专题17 全等三角形模型之奔驰模型解读与提分精练（解析版）

专题17全等三角形模型之奔驰模型

对于奔驰模型我们主要是可以通过一些几何变化，把其中的线段进行转移，以达到聚合条件，推出我

们想要的结论的目的。对于几何变化，目前学过的主要有：轴对称，平移，旋转，位似等。对于“奔驰模型''

我们主要采用旋转的方法进行变换。对于旋转处理，我们主要分为：旋转全等，旋转相似。今天的这主要

讲“奔驰模型”之旋转全等类型。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本木倒

置要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题H的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

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例题讲模型I

模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内）............2

模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内）7

模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型）...........................................................................................13

习题练模型

例题讲模型

模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内）

模型解读

此模型通常会和旋转一起来考查，还会综合勾股定理的知识来解题。为什么和旋转-起考查，因为旋转的特

征是:共顶点等线段。等边三角形，二边相等，每一个顶点出发都有两个相等线段，都符合共顶点等线段。

等边三角形三个顶点都可以作为旋转中心（如上图的旋转）。

条件：如图，已知正三角形内有一点P,满足夕川+尸出=/<2（常考数据：BP=3,A尸=4,CP=5）,

结论：ZAPB=\50%（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明）

证明：以AP为边向左侧作等边三角形力依‘，连接尸'C。

;三角形A8C和三角形4T5'都为等边三角形；：.AB=AC,AP=AP'=PP',NBAC=/PAP'=/PP'A=60°；

：.^BAC-ZPAC=ZPAP-ZPAC,：.ZBAP=ZPrAC,^ABP^ACP\sAS>-*^P=CP\NAPB=NAP'C；

,:PA2+PB2=PC2,・•・PP2+PC2=PC2,・•・4PP'C=90°,

，NAP'C=NPP'C+NPP'A=150。；N4PB=150。。

模型运用

注意：多线段共端点常考旋转。

例1.（23-24八年级下•广东深圳・期中）如图，点尸是等边三角形ABC内的一点，且94=2,尸3=1.5,PC=2.5,

则“人9的度数为。.

A

【答案】150

【分析】将一PC绕点4逆时针旋转60。后得到的△3E4.首先证明△产推出=

NEBP=ZABC=W,所以VBP0为等边三角形，得NBQP=60。，可得PE=PB=1.5,NEPB=6O°,

AE=PC=2.5,24=2,即可得到VAPE•为直角三角形，则NAPE=90。，所以ZAP8=900+60c=150°；由此

即可解决问题.

【详解】解：如图，将-BPC绕点8逆时针旋转60。后得到的△8".

/./BC^EBA,PB=EB，NEBP=ZABC=60°,

・•.△P8E为等边三角形，:,PE=PB=15,NEP8=60。，

VAE=PC=2.5,PA=2,「・尸户+A尸=A炉，；・V”E为直角三角形,

AZAPE=90°,/.ZAP^=9(r+60o=15(r；故答案为：150.

【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股

定理逆定理的应用，属于中考常考题型.

例2.（2022•湖南•中考真题）如图，点。是等边三角形人8c内一点，。4=2,OB=1,OC=&则MOB

与ABOC的面积之和为（）

3G

D.73

・「BE=2，AE=7,:.BE=AD=2,:.DE=AE-AD=7-2=5,:.CD=5.故答案为：5.

例4.（2024•安徽一模）如图，尸是等边三角形ABC内的一点，且幺=3,PB=4,PC=5,以BC为边在MBC

外作连接PQ,则以下结论中不正确的是（）

A.NPBQ=1）。B.NPQC=90。C.ZAPC=120°D.ZAPS=150°

【答案】C

【分析】根据△ABC是等边三角形，得出N/WC=60。，根据得出NCBQ=/ABP,PB=QB=4,

PA=QC=3,ZBPA=ZBQC,求出/尸8匕60。，即可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断B；根据△BPQ

是等边三角形，MCQ是直角三角形即可判断D；求出NAP01500-NQPC,和PC丰2QC,可得/QP®30。，

即可判断C.

