高三数学向量空间直角坐标系试卷及答案

高三数学向量空间直角坐标系试卷及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.已知点\(A(1,2,3)\)，则点\(A\)关于\(x\)轴的对称点坐标为（）A.\((-1,2,3)\)B.\((1,-2,-3)\)C.\((1,-2,3)\)D.\((-1,-2,-3)\)2.向量\(\overrightarrow{a}=(1,2,-1)\)，\(\overrightarrow{b}=(-1,0,2)\)，则\(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)等于（）A.\((1,4,0)\)B.\((1,4,-4)\)C.\((1,4,-2)\)D.\((1,4,4)\)3.若向量\(\overrightarrow{a}=(1,\lambda,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,-1,2)\)，且\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的夹角余弦值为\(\frac{8}{9}\)，则\(\lambda\)等于（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(-2\)或\(\frac{2}{55}\)D.\(2\)或\(-\frac{2}{55}\)4.已知\(A(1,0,0)\)，\(B(0,1,0)\)，\(C(0,0,1)\)，则平面\(ABC\)的一个法向量是（）A.\((1,1,-1)\)B.\((1,-1,1)\)C.\((-1,1,1)\)D.\((-1,-1,-1)\)5.已知向量\(\overrightarrow{a}=(2,-3,5)\)与向量\(\overrightarrow{b}=(3,\lambda,\frac{15}{2})\)平行，则\(\lambda\)等于（）A.\(\frac{2}{3}\)B.\(\frac{9}{2}\)C.\(-\frac{9}{2}\)D.\(-\frac{2}{3}\)6.点\(P(1,-2,5)\)到\(xOy\)平面的距离是（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(5\)D.\(\sqrt{29}\)7.已知\(\overrightarrow{OA}=(1,2,3)\)，\(\overrightarrow{OB}=(2,1,2)\)，\(\overrightarrow{OP}=(1,1,2)\)，点\(Q\)在直线\(OP\)上运动，则当\(\overrightarrow{QA}\cdot\overrightarrow{QB}\)取得最小值时，点\(Q\)的坐标为（）A.\((\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{1}{3})\)B.\((\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4})\)C.\((\frac{4}{3},\frac{4}{3},\frac{8}{3})\)D.\((\frac{4}{3},\frac{4}{3},\frac{7}{3})\)8.已知空间向量\(\overrightarrow{m}=(3,1,3)\)，\(\overrightarrow{n}=(-1,\lambda,-1)\)，且\(\overrightarrow{m}\parallel\overrightarrow{n}\)，则实数\(\lambda\)等于（）A.\(-\frac{1}{3}\)B.\(-3\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(3\)9.若向量\(\overrightarrow{a}=(1,1,x)\)，\(\overrightarrow{b}=(1,2,1)\)，\(\overrightarrow{c}=(1,1,1)\)，满足条件\((\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})\cdot(2\overrightarrow{b})=-2\)，则\(x\)的值为（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(2\)C.\(-\frac{1}{2}\)D.\(-2\)10.在空间直角坐标系中，已知\(A(1,-2,1)\)，\(B(2,2,2)\)，点\(P\)在\(z\)轴上，且满足\(\vertPA\vert=\vertPB\vert\)，则\(P\)点坐标为（）A.\((0,0,-3)\)B.\((0,0,3)\)C.\((0,0,5)\)D.\((0,0,-5)\)二、多项选择题（每题2分，共20分）1.以下关于空间直角坐标系的说法正确的是（）A.在空间直角坐标系中，在\(x\)轴上的点的坐标一定是\((a,0,0)\)的形式B.在空间直角坐标系中，在\(yOz\)平面内的点的坐标一定是\((0,b,c)\)的形式C.在空间直角坐标系中，在\(z\)轴上的点的坐标可记作\((0,0,c)\)D.在空间直角坐标系中，在\(xOz\)平面内的点的坐标是\((a,0,c)\)的形式2.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,-1,0)\)，\(\overrightarrow{b}=(0,k,3)\)，若\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的夹角为\(60^{\circ}\)，则\(k\)的值可能为（）A.\(-\sqrt{3}\)B.\(\sqrt{3}\)C.\(3\)D.\(-3\)3.已知点\(A(1,2,3)\)，\(B(2,1,2)\)，\(P(1,1,2)\)，点\(Q\)在直线\(OP\)上运动，则当\(\overrightarrow{QA}\cdot\overrightarrow{QB}\)取得最小值时，以下说法正确的是（）A.点\(Q\)的坐标为\((\frac{4}{3},\frac{4}{3},\frac{8}{3})\)B.\(\overrightarrow{QA}=(-\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3})\)C.\(\overrightarrow{QB}=(\frac{2}{3},-\frac{1}{3},-\frac{2}{3})\)D.\(\overrightarrow{QA}\cdot\overrightarrow{QB}=-\frac{2}{3}\)4.已知向量\(\overrightarrow{a}=(2,-1,3)\)，\(\overrightarrow{b}=(-1,4,-2)\)，\(\overrightarrow{c}=(7,5,\lambda)\)，若\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{c}\)共面，则\(\lambda\)的值可以是（）A.\(\frac{62}{7}\)B.\(\frac{63}{7}\)C.\(\frac{64}{7}\)D.\(\frac{65}{7}\)5.以下向量中，与向量\(\overrightarrow{a}=(1,-2,1)\)垂直的向量有（）A.\(\overrightarrow{b}=(1,1,1)\)B.\(\overrightarrow{c}=(-1,-1,-1)\)C.\(\overrightarrow{d}=(2,1,0)\)D.\(\overrightarrow{e}=(0,0,0)\)6.已知空间直角坐标系中有\(A(1,-1,1)\)，\(B(2,0,1)\)，\(C(0,1,3)\)，则（）A.\(\overrightarrow{AB}=(1,1,0)\)B.\(\overrightarrow{AC}=(-1,2,2)\)C.