极值函数\(f(x)=x^3-3x^2+1\)的极大值为（）A.1B.0C.-3D.-4考点：利用导数求极值（先求导找临界点，再判断单调性）。解析：\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)，令\(f'(x)=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。当\(x<0\)时，\(f'(x)>0\)；\(0<x<2\)时，\(f'(x)<0\)；\(x>2\)时，\(f'(x)>0\)。故\(x=0\)为极大值点，\(f(0)=1\)。选A。12.圆锥曲线的综合（压轴题）已知抛物线\(y^2=4x\)的焦点为\(F\)，过\(F\)的直线交抛物线于\(A,B\)两点，若\(|AF|=3\)，则\(|BF|=\)（）A.\(\frac{3}{2}\)B.2C.3D.\(\frac{1}{2}\)考点：抛物线的定义、焦点弦性质。解析：抛物线\(y^2=4x\)的焦点\(F(1,0)\)，准线\(x=-1\)。设\(A(x_1,y_1)\)，由抛物线定义得\(|AF|=x_1+1=3\Rightarrowx_1=2\)，代入抛物线方程得\(y_1^2=8\Rightarrowy_1=±2\sqrt{2}\)。直线\(AF\)的斜率为\(\frac{y_1-0}{x_1-1}=±2\sqrt{2}\)，方程为\(y=±2\sqrt{2}(x-1)\)。联立抛物线方程\(y^2=4x\)，得\([±2\sqrt{2}(x-1)]^2=4x\Rightarrow8(x^2-2x+1)=4x\Rightarrow2x^2-5x+2=0\)，解得\(x_1=2\)，\(x_2=\frac{1}{2}\)。故\(B\)点的横坐标为\(\frac{1}{2}\)，由抛物线定义得\(|BF|=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}\)。选A。二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.抛物线的焦点坐标抛物线\(y=x^2\)的焦点坐标为________。考点：抛物线的标准形式（\(x^2=2py\)的焦点为\((0,\frac{p}{2})\)）。解析：\(y=x^2\Rightarrowx^2=y\)，故\(2p=1\Rightarrowp=\frac{1}{2}\)，焦点坐标为\((0,\frac{1}{4})\)。答案：\((0,\frac{1}{4})\)14.统计中的方差一组数据：2,3,4,5,6的方差为________。考点：方差的计算（\(s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2\)）。解析：均值\(\overline{x}=\frac{2+3+4+5+6}{5}=4\)，方差\(s^2=\frac{(2-4)^2+(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2+(6-4)^2}{5}=\frac{4+1+0+1+4}{5}=2\)。答案：215.空间向量的坐标运算已知点\(A(1,2,3)\)，\(B(2,-1,4)\)，则向量\(\overrightarrow{AB}\)的坐标为________。考点：空间向量的坐标表示（\(\overrightarrow{AB}=B-A\)）。解析：\(\overrightarrow{AB}=(2-1,-1-2,4-3)=(1,-3,1)\)。答案：\((1,-3,1)\)16.二项式定理\((x+\frac{1}{x})^6\)的展开式中常数项为________。考点：二项式展开式的通项公式（\(T_{r+1}=C_n^ra^{n-r}b^r\)）。解析：通项为\(T_{r+1}=C_6^rx^{6-r}(\frac{1}{x})^r=C_6^rx^{6-2r}\)。令\(6-2r=0\Rightarrowr=3\)，故常数项为\(C_6^3=20\)。答案：20三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.三角函数化简求值（10分）已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，求\(\cos(\alpha-\frac{\pi}{4})\)的值。考点：三角函数的基本关系、余弦差公式。解析：第一步：求\(\cos\alpha\)（利用\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)）\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，故\(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=-\frac{4}{5}\)。（3分）第二步：用余弦差公式展开\(\cos(\alpha-\frac{\pi}{4})=\cos\alpha\cos\frac{\pi}{4}+\sin\alpha\sin\frac{\pi}{4}\)（5分）代入值：\(=-\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}\)（7分）\(=(-\frac{4\sqrt{2}}{10}+\frac{3\sqrt{2}}{10})=-\frac{\sqrt{2}}{10}\)（10分）答案：\(-\frac{\sqrt{2}}{10}\)18.统计概率（12分）某学校为了解学生的数学成绩，从高二随机抽取了100名学生的数学成绩，整理成频率分布直方图（如图所示），其中成绩分组为：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]。（1）求频率分布直方图中\(a\)的值；（2）估计该校高二学生数学成绩的中位数（保留一位小数）；（3）若从成绩在[80,100]的学生中随机抽取2人，求至少有1人成绩在[90,100]的概率。考点：频率分布直方图、中位数、古典概型。解析：（1）频率分布直方图的面积和为1，即：\((0.005+0.015+0.020+0.030+a)×10=1\)（2分）计算得：\(0.070+a=0.1\Rightarrowa=0.030\)（4分）（2）中位数是累积频率为0.5的位置。前两组频率和为\((0.005+0.015)×10=0.2\)，前三组频率和为\(0.2+0.020×10=0.4\)，前四组频率和为\(0.4+0.030×10=0.7\)，故中位数在第四组[80,90)内。设中位数为\(x\)，则：\(0.4+(x-80)×0.030=0.5\)（6分）解得：\((x-80)×0.030=0.1\Rightarrowx=80+\frac{0.1}{0.030}≈83.3\)（8分）（3）成绩在[80,90)的学生数为\(0.030×10×100=30\)人，[90,100]的学生数为\(0.030×10×100=30\)人（注意：这里\(a=0.030\)，所以[90,100]的频率是0.030×10=0.3，人数30人）。从[80,100]的60人中抽取2人，总选法\(C_{60}^2\)种；“至少1人在[90,100]”的对立事件是“2人都在[80,90)”，选法\(C_{30}^2\)种。