【详解】解：•••△ABC是等边三角形，・・・NA8C=60。，

AZCBQ=ZABP,PB=QB=4,PA=QC=3,/B以二NBQC,

AZPBQ=ZPBC+ZCBQ=ZPBC^ZABP=ZABC=60°,所以A王确，不符合题意；

22222222

PQ=PB=4,PQ+QC=4+3=25fPC2=5=25,：.PQ+QC=PC,

••・NPQC=90。，所以B正确，不符合题意：

,：PB=QB=4,NPBQ=60。,I.ABP。是等边三角形，.・・NRPQ=60。，

Z.ZAPB=ZB（）C=ZB（）P+ZP（2C=60o+90°=150°,所以D正确，不符合题意；

ZZPC=360°-150°-600-ZQPC=150°-ZQPC,VPC=5,QC=PA=3y：.PC^2QC,

•・・/PQC=90。，・・・/。产230。，・・,NAPGH20。.所以C不正确，符合题意.故选：C.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决

本题的关键是综合应用以上知识.

例5.（24-25九年级上•广东广州•开学考试）如图，。是正V4BC内一点，。4=3,08=4,。。=5,将线

段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60。得到线段BO,下列结论，①△伙/4可以由/OC绕点8逆时针旋

转60。得到；②点。与。的距离为5：③4408=150。；④四边形八QBOC面积=6+46：⑤

S3oc+S0O8=6+（百，其中正确的结论是（）

A.①④⑤B.（D@④C.①③④⑤D.①③⑤

【答案】C

【分析】根据正三角形性质，得A8=3C=AC,ZABC=60°：根据旋转的性质，得NO80=6O%BO=BO,

根据等边三角形的性质，灯判断②，通过证明△&/A也即可判断①；根据勾股定理逆定理，得

400=90。，结合等边三角形AOB。，可判断③；根据等腰三角形三线合•和勾股定理的性质，可计算

得-。如，从而判断④；绕点A逆时针旋转60。得到△AMC，根据等腰三角形、勾股定理及其逆定理

的性质计算，可判断⑤，即可得到答案.

【详解】解：连接OO',如下图：•••正VA8CAB=I3C=AC,NA4c=60。

•・•线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60。得到线段BO',

・・・NO8O=60。，BO=BCX：.AOB0f为等边三角形；.OO'=OB=4,即②错误；

/LOBO=ZABO+ZABO=60°.ZABC=45。+NO4C=60°:・ZABO=NOBC

AB=BC

△80/和^BOC中<NABO'=NOBC/.WUgXBOC

BO'=BO

・・・。4=。。=5,△BO'A可以由43OC绕点3逆时针旋转60。得到，即①正确：

•••00=03=4,OA=3：,0^=00,2+0^，Z4OO'=90。

*/△OBO'为等边三角形/.N83=60°:.ZAOB=/AOO+ZB0C=150°,即③正确；

•?ZAO(y=90°S=-AOxOO,=-x3x4=6过点8做BN_LOO',交广点N

AAA

•/△OB。为等边三角形J/BNO=30°・•・ON=；OB=2Z.=[OB?-ON?=26

:.Sqg，=g°°'x8N=gx4x2G=4x/5・•.四边形AQBOC面积=Sjm+S3江=6+4^，即④正确：

ViEVABC・・・VAO8绕点A逆时针旋转60。得到dMC,如下图：

VZOAM=60°,AO=AM=3,MC=OB=4,S^AOfl=S^AMC，△AQW为等边三角形.二QM=AO=AM=3

13

过点A做4G_LOW,交OM于点G,如下图：•••△AOM为等边三角形・・・NO!G=30。AOG=-OM=-

22

・/7T72~d3G.c1“、CA”13G,9G

••Ad=\J()A—OCi=------••S=—ACJx=—x-------x3=-------

22224

•・・WC=4,OM=3,OC=5：,OC2=MC2+OM2ZOMC=90°

6

,,%MC=20MxMC=-x3x4=6:・S&AMC+S.AOC=S&AOM+S&、忙=+

•.・LOB+L女=LMC+LOC=¥+6,即⑤正确：故选：C.

【点睛】本题考查了等边三角形、旋转、全等三角形、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握旋

转、等边三角形、等腰三角形三纭合一、勾股定理及其逆定理的性质，从而完成求解.