\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=1\)D.\(\vert\overrightarrow{AB}\vert=\sqrt{2}\)7.已知向量\(\overrightarrow{m}=(x,1,-1)\)，\(\overrightarrow{n}=(1,y,3)\)，若\(\overrightarrow{m}\perp\overrightarrow{n}\)，则（）A.\(x+y=2\)B.\(x-y=2\)C.\(x+3y=3\)D.\(x-3y=3\)8.在空间直角坐标系中，已知\(A(1,2,3)\)，\(B(-1,0,5)\)，\(C(3,0,4)\)，\(D(4,1,3)\)，则（）A.\(\overrightarrow{AB}=(-2,-2,2)\)B.\(\overrightarrow{AC}=(2,-2,1)\)C.\(\overrightarrow{AD}=(3,-1,0)\)D.\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)四点共面9.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,\lambda,\lambda-1)\)，\(\overrightarrow{b}=(\lambda,\lambda+1,1)\)，则（）A.当\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)时，\(\lambda=1\)或\(\lambda=-1\)B.当\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\)时，\(\lambda=\frac{1}{2}\)C.当\(\lambda=1\)时，\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=3\)D.当\(\lambda=-1\)时，\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{3}\)10.已知空间直角坐标系中\(A(0,0,0)\)，\(B(1,0,0)\)，\(C(0,1,0)\)，\(D(0,0,1)\)，则（）A.四面体\(ABCD\)的棱长都为\(1\)B.\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)C.平面\(ABC\)的一个法向量可以是\((0,0,1)\)D.点\(D\)到平面\(ABC\)的距离为\(1\)三、判断题（每题2分，共20分）1.空间直角坐标系中，\(x\)轴上的点的纵坐标和竖坐标都为\(0\)。（）2.若向量\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1,z_1)\)，\(\overrightarrow{b}=(x_2,y_2,z_2)\)，且\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，则\(\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}\)。（）3.向量\(\overrightarrow{a}=(1,2,3)\)与向量\(\overrightarrow{b}=(-1,-2,-3)\)的夹角是\(180^{\circ}\)。（）4.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)，则\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\)。（）5.点\(P(x,y,z)\)到原点的距离为\(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\)。（）6.空间中两个非零向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)，若\(\vert\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\vert=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert\)，则\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)共线。（）7.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,0,-1)\)，\(\overrightarrow{b}=(0,1,1)\)，则\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的夹角为\(90^{\circ}\)。（）8.平面的法向量是唯一的。（）9.若向量\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1,z_1)\)，\(\overrightarrow{b}=(x_2,y_2,z_2)\)，则\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)\)。（）10.已知\(A(1,2,3)\)，\(B(2,3,4)\)，则\(\overrightarrow{AB}=(1,1,1)\)。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.已知向量\(\overrightarrow{a}=(2,-1,3)\)，\(\overrightarrow{b}=(-1,4,-2)\)，求\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)与\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)的坐标。-答案：\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(2-1,-1+4,3-2)=(1,3,1)\)；\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(2-(-1),-1-4,3-(-2))=(3,-5,5)\)。2.已知点\(A(1,-2,1)\)，\(B(3,1,-1)\)，求\(\overrightarrow{AB}\)的模长。-答案：\(\overrightarrow{AB}=(3-1,1-(-2),-1-1)=(2,3,-2)\)，\(\vert\overrightarrow{AB}\vert=\sqrt{2^{2}+3^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{4+9+4}=\sqrt{17}\)。3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2,-1)\)，\(\overrightarrow{b}=(-1,1,2)\)，求\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)。-答案：\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\times(-1)+2\times1+(-1)\times2=-1+2-2=-1\)。4.求平面\(2x-3y+z=5\)的一个法向量。-答案：平面\(Ax+By+Cz+D=0\)的法向量为\((A,B,C)\)，所以平面\(2x-3y+z=5\)的一个法向量是\((2,-3,1)\)。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论在空间直角坐标系中，如何判断两个向量是否平行或垂直？并举例说明。-答案：判断平行：若\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1,z_1)\)，\