故概率为：\(P=1-\frac{C_{30}^2}{C_{60}^2}=1-\frac{30×29}{60×59}=1-\frac{870}{3540}=1-\frac{29}{118}=\frac{89}{118}≈0.754\)（12分）答案：（1）0.030；（2）83.3；（3）\(\frac{89}{118}\)19.空间几何（12分）如图，在直三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(AB=AC=1\)，\(BC=\sqrt{2}\)，\(AA_1=2\)，\(D\)为\(BC\)的中点。（1）证明：\(AD\perp\)平面\(BCC_1B_1\)；（2）求直线\(A_1B\)与平面\(ADC_1\)所成角的正弦值。考点：线面垂直的判定、空间向量求线面角。解析：（1）证明：直三棱柱中，\(BB_1\perp\)平面\(ABC\)，\(AD\subset\)平面\(ABC\)，故\(BB_1\perpAD\)（2分）。\(AB=AC=1\)，\(D\)为\(BC\)中点，故\(AD\perpBC\)（等腰三角形三线合一）（4分）。\(BC\capBB_1=B\)，\(BC,BB_1\subset\)平面\(BCC_1B_1\)，故\(AD\perp\)平面\(BCC_1B_1\)（6分）。（2）解：建立空间直角坐标系，以\(D\)为原点，\(DB\)为\(x\)轴，\(DA\)为\(y\)轴，\(DD_1\)为\(z\)轴（\(D_1\)为\(B_1C_1\)中点）。则\(D(0,0,0)\)，\(A(0,1,0)\)（\(AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{1-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)？等一下，\(AB=1\)，\(BD=\frac{BC}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，所以\(AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{1-\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，所以\(A(0,\frac{\sqrt{2}}{2},0)\)，\(B(\frac{\sqrt{2}}{2},0,0)\)，\(C(-\frac{\sqrt{2}}{2},0,0)\)，\(A_1(0,\frac{\sqrt{2}}{2},2)\)，\(C_1(-\frac{\sqrt{2}}{2},0,2)\)（8分）。向量\(\overrightarrow{A_1B}=(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},-2)\)，平面\(ADC_1\)的法向量：\(\overrightarrow{DA}=(0,\frac{\sqrt{2}}{2},0)\)，\(\overrightarrow{DC_1}=(-\frac{\sqrt{2}}{2},0,2)\)。设法向量\(\overrightarrow{n}=(x,y,z)\)，则\(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{DA}=0\Rightarrowy=0\)；\(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{DC_1}=0\Rightarrow-\frac{\sqrt{2}}{2}x+2z=0\Rightarrowx=2\sqrt{2}z\)。取\(z=1\)，则\(\overrightarrow{n}=(2\sqrt{2},0,1)\)（10分）。直线\(A_1B\)与平面\(ADC_1\)所成角\(\theta\)的正弦值为\(|\cos\langle\overrightarrow{A_1B},\overrightarrow{n}\rangle|=\frac{|\overrightarrow{A_1B}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{A_1B}|\cdot|\overrightarrow{n}|}\)。计算分子：\(\frac{\sqrt{2}}{2}×2\sqrt{2}+(-\frac{\sqrt{2}}{2})×0+(-2)×1=2-2=0\)？不对，等一下，\(\overrightarrow{A_1B}=B-A_1=(\frac{\sqrt{2}}{2}-0,0-\frac{\sqrt{2}}{2},0-2)=(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},-2)\)，\(\overrightarrow{n}=(2\sqrt{2},0,1)\)，点积是\(\frac{\sqrt{2}}{2}×2\sqrt{2}+(-\frac{\sqrt{2}}{2})×0+(-2)×1=(2)+0-2=0\)，这说明\(\overrightarrow{A_1B}\perp\overrightarrow{n}\)，即直线\(A_1B\)在平面\(ADC_1\)内？不对，可能坐标系建立有误。或者换一种坐标系，以\(A\)为原点，\(AB\)为\(x\)轴，\(AC\)为\(y\)轴，\(AA_1\)为\(z\)轴，但\(AB=AC=1\)，\(BC=\sqrt{2}\)，所以\(AB\perpAC\)，这样坐标系更简单。重新建立坐标系：\(A(0,0,0)\)，\(B(1,0,0)\)，\(C(0,1,0)\)（因为\(AB=AC=1\)，\(BC=\sqrt{2}\)，所以\(AB\perpAC\)），\(A_1(0,0,2)\)，\(B_1(1,0,2)\)，\(C_1(0,1,2)\)，\(D\)为\(BC\)中点，故\(D(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)\)（8分）。向量\(\overrightarrow{A_1B}=B-A_1=(1,0,-2)\)，平面\(ADC_1\)的向量：\(\overrightarrow{AD}=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)\)，\(\overrightarrow{AC_1}=(0,1,2)\)。设平面\(ADC_1\)的法向量\(\overrightarrow{n}=(x,y,z)\)，则：\(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AD}=0\Rightarrow\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0\Rightarrowx+y=0\)（9分）；\(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AC_1}=0\Rightarrowy+2z=0\Rightarrowy=-2z\)（10分）。取\(z=1\)，则\(y=-2\)，\(x=2\)，故\(\overrightarrow{n}=(2,-2,1)\