模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内）

模型解读

条件:如图，已知等腰直角三角形A8C内有一点P,满足灯展+（X/5P4『二「。？，

结论：N'CP8=I35。。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明）

BCBC

模型证明

证明：以4P为边向左侧作等腰直角三角形4P。'，连接P'C。

•••三角形A8C和三角形4尸尸都为等腰宜角三角形；

：.AB=AC,AP=AP\ZBAC=ZPAP,=90°,PP=&PA,/AP'P=450；

/.ZBAC-ZMC=Z/MP,-ZB4C,：.ZR\B=ZPrAC,^ABP^ACP（SAS>*^P=CP\NAPB=NAP'C；

VPB2+(V2PA)2=PC2，APC2+PP2=PC\：,/PP，C=90。,

：.£APrC=ZPP'C+ZPP'A=135°；NAP8=135°。

模型运用

例I.（23-24九年级上•湖北孝感•阶段练习）如图，等腰直角△4C8,AC=BC,点尸在A4CA内，PC=2,

幺=3,NB4，=N4C/则尸B的长为（）

A.VT7B.y/\3C.5夜D.5

【答案】A

【分析】先利用等腰直角△4CB,AC=BC,得到NC4B=45。，再证明NAPD=45。，接着把ACBP绕点C

顺时针旋转90。得到VC4E,连接在:，根据旋转的性质得到CE=PC=2,AE=BP,ZPCE=90°,则“『判

断ZXC尸石为等腰直角三角形，从而PE=gPC=26,ZCPE=45%然后计算NAPE=90。，从而利用勾股

定理计算出人石即可.

［详解】解：:等腰直角AACB,AC=BC,：.ZCAB=45°,

•••^PAD=ZACP,/.ZAPD=ZACP+ZPAC=ZPAD+APAC=ADAC=45°,

如下图，把QP绕点C顺时针旋转90°得到NCAE,连接PE,

:.CE=PC=2,AE=BP,APCE=90°,.二△CPE为等腰宜角三角形,

APE=42PC=2y/2fZCPE=45°»ZAPE=180°-ZAPD-Z.CPE=180°-45°-45°=90°.

:.PB=AE=dPE〜=J（2何+32=如,故选：A-

【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质以及旋转的性质，对应点到旋转中心的距离

相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.熟练掌握旋转的性质是解

题的关键.

例2.（2024•黑龙江绥化•模拟预测）如图，在正方形A6C。外取一点X,连接。玄，AE,CE,过点。作。

的垂线交AE于点P,若DE=DP=6,PC=2百则下列结论：①△APDgZXCE。；@AE1CE；③点C

到直线。石的距离为2百；④S正方形AQ=26其中结论正确的个数有（）

C.3个D.4个

【答案】C

【分析】利用正方形性质即可证明①，利用全等三角形性质即可推出②，过点。作C/_LOE的延长线于点尸，

利用勾股定理求出庄，CE,再利用解直角三角形即可.判断③，利用勾股定理得到CO,进而得到正方形面

积，即可判断④.

【详解】解：•四边形ABCD为正方形，/.AD=CD,ZADC=900=ZADP+ZPDC,

DEIDP,；"EDP=哪=/CDE+/PDC,..ZADP=ZCDE,

DE=DP=O，二△APD^ACED(SAS),故①正确;

vZEDP=90°,DE=DP=y/2,:.NDEP=NDPE=45°,

•••AAPDg△CEO「./DEC=/DPA=1800-ZDPE=135°,

;.ZAEC=NDEC—NDEP-EtCE,故②正确；

过点。作C/_LOE的延长线「点F,如图所示，

Ft

B

C

•；NEDP=90°,DE=DP=y/2>PE=dDE2+DP2=2，

vZ4EC=90°.PC=2亚，:.CE=yJPC2-PE2=4»

•/NDEP=4DPE=45°,:.ZFEC=180°-ZAEC-NDEP=45°，

vZF=90°,...NFCE=450=NFE：C,.・.b=CEcos45o=2jL故③错误；

,:CF=2贬,:声=2叵，:.DF=EF+DE=3®，/.CD=ylcF2+DF2=x/26»

■•^^»CD=CD2=26,故④正确；综上所述，正确的有3个，故选：C.

【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，正方形性质，勾股定理，解直角三角形，垂直的判定，正方

形而积，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用.

例3.（2023年湖北省武汉市中考一模）如图，RIAABC+,ZACB=90°,AC=443,BC=6.点P为JBC

内一点，且满足产川+PC?=AC2.当P8的长度最小时，则△ACPf勺面积是.

【答案】6。

【分析】取AC中点。，连接OP,BO,由Re+PC2=Ac2即可得到乙铲仁二好，再由研280-OP,可

得当点尸在线段80上时，砂有最小值，然后利用宜角三角形的性质可得PO=AO=CO=；4C=2G,即

可推出N8OC=60。，则△COP是等边三角形，求得ACO尸的面积.根据OA=OC可得.

【详解】解：如图，取AC的中点0,连接。尸，B0,

BC

VP42+/V=4C2,・・.NAPC=90。，・••点产在以AC为直径的圆上运动，

在△8PO中，BP>BO-OP,，当点P在线段BO上时，有最小值,

•・•点。是4c的中点，ZAPC=90°,APO=AO=CO=-AC=2>/3,

2

AtanZBOC=—=x/3,ZB6C=60°,，aCOP是等边三角形，

•••5八08=¥℃2=q'12=36，,：OA=OC,：.5协3=2528产姆，故答案为：•

【点睛】本题主要考查了正切的定义与特殊角的三角函数值，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直

角三角形斜边上的中线，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够综合应用各种性质解题.

例4.（2024.河北•校考一模）如图1,在正方形A8CO内有一点P,尸4=逐，P8=&，PC=l,求/BPC

【分析问题】根据己知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是

将建PC绕点8逆时针旋转90。，得到了上4（如图2）,然后连结PP.

【解决问题】请你通过计算求出图2中/BPC的度数；

【比类问题】如图3,若在正六选形4BC。所内有一点P,且尸4=2而，尸8=4,PC=2.

（1）N4PC的度数为；（2）直接写出正六边形A8CDE/的边长为

【答案】(1)135°：(2)120°：2"

l

【分析】解决问题：由旋转的性质可得=及，N08尸=90。，NBPA=NBPC,AP=PC=i，然

后证明PA1=PT+PP?得到=90°,则ZBPC=NBPA=ZAPfP+NBPP=135。；

（1）仿照【分析】中的思路，将绕点8逆时针旋转120。，得到了48户A,连接PP'.如图所示，根

据旋转的性质可得：APBCAPBA,从而得出为等腰三角形，

PB=PB=4,PC=PA=2,4BPC=/BPA,,由尸=120。，得到N8PP=30°,可以求得。尸'=4e，

由勾股定理的逆定理就可以求出ZAPP=90。，从而得出结论;

(2)延长AP，作8GJLA严于点G,在Rt△户8G中，产2=4,N8〃G=60。，就可以得出产G=2,BG=2石八

则AG=9G+PA=2+2=4,在RtZXABG中，根据勾股定理得A4=J/AG?+女丁=2行.

【详解】解决问题：由旋转的性质可得8P=8P=Ji，NPBP=90。,NBPA=NBPC,AP'=PC=\,

••・ZBPP=NBPP=45。,PPWBP;BP2=2,：尸片=(6『=5,PT=『=],p/=2?=4，

••PA2=P'A2+PH,ZAP7>=90。,/.4BPC=4BPA=ZA产产+4BPP=135°；

(1)仿照【分析】中的思路，将△BPC绕点3逆时针旋转120。：得到了△8/M，连接PP'.如图5,

FEPE

GB

ALPBC^P'BA,:.PB=PB=4,PC=PA=2,/BPC=/BPA,，△3”为等腰三角形,

■:/PB产=120°,,NBPP=30°,作BGLP产于G,；.NPGB=90。,PP=2PG.

•：PB=PB=4,N8尸尸=30°,:.BG=2,:・FG=2有：.PF=4日

在公4夕产中，VPA=2Vl3，PP'=4x/J，产A=2,/.PA2=52.PP,2=48,P4=4，

APA2=P^2+P1A2是直角三角形，AZA/yP=90°.

AZBPC=ZB/yA=30°+90°=120°.故答案为：120°

(2)延长4产，作8G_LAP'于点G,如图6,

在Rl△产或；中，产8=4,Z.BPG=180O-ZAPB=60°,AZ/y£^=30°,

・•.PG=2,8G=2百，AG二产G+PA=2+2=4,

在RtZXABG中，根据勾股定理得A8=JAG2+6G2=2币.故答案为：2百

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，多边形内角和，等腰三角形的性质与判定，含30度

角的直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握旋转的性质.

模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型）

模型解读

模型1）条件：如图1,点。在等边三角形A4c外，若C尸+AP2=8尸，结论：ZCPA=30°.

模型2）条件：如图2,点尸在等腰直角三角形4BC外，若CP?+（&AP『=8p2,结论：NAPC=45。。

鸡爪就是模型本质就是通过旋转构造“手拉手”,构造出全等三角形,实现边的转化，结合勾股定理，非常有

意思。连完辅助线往往会产生新的直角三角形、等边三角形等。

模型证明

模型1）证明：以AP为边向右侧作等边三角形ADP,连接DC。

•・•三角形A8C和三角形AOP都为等边三角形；：.AB=AC,AP=AD=DP,ZBAC=ZPAD=ZAPD=60°；

：.ZBAC+ZR\C=ZPAD+ZPAC,：,ZBAP=ZCAD,/.^BAP^CAD(SAS>:・BP=CD；

'：CP1+AP2=BP2,；・PC2+DP：=CD2,:.ZDPC=90°,ZCPA=ZDPC-ZAPD=30\

模型2)证明：以AP为边向上方作等腰直角三角形/PP,W.ZPAD=90P,连接尸'C。

•・•三角形ABC和三角形AP。都为等腰直角三角形；

：,AB=AC,AP=AL),乙BAC=乙FAD=9(T,DP=yfiPA,/APD=4T；

，N8AC+N%C=N%Q+NHC,：.ZR\B=ZDAC,：,>ABP—ACD(5^5),:・BP=CD；

,/。产+(&AP)2=BP2,JCP2+DP2=CD2,・•・/DPC=9b,：,ZAPC=ZDPC-ZAPD=45\

模型运用

例I.（2024九年级上•重庆•专题练习）如图，?是等边三角形A8C外一点，幺=3,PB=4,PC=5,求4A4

的度数.

【答案】30°

【分析】由等边三角形的性质可知，BA=BC,ZAC3=60。；将绕点。顺时针旋转60。得△BCD,

连PD,首先证明△PC。为等边三角形，可确定尸D=PC=5,由勾股定理的逆定理可证明△尸8。为直角三

角形，且NPBD=9O°,然后计算因4的度数即可.

【详解】解：•・•VABC为等边三角形，:,BA=BC,ZACB=60。，

可将△APC绕点C顺时针旋转60。得△BCD,连PD,如下图，

ABD=AP=4,CD=PC=5,NP8=6O°,力BC="AC,，△PCD为等边三角形，:.PD=PC=5,

在△PH）中，PD=5,BD=3,PB=4,：.PD1=PB2+PA2,・・△PHO为直角三角形，且NPBD=90。,

，ZPBC+ZCBD=APBC+ZPAC=360°-ZPBD=27（T,

乙BPA=3600-SPBC+Z/V\C）-ZAC6=360°-270°-60°=30°.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、四边形内角和等知

识，正确作出辅助线，构建直角三角形和等边三角形是解题关键.

例2.（2023•广西贺州•二模）如图，点。为等边三角形A8C外一点，连接E4,PC,若PA=7,尸8=9,

ZAPB=30°,则PC的长是.

B

【答案】x/130

［分析】把PB绕点、B顺时针旋转60°，连接PQ,AQ,可证ABQ是等边三角形，利用SAS证明/BC^QBA,

得出尸C=QA,在Rt△八PQ中，利用勾股定理求出AQ,即可求解.

【详解】解：把依绕点,顺时针旋转60。，连接P。，AQ,如图所示：

则P8=Q8,NP8Q=600,••.△P8Q是等边三角形，.・・NQP8=60°,PQ=PB,

VYABC是等边三角形，Z.AB=CB,ZABC=60°,/PBC=NQBA=60°+NPBA,

.LPBC%Q8A（SAS）,APC=QA,VZQPB=60°,：.ZAPQ=90°,

又AP=7,PB=PQ=9,/,PC=AQ=ylAP2+PQ2=>/72+92=7130.故答案为：V130.

【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，直角三角形，勾股定理，旋转的性质的综合，三角形全

等的判定和性质，掌握旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理是解题的关键.

例3.（23-24八年级上•江苏无锡・期中）如图，在四边形ABCD中，AD=5,CD=3,ZABC=ZACB=ZADC=45°,

A.庖B.向C.>/43D.x/59

【答案】D

【详解】作AD，_LAD,AD，=AD,连接CP,DD\如图：

D

/ZBAC+ZCAD=ZDAD/+ZCAD,即NBAD=/CAD',

BA=CA

在ABAD与ACAD，中，JZB4O=NC4。'，AABAD^ACAD*（SAS）,

AD=AD'

.-.BD=CD\NDAD，=90。由勾股定理得DD，=〃理+人工=5&，ZD,DA+ZADC=90°

由勾股定理得CD.JDCN+Q。？=132+50=病，故选D.

例4.（23-24九年级上•湖北武汉•阶段练习）【问题情境】在数学课上，老师出了这样一个问题：“如图I,

在四边形ABC。中，Af3=AC,ZAAC=60。，ZADC=3O。，4）=4,BD=5,求CD的长.“经过小组合作

交流，找到了解决方法：构造旋转全等.将△3CO绕点8逆时针旋转60。到“AE,连接DE.则△瓦必是等

边三角形，所以。E=BD=5,导角可得ND4E=9O°,所以。＞=AE=〃）炉-=3•

（1）请补全图形；

（探究应用】（2）如图2,在VA/3C中，/W=AC,NBAC=120。./）为N/\BC外一点，.且zlADB=50°,—=—

BD3

求/4DC的度数；

【拓展延伸】（3）如图3,在V/1BC中，AB=AC,ZBAC=120°,4。/8C于D,M为A0上一点，连接BM,

N为BM上一点、，若AN=6,BN=6N&W-NC8N=30。，连接C7V,请直接写出线段CN的长.

【答案】（1）见解析；（2）ZADC=1IO°；（3）3

【分析】本题主要考查了三角形的综合，灵活运用旋转构造相似三角形，利用相似三角形的判定和性质是

本题解题的关键.（1）题意补全图形即可;（2）将△ABD绕点4逆时针旋转得到“。巴连接ED.作A尸_LED

于F,根据含30度的直角三角形的性质及勾股定理求得任=亘，推出£D=3D=C£,据此求解即可；

DE3

（3）延长AN构造等边三角形，然后利用两组三角形相似求出A8,最后利用勾股定理求解.

【详解】解：（1）补全图形，如图，

(2)将△A8O绕点A逆时针旋转得到AACE,连接EO，作AFJ,瓦)于R

由旋转的性质知AD=AE，NCAE=/BAD,BD=CE,NCE4=N8D4=50。，

VAB=AC,Zft4C=120°,/.ZDAE=ZDAC+ZEAC=ZDAC+ZBAD=\2(T,

zSWF-^AEF-30°,/.Z.CED-50°-30°-20°,AI)=2AF

由勾股定理得，DF=y/3AF,DE=?MAF,**•——=—=--,

DE20AF3

・.・吆二立，.ED=BD=CE,AZEDC=ZECD=80°,AZAZX?=30°+80°=110°；

BD3

（3）延长交4c\'F,延长AN到E,使NE=5N,连接跖，如图,

NBAN-/CBN=30°,/./BAN=ZCBN+30°,/.ZBNE=/BAN+ZABN=NCBN+ZAI3N+30°=60°,

•.NF.=RN.「ABEN是等边三角形,/.ZE=60°.

ZANB=180°-/BNE=120°=ZE4C,:.^ABNSNBA,

ABBNANABBEAE

一=—=——，ZBAE=ZAFB,:./\ANFSABEA,-----==

BFABAFAFANFN

(夜+百).忘26+3&

:4=空更.BF=FN+BN=AB'=BN•BF=5+遥，

BE63

过/作PG_L3C于尸，过N作M7_L4c于〃,Z4CT=30°,

FG=-FC=-(AB-AF\=^^-AB,CG="_eAB,BG=BC-CG=&AB-避正.=立’立4",

22、,6222

,,八NHBNBH33-瓜n3亚+3石

'：NH〃GF、:・ABNHS^BFG,=-=-=—^7,:.NH=7AB,BH=—―AB,

GFBFBG5+J61()+2f7#10+2卡

二CH=BC-BHJS：第AB,，CM=CH、NH』,:.CN=3.故答案为：3.

习题练模型

I.(2024九年级•重庆・期中)如图，在等边△ABC内有一点使得NAPC:NAPB:/8PC=7:8:9,那么以

AP,BP,b的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为.

【分析】本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定与性质，利用图形的旋转添加辅助线是解答本题的关

键.将尸绕点B顺时针旋转60。得到△8C。，连结PQ,可证得“BQ是等边三角形，从而得到

?BPQ?BQP60?,BP=PQ,所以△PQC就是以a，BP,CP的长度为边长的三角形，进一步求出

△PQC的内角度数，即得答案.

【详解】将ABAP绕点B顺时针旋转60。得到△BCQ,连结PQ,

则BQ=BP,NPBQ=600.4P=CQ,.NPBQ是等边三角形，

\?BPQ2BQP60?,BP=PQ,•.△PQC就是以AP,BP，C尸的长度为边长的三角形，

•;ZAPC:ZAPB:NBPC=7:8:9,\2Ape工窗360=105?.

24

«o

?APB或窗360=120?,?BPC—®360=135?,

\2CPQ135?60?75?,?PQC?BQC?BQP?APB60?60?,

\2PCQ180?2CPQ?PQC45?,

二•以AP,BP,CP的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为

ZCPQ:ZPC(2:ZP(2C=75o:45o:60o=5:3:4.故答案为：5:3:4.

A

2.（23-24九年级下•吉林•阶段练习）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件

相对集中，以达到解决问题的目的.

图①图②图③

【发现问题】如图①，在等边三角形A8C内部有一点P,PA=2,PB=6PC=1,求N3PC的度数.

解：如图①，将线段外绕点8逆时针旋转6（下得到线段8尸，连接AP',PP.

•.•BP=BP,NPW=60°,「.△PBP是等边三角形，.•./8PP=6O。，PF=PB=6

•••/8。是等边三角形，..480=6（尸，BC=BA,

・•.ZABC-ZABP=/PBP-ZABP,即/尸8C=N产84.请你补充完整解答过程.

【应用问题】如图②，在正方形48CD内有一点P,若PA="i，PB=4,PC=3,则4PC=_°.

【拓展问题】如图③，在正方形/BC。中，对角线4C,4。相交于点。，在直线A。上方（包括直线A。）

有一点尸，PA=4,PD=2,连接P。，则线段夕。的最大值为

【答案】发现问题：150。，应用问题：135,拓展问题：3人

【分析】发现问题：由SAS可判定由全等三角形的性质得AP=CP=1,NBPA=NBPC,

由勾股定理的逆定理得/XAPP是直角三角形，即可求解；

应用问题：将8?逆时针旋转90。，连接AP'、P。，由勾股定理得尸产=后8。=4&，同理可证八4产乃是

直角三角形，即可求解：拓展问题：将OP顺时针旋转90。得OP',连接。P、PP',同理可证△AOP^OO产，

由全等三角形的性质得AP=。户=4,PP<PD+DP即可求解.

【详解】发现问题：证明；补充如下；如图,

BA=BC

在AAB产和KBP中NP'BA=NPBC,△A87yg△C8P(SAS).AP,=CP=\,ZBPA=ZBPC,

BP'=BP

•,•/+(百『=22,「.Ap2+?p2=A尸，是直角三角形，.•.NA户尸=90。，

/.NBPA=/BPP+ZAPP=150°,/.Z.BPC=150°：

应用问题：解：如图，将8尸逆时针旋转90。，连接AP'、PP,

.•.ZABP+ZA^=90°,BP=BP=4,，NBPP=45。,PP=JiBP=46，

•••四边形ABC。是正方形，ZABC=90°,AB=CB,ZABP+ZCBP=90°,:.ZABP=NCBP,

BA=BC

在AA3户和&CBP中NFBA-ZPBC,；.&ABgKBP(SAS).;.AF=CP=3,ZB产A=2BPC,

BP'=BP

•,•32+(4X/2)-=(>/41)~,..AP,2+PP,2=AP2，.•△小月是直角三角形，

/.ZAP1P=90°./.ABPA=ZBPP+ZAPP=135°,ZBPC=1350；故答案：135：

拓展问题：解：如图，将OP顺时针旋转90。得OP,连接OP、PP,

•・NDOP+NDOP=90。，OP=OP,,PP=&OP，

•..四边形ABC。是正方形，:.OA=ODtACJ.BD,..Z4QP+NOOP=900,:.ZAOP=/DOP，

OA=OD

在4Aop和△DO产中J/A。尸=NDOP',..△AO咋XX)户(SAS),.\AP=DP,=4,

OP=OP'

VPP<PD+DP1/.<6,：.yfi0PW6,OP<3x/2，/•OP的最大值为3拉，故答案：3日

【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理及其逆定理，等边三角形的判定及

性质，正方形的性质等，能利用旋转的性质构建全等三角形是解题的关键.

3.(23-24九年级.上.山西吕梁•期末)阅读下面材料：张明同学遇到这样•个问题：如图1,在正三角形ABC

内有一点P，且幺=3,PB=4,PC=5,求—AP4的度数.

张明同学是这样思考的：如图2,利用旋转和全等的知识构造八仃'。，连接户户，得到两个特殊的三角形,

从而将问题解决.

⑴请你计算图1中/APA的度数：(2)参考张明同学思考问题的方法,解决下列问题：如图3,在正方形48co

内有一点P，且PA=2夜，PB=1,尸。=JT7,求/AP4的度数.

【答案】(1)150°(2)1350

【分析】(1)将“PB逆时针旋转60。得到根据旋转的性质可知求证“PP为等边

三角形，再根据勾股定理的逆定理得出NP尸'C=90。，即可求出/力PC=NAP8=150。；

(2)将△A/N绕点A顺时针旋转90。，根据旋转的性质可知△APP’是等腰直角三角形，求证//1QP，=45。，用

勾股定理逆定理求出/尸'。8=90。，最后求出NAP8=NP'P8+NAPP'=135。即可.

【详解】(1)(1)如图2,把八4内绕点4逆时针旋转60。得到△ACP,

由旋转的性质，PA="4=3,PC=PB=4,NB4P=60。，ZAPB=^PC,

•••AAPP'是等边三角形，:.PP=PA=3,NA尸尸=60。，

VPP,2+P,C2=324-42=25，PC：=5?=25，:・PP°+FC?=PC?，AZPP,C=90°,

・•・ZAPC=ZAPP+ZPrC=60°-90°=150°；Z.ZAPB=ZArC=150°；

(2)如图3,把ZW汨绕点A逆时针旋转90。得到△"＞产，

由旋转的性质，PA=PA=2&，PD=PB=1,/曰。二90°,

，4/1尸尸’是等腰直角三角形，，尸尸=&幺=4，NAPP=45。，

VPP，2+P'D2=42+\2=\7,PD2=(Vi7)2=17,；•PP?+p》=PD?,，NPP7)=90。,

ZA0£>=ZA。尸+N尸产。=45。+90。=135。，/.ZAPB=ZAPfD=\35°.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理及其逆定理的运用，全等

三角形的判定与性质，做辅助线构造直角三角形是解答的关键.

4.（23-24九年级上•重庆沙坪坝•期末）（1）已知如图1,在VABC中，AB=BC,N/WC=90。，点。在V/WC

内部，点E在VA4C外部，满足且BD=BE.求证：&AB哈&CBE.

（2）已知如图2,在等边VA6c内有一点P,满足24=5,尸8=4,PC=3,求-4PC的度数.

【答案】（1）详见解析；（2）150。

【分析】（1）先证NABD二NCBE,根据SAS可证△ABDg/XCBE；

（2）把线段PC以点C为中心顺时针旋转60。到线段CQ处，连结AQ.根据旋转性质得APCQ是等边三角

形，根据等边三角形性质证△BCPgAACQ（SAS）,得BP=AQ=4,NBPLNAQC,根据勾股定理逆定理

可得ZAQP=90°,进一步推出ZBPC=ZAQC=ZAQP+ZPQC=90°+60°.

【详解】（1）证明:VZABC=90°,BD±BE

/.ZABC=ZDBE=90°BPZABD+ZDBC=ZDBC+ZCBEAZABD=ZCBE.

XVAB=CB,BD=BE/.AABD^ACBE（SAS）.

（2）如图，把线段PC以点C为中心顺时针旋转60。到线段CQ处，连结AQ.

由旋转知识可得：ZPCQ=60°,CP=CQ=3,•••△PCQ是等边三角形，・・・CP=CQ=PQ=3.

又1•△ABC是等边三角形，AZACB=60°=ZPCQ,BC=AC,

/.ZBCP+ZPCA=ZPCA+ZACQ,即NBCP=NACQ.

CP=CQ

在ABCP与AACQ中，N8CP=N4CQAABCP^AACQ(SAS).\BP=AQ=4,ZBPC=ZAQC.

BC=AC

又,,,PA=5,JPB~+PC?=42+32=25=PA2.JZAQP=90°

又「△PCQ是等边三角形，/.ZPQC=60°.\ZBPC=ZAQC=ZAQP+ZPQC=900+60°=150°AZBPC=I5O0.

【点睛】考核知识点：等边三角形，全等三角形，旋转，勾股定理.根据旋转性质和全等三角形判定和性质

求出边和角的关系是关键.

5.（2023•四川绵阳•一模）如图，四边形A8CD是正方形,点P为平面内一点,

（1）若点P在正方形内，如图1,PA=1、PB=丘,PD=2,求NAP8的度数；

（2）若点尸在正方形外，如果==如图2,且44号=45。，求凡）的长.（用以。表示）

【答案】（1）135。（2）尸。互系

【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，解决本题

的关键是掌握旋转的性质.⑴把△AP£＞绕点人顺时针旋转90。得到△AF8,连接竹，人。与48重合，PA

旋转到质的位置，证△八尸广为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，结合勾股定理逆定理求出证

出"抨'=90。，即可得出结果.（2）把△”£＞绕点A顺时针旋转90。得到“反，连接"，A。与人B重合，

A4旋转到”的位置，证AAPF为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，结合勾股定理求出所，

即可得出结果.

【详解】（1）解：把△APQ绕点人顺时针旋转90。得到△AF8，连接PEA。与A3重:合，阳旋转到AF的

位置，如图1,

F

・・.”二人尸=1,N尸人尸=90°,PD="B=2,・•・△.为等腰直角二.